2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足(2+i)z=3-4i,則團=()

A.2B.V5C.5D.10

2.已知直線/］：4x+wjH-2=0/2：加x+yH=0平行，則實數(shù)加=()

A.-2B.0C.2D.±2

汽2y2

3.已知雙曲線0-乙=1(a>0)的離心率為百，則該雙曲線的漸近線方程為()

a22

l\a

A.y=±2xB.y=±V2xC.y=±~xD.y=±—.x

4.直線/與直線y=關(guān)于直線y=x+l對稱，則直線/的傾斜角是()

7T7T717r

A.—B?-C.-D.一

12643

5.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底

面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平

面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為^=/八(5+450+9)，其中5,5'別是上、

下底面的面積，So是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對

應(yīng)邊平行(如圖)，下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長、寬比下底長、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底

運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運，則至少需要運(注：1立方米該建筑材料約重1.5

tana

6.己知a,0均為銳角，月.sin(a+0)=2sin(a-p),則---=()

tanp

11

A.-B.—C.2D.3

32

x2y2

7.已知橢圓C：—+—=1(a>6>0)的上頂點為力，左右焦點分別為Q,/2,連接力心并延長交橢

圓。于另一點8,若FiB：/28=7：3,則橢圓。的離心率為()

111V3

A.—B.—C.—D.—

4323

8.在矩形488中，AB=3,AD=29E為線段CO上的動點，過8作4E的垂線，垂足為R則法?&

第1頁(共19頁)

的最小值是（）

168

A.1B.—C.-D.4

135

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有錯選的得0分.

9.甲、乙兩城市某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如圖，則在這7天中，（）

B.乙城市日均氣溫的眾數(shù)為24°C

C.甲城市日均氣溫的中位數(shù)與平均數(shù)相等

D.甲城市的日均氣溫比乙城市的日均氣溫穩(wěn)定

10.在平面直角坐標系中，已知拋物線C：J=4x的焦點為尸，直線/：y=x-2與拋物線C交于4

B兩點,則（）

A.拋物線C的準線方程為x=-1

B.點F到直線/的距離為,

TT

C.ZAOB=2

D.43=10

11.已知正方體力8。-小囪Cid的棱長為1,點尸為側(cè)面8CC181內(nèi)一點，則（）

T1T1

A.當時，異面直線CP與力。所成角的正切值為5

B.當C：P=XC：B（0＜人＜1）時，四面體DMCP的體積為定值

C.當點P到平面的距離等于到直線431的距離時，點尸的軌跡為拋物線的一部分

D.當。止=/的8時、四面體8CCP的外接球的表面積為2n

12.過原點的直線/與圓M：，曠+2工-2》-16=0交于Z,8兩點，且/不經(jīng)過點M,則（)

第2頁（共19頁）

A.弦長的最小值為8

B.面積的最大值為4企

C.圓M上一定存在4個點到/的距離為22

D.A,8兩點處圓的切線的交點位于直線x-y-16=0上

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.已知a>0,若圓（X-a）2+y2=2與圓/+（y-a）之=8外切，則0=.

14.某班15名學(xué)生在一次測試中的得分（單位：分）如下：9,10,10,11,U,11,12,12,12,12,

13,14,16,17,18.則這組數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是.

15.設(shè)函數(shù)/（x）=2x+log?x-8（iz>1）的零點為xo.若xo23,則。的最小值為.

16.已知拋物線C：》2=句的焦點為尸，點尸的坐標為（2,1）,動點48在拋物線C上，且以_LP8,

則FA+FB的最小值是.

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在①（sinS-sinC）2=sin2z-sinfisinC,②tart4=T更如一，③asinfi=V5bcos/這三個條件

b^+c2-a2

中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.

問題：△/BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,h,c,己知c=3,cos8=孥，且,求△Z8C的面

積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（12分）如圖，在正三棱柱/8C-Ni8iCi中，D是棱8c上的點（不與點C重合），AD±DC\,

（1）證明：平面J_平面BCCiBi；

（2）若4C=CCi=2,求CCi與平面所成角的正弦值.

19.（12分）已知圓M過原點。，圓心/在直線y=x-1上，直線2x+y=O與圓加相切.

（1）求圓M的方程；

（2）過點尸（0,4）的直線/交圓M于4B兩點.若/為線段PB的中點，求直線/的方程.

20.（12分）某籃球場有43兩個定點投籃位置，每輪投籃按先4后8的順序各投1次，在N點投中一

球得2分，在8點投中一球得3分.設(shè)球員甲在/點投中的概率為p,在5點投中的概率為q,其中0<p

第3頁（共19頁）

<1,0<q<l,且甲在48兩點投籃的結(jié)果互不影響.已知甲在一輪投籃后得0分的概率為乙得2分的

6

概率為

(1)求p,q的值；

(2)求甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率.

21.(12分)已知圓山(x-b)2±y2=i6,B(-V3,0),T是圓Z上一動點，27的中垂線與NT交于點

Q,記點。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(0,2)的直線/交曲線C于"，N兩點，記點P(0,-1).問：是否存在直線/,滿足RW=

PN?如果存在，求出直線/的方程；如果不存在，請說明理由.

%2y2

22.(12分)已知雙曲線C：—--=1(。>0,/>>0)的離心率為百，左、右頂點分別為N,點P

a1bz

(-1,1)滿足血?俞=1.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點P的直線/與雙曲線C交于4,B兩點,直線OP與直線/N交于點。.設(shè)直線/")的斜率

分別為內(nèi)，依，求證：依心為定值.

第4頁(共19頁)

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=3-43則匕尸()

A.2B.V5C.5D.10

解：V(2+i)z=3-4i,

.3-4i(3-4i)(2-0211.

,，z=-2+r=(2+0(2-0=耳"T"

???|z|=J(|)2+(—()2=遍.

故選：B.

2,己知直線/i：4x+wy+2=0/2：平行，則實數(shù)加=()

A.-2B.0C.2D.±2

解：因為直線A：4工+加尹2=0和？2：加用yH=0平行，

所以4-加2=o,解得加=±2,

檢驗當加=2時，直線八：4x+2y+2=0即為2x+y+l=0,直線，2：2x+yH=0,兩直線重合，不符合題

意，

當m=-2時，直線八：4工-2尹2=0即為2￥-尹1=0,直線5-2田yH=0即為2x-y-1=0,兩直

線平行，符合題意，

故m=-2.

故選：A.

%2y2

3.已知雙曲線"一J=1(a>0)的離心率為次，則該雙曲線的漸近線方程為()

a22

l1或

A.y=±2xB.y=±V2xC.y=±-xD.y=±—x

%2y2_

解：雙曲線一^■——=1(。>0)的離心率為V5,

a22

可得e==V3,

222

即有c—>/3a9由c=a+b9

可得b=y[2a,

即有漸近線方程為y=±2x,

a

即為y=±&x.

故選：B.

第5頁(共19頁)

4.直線/與直線y=V5x關(guān)于直線y=x+l對稱，則直線/的傾斜角是（)

解：因為直線'=百萬的傾斜角為60°,直線的傾斜角為45°,

由直線/與直線y=8%關(guān)于直線y=/l對稱可得/與與直線歹=/1的夾角相等，都為15°,

所以直線/的傾斜角為30°.

故選：B.

5.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底

面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的

平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為U=Jh（S+4So+S'）,其中S,S,別

是上、下底面的面積，So是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是

矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長、寬比下底長、寬各少2米.現(xiàn)

在要徹底運走這堆建筑材料?，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運，則至少需要運（注：1立方米該建筑

解：兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長、寬比下底長、

寬各少2米，

由條件可知：上底長為18米，寬為8米；中截面長19米，寬9米；

第6頁（共19頁）

則上底面積S=18X8,中截面積So=19X9,下底面積81=20X10,

所以該建筑材料的體積為V=1x1x(144+684+200)=孚立方米，

所以建筑材料重約%X-=257(噸)，

32

需要的卡車次為257+4=64.25,所以至少需要運65車.

故選：B.

tana

6.已知a,0均為銳角，且sin(a+0)=2sin(a-P),則---=()

tanp

11

-氏-c23

A.32D.

解：已知a,0均為銳角，且sin(a+p)=2sin(a-p),

整理得：sinacosp+cosasinp=2sinacosp-2cosasin0,

故sinacosp=3cosasinp,

”,tana

所以訴=3.

故選：D.

xv

7.已知橢圓C—+77=1(a>b>0)的上頂點為4左右焦點分別為Q,尸2,連接4P2并延長交橢

a2bz

圓。于另一點&若FiB：F?B=7：3,則橢圓。的離心率為()

111V3

A.-B.-C.-D.—

4323

解：由橢圓的定義可得|8Fi|+|8F2|=2a,

又|尸1用：\F2B\=7：3,

所以伊尸1|=母，|8尸2|=普，

根據(jù)題意可得|/尸1|=|“尸2|=丘2+岳=a,

所以|/8|=|力尸2I+步尸2|=〃+等，

所以cosZF]BF2=cosZF]BA,

田寺|2+宙尸2|2一|尸1?2產(chǎn)_|BF1『+|AB|2一|AF1產(chǎn)

2\BF1\\BF2\-2\BF1\\AB\

年)2+尋)2_(2位(爭2+(a+如2_a2

所以~~7a3a=~~7a~,3a.，

2x~^~x~^-2x-^-x(aH-)

一49a2+9a2-40c249a2+64a2-25a2

所以---------：-----=-----------;-----，

42a2112a2

“49a2+9a2-40c211

所以---------;-----=—,

42a214

所以25a2=100c2,

第7頁(共19頁)

C21

所以9=7

所以e=占手

故選：c.

8.在矩形44。中，AB=3,AD=2,E為線段CQ上的動點，過B作4E的垂線，垂足為尸，則DF?D4

的最小值是()

168

A.1B.—C.-D.4

135

解：分別以4。，AB為x,y軸建立平面直角坐標系，B(0,3),D(2,0),

AB=(0,3),AD=(2,0),

E在線段CD上，設(shè)E(2,m),(0<mW3),AE=(2,m),

}^AF=kAE=(2k,mk),則=—48=(2鼠mk-3),

t—3m

S：.BF.AE=4k+m(…=0,仁麗，

DF=AF-AD=(2k-2,mk).

八、4)12m

DFDA=(2k-2,m%)?(-2,0)=4724-e

〃7=0,DF-DA=4,

,12m1212

0〈wW3時，一;—-i=3,

m2+4m+—

m2后

當且僅當陽=2，即陽=2時，取等號,

此時，赤?占的最小值為1.

第8頁（共19頁）

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有錯選的得0分.

9.甲、乙兩城市某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如圖，則在這7天中，()

、???????a

°1234567日期

A.乙城市日均氣溫的極差為3°C

B.乙城市日均氣溫的眾數(shù)為24°C

C.甲城市日均氣溫的中位數(shù)與平均數(shù)相等

D.甲城市的日均氣溫比乙城市的日均氣溫穩(wěn)定

解：由圖可以看出，甲城市7天的氣溫為：22°C,22°C,24°C,24'C,25°C,25°C,26°C,

乙城市7天的氣溫為：23°C,23°C,24°C,24°C,24°C,25°C,25°C,

對于乙城市日均氣溫的極差為25°C-23°C=2°C,故/錯誤，

對于8,乙城市日均氣溫的眾數(shù)為24°C,故5正確，

對于甲城市的中位數(shù)為甲城市的平均數(shù)為乙

C,24°C,x(22+22+24+24+25+25+26)=24°

7

C,故C正確，

對于。，由圖中可以看成，乙城市的日均氣溫比甲城市的日均氣溫穩(wěn)定,故。錯誤.

故選：BC.

10.在平面直角坐標系中，已知拋物線C：/=4x的焦點為足直線/：y=x-2與拋物線C交于4

B兩點,貝U()

A.拋物線C的準線方程為x=-1

B.點尸到直線/的距離為手

C.NAOB=%

D.AB=\0

解：由拋物線C：，=4x,可得拋物線的準線為x=-1,故4正確；

第9頁(共19頁)

由拋物線C：V=4x,可得拋物線的焦點坐標為尸（1,0）,

點F到直線/的距離為d=已一°-2|=§,故§正確；

2

由，2H2,消去x得丁-4廠8=0,

設(shè)力（xi，y\）,B（%2，/），

；?歹1a=4,y\yi=-8,：.x\xi=（yi"）？=4，

/.OA*OB=XIX2+，I”=4-8=-4,故NZO8W1，故C不正確；

由弦長公式得J（1+力［（%+支2）2-4yly2］=J（1+DpP_4x（-8）］=4瓜,故D不正確.

故選：AB.

11.已知正方體的棱長為1,點P為側(cè)面3CG81內(nèi)一點，則（）

A.當C】P=WGB時，異面直線C尸與工。所成角的正切值為3

B.當c；p=ac；8（0<A<l）時，四面體。弘”的體積為定值

C.當點P到平面N38的距離等于到直線Z181的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分

T1T

D.當GP=*GB時，四面體BCDP的外接球的表面積為2TT

解：如圖I,以。為坐標原點，分別以DC,DDi為x,?z軸，建立空間直角坐標系，

zA

__________<cx

B

圖1

則。(0,0,0),4(1,0,0),C(0,1,D),P(1,1,1),CP=0,|),AD=(-1,0,0),

設(shè)異面直線CP與NO所成角為e€(0,排

T—>

0,分(一1,0,0)1_V5

則cos。=|cos<CP,AD>\=1f

"-5

\CP\-\AD\隔,

________2fe

故si九。=V1—cos20=—g—,tand=2,/錯誤；

第10頁（共19頁）

如圖2,因為且

圖2

所以四邊形為平行四邊形,

故8cl〃皿，

因為8cle平面/C。，/。匚平面/C￡)|,

所以8?！ㄆ矫鍺CDi，

故當點P在BC\上運動時，點P到平面ACD\的距離不變，

即當C；P=4C；B(0VVI)時，四面體D\ACP的體積為定值，B正確;

如圖3,過點P作P￡J_8c于點E,連接尸囪，

因為平面BCCiBi，8iPu平面BCC181,

所以

因為Z81.平面8CC181，EPu平面BCCiBi，

所以

因為/8C8C=8,AB,8Cu平面力BCD,

所以PE_L平面/8C￡>,

設(shè)尸(機，1,H),0W機Wl,OW〃W1,其中8i(1,1,1),

當PB尸PE時，y/(m-I)2+(1-I)2+(n-l)2=n,

第11頁(共19頁)

整理得：n=i(m-I)24-i,

故當點P到平面ZBCQ的距離等于到直線小囪的距離時，點尸的軌跡為拋物線的一部分，。正確；

T1T

如圖4,當CiP=*qB時，尸為8。的中點，取8。的中點Q,8c的中點M連接尸N,則PN〃CCi，

故PN_L平面力BCD

圖4

因為BC1CD,故三角形BCD的外心為點Q,則外接球球心O在過點Q且垂直于平面ABCD的直線

上，

故0。_1_平面Z8CO,OQ//PN,

連接OP,QN,0B,過點。作。M〃QV交PN于點M,設(shè)四面體88尸的外接球的半徑為R,貝iJOB=

1

OP=R,OM=QN=三,OQ=MN,

其中QB=孝，PN=g,設(shè)OQ=MN=h,則PM=^—h，

由勾股定理得OB=d0Q2+QB2=,OP=70M2+PM2=,故=

-h)2+*,解得：h=0,

故R=J02+)=孝,4nR2=2TT,

當CJ=*GB時，四面體88P的外接球的表面積為2n,。正確.

故選：BCD.

12.過原點的直線/與圓A/：x24/+2x-2y-16=0交于Z,8兩點，且/不經(jīng)過點M,則()

A.弦長的最小值為8

B.面積的最大值為4立

C.圓M上一定存在4個點到/的距離為2加

D.A,8兩點處圓的切線的交點位于直線x-y-16=0上

解：M：/+/+2^-2〉-16=0化為標準方程：M：(x+1)2+(y-1)2=18.設(shè)M到直線/的距離為d,

第12頁(共19頁)

則V2，

對于4由垂徑定理了=V18-d2>\/16=4,即38|28,當且僅當d=V2,即0A/，/時取等號，

故弦AB長的最小值為8,故4正確；

對于8：△跖4B面積為3MBi?d=d，18-d2=18d2,令，=/，貝I］：Z\M4B面積為

V-t2+18t,/G(0,2］,而^=-於+18/=-(L9)2+81在(0,2］上單調(diào)遞增，所以加皿=必=2=32,

于是△跖48面積的最大值為4位，8正確；

對于C：當。MU時，d=<2,至I"的距離為2夜的點由3個，C錯誤；

對于。：力，B兩點處圓的切線的交點坐標為(〃?，則直線48為切點弦所在直線方程，為：機x+/y+/n+x

-(〃+y)-16=0,由于直線N8過原點，所以16=0,即N,8兩點處圓的切線的交點位于直

線x-y-16=0上.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.已知a>0,若圓(x-a)?+/=2與圓，+(y-a)2=8外切，則a=3.

解：因為a>0,

若圓(x-a)2+/=2與圓/+(y-a)2=8外切，

則Va2+a2=V2+2^2=3A/2,

所以a—3.

故答案為：3.

14.某班15名學(xué)生在一次測試中的得分(單位：分)如下：

9,10,10,11,11,11,12,12,12,12,13,14,16,17,18.

則這組數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是13.

解：根據(jù)題意，共有15個數(shù)據(jù)，則有15X0.7=10.5,

故這組數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)第11個數(shù)據(jù)，即13；

故答案為：13.

15.設(shè)函數(shù)/(x)=2x+lOgf,x-8(?>1)的零點為xo.若xo》3,則a的最小值為_百_.

解：由于y=2x+8和y=logax(a>l)在(0,+~)上單調(diào)遞增，所以/(x)=2x+log“x-8(a>l)在

(0,+8)上單調(diào)遞增，

則O=/(xo)N/(3),即10go3-2W0,也即log“3W2(a>l),從而且a>l,故a2百，故a的

最小值為百，

故答案為：V3.

第13頁(共19頁)

16.已知拋物線C：/=4y的焦點為尸，點P的坐標為(2,1),動點48在拋物線C上，且

則FA+FB的最小值是11.

解：由拋物線C：*=4y,可得焦點為尸(0,1),

:點P的坐標為(2,1),...點尸在拋物線上，

?.?動點48在拋物線C上，且P8斜率存在且不為0,

設(shè)RJ的斜率為hP8的斜率為一上則直線口的方程為y-1=左(x-2),

由｛；2一=1?("一2),消去y得7-4米+8左-4=0,

???(x-2)(x-4/1+2)=0,??.x=2或x=4左-2,???點4的坐標為(4八2,k(4k-4)+1),即4Q4k

-2,4F-4A+1),

,444

同理可得8(--r-2,77+7+1)，

KHk

：.\FA\+\FB\=^-4Hl+l+p+^+l+l=4(9-后+j+%+1)=4[(k-》2-(k-?+3),

令t=k-蔣則阿+陽=4(P-f+3)=4[(r-1)2+當力1,當時，等號成立，

故I科1+1必I的最小值是11.

故答案為：11.

四、解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)在①(sin5-sinC)2—six^A-sinfisinC,②ta<=7V3bc③asiag=W%cos4這三個條件

bz+c2-a2

中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.

問題：△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為“，b,c,已知c=3,cos8=警，且,求△/8C的

面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解：因為cosB=孥，8為三角形內(nèi)角，則sinB=Vl-cos2B=亨,

選①：(sin8-sinC)2=sin2^-sin^sinC,展開得sin2^+sin2C-sin2J=sin5sinC,

由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA==1

第14頁(共19頁)

因為力為三角形內(nèi)角，故4=60°,

所以sinC=sin^A+B)=sinAcosB+cosAsinB=亨xx=3；?,

b

bcT73

由正弦定理得一:=一：,即?=不，解得6=2,

sinBsinC73g

14

所以△43。的面積S=^bcsinA=^x2x3x^=^

選②：=2點?人T由余弦定理得四=T~~~＞故sim4=*，

b4-c2-a2cosA2bccosA乙

因為4為三角形內(nèi)角，故4=60°或120。，

當A=60°時,sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=停xx

b

由正弦定理得一二=，7，即呼=言，解得b=2,

sinBsinC73V21

14

所以△43C的面積S=bcsinA=^x2x3x^=4三

當4=120°時，sinC-sin^A+8)=sinAcosB+cosAsinB-x；—)x.='四,

b

bc

由正弦定理得一二=一二，即、/呼77=73亓，解得6=6,

sinBsinC7V21

14

所以△/BC的面積S=^bcsinA=1x6x3x^=竽，

綜上△48C的面積為3+V3或+9A/3；

22

選③：asinB=y/3bcosA,

由正弦定理得s譏AsinB=y/3sinBcosAf

因為4為三角形內(nèi)角，所以sin5WO,

從而sin4=時cosA,

顯然cos/WO,所以tcmA=V3,

因為/為三角形內(nèi)角，所以4=60°,

所以sinC=sin^A+8)=sinAcosB+cosAsinB=xx=3；?,

b

bc775r3

由正弦定理得一:=一：,即業(yè)=毛亓，解得6=2,

sinBsinC73721

14

所以A/BC的面積S=IbcsinA=|x2x3x^=挈.

18.(12分)如圖，在正三棱柱/8C-481cl中，。是棱8c上的點(不與點C重合)，ADLDC\.

第15頁（共19頁）

（1）證明:平面ZDCi_L平面BCCiBi；

（2）若ZC=CG=2,求CCi與平面4）Ci所成角的正弦值.

解：（1）證明：因為正三棱柱Z8C-/i8Ci，

故C1C_L平面力8C,45u平面N8C,故/￡>_LCC,

又CiCCCbD=Ci，故力。_L平面8CC181，

又/Ou平面I。。，故平面/DC|J_平面8CC81；

（2）由（1）得平面平面BCGBi，且故。為8c的中點，

作CHVC\D于H,則€77,平面ADC\,則/C。"即為CG與平面ADC\所成角,

因為4C=CCi=2,故CZ）=1,CrD=V5,

所以sinNCCjD=程鄉(xiāng)=曾，

故CG與平面所成角的正弦值為

19.（12分）已知圓/過原點。，圓心M在直線y=x-1上，直線2x+y=0與圓M相切.

（1）求圓”的方程；

（2）過點尸（0,4）的直線/交圓M于48兩點.若4為線段P8的中點，求直線/的方程.

解：（1）圓M過原點。，圓心"在直線y=x-1上，設(shè)圓的圓心（a,a-1）,直線2x^=0與圓”相

切.

可得Ja2+（a-l）2=|2°展—1|,解得&=2,所以圓的圓心（2,1）,半徑為：花，

V5

所以圓”的方程：（X-2）2+⑶-1）2=5.

（2）圓”的方程：（x-2）2+（y-1）2=5.圓的圓心（2,1）,半徑為遮，如圖，圓的圖形如圖，圓

過原點，并且經(jīng)過（0,2）點，過點P（0,4）的直線/交圓”于/,B兩點.若4為線段P8的中點，

第16頁（共19頁）

觀察可知，y軸，就是所求直線之一，即x=0,

M到y(tǒng)軸的距離為2,所以設(shè)另一條直線/的方程為、=h+4,

可得垮粵:=2，解得/=

Vl+fc212

所以另一條直線I的方程為尸一方+4.即5x+12y-48=0.

綜上所求直線方程為：x=0或5"12y-48=0.

20.（12分）某籃球場有48兩個定點投籃位置，每輪投籃按先4后8的順序各投1次，在1點投中一

球得2分，在8點投中一球得3分.設(shè)球員甲在“點投中的概率為p,在8點投中的概率為g,其中0

<p<\,Q<q<\,且甲在4,8兩點投籃的結(jié)果互不影響.已知甲在一輪投籃后得0分的概率為;，得

6

1

2分的概率為一.

3

（1）求p，q的值；

（2）求甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率.

（1

（1-p）（l—q）=k

解：（1）由題意可知，［16,

P（1-<?）=3

解得，p=|.q=I；

（2）甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的情況有兩種，

當甲恰好得8分時的概率為：C^x|x|xix|=i,

22111

當甲恰好得10分的概率為：-x-x-x-=-,

33229

112

所以甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率：-+-=

999

21.（12分）己知圓4：（x-B）2+/=i6,B（-V3,0）,T是圓4上一動點，8T的中垂線與47交于點

。，記點。的軌跡為曲線C

（1）求曲線。的方程；

第17頁（共19頁）

(2)過點(0,2)的直線/交曲線C于"，N兩點，記點尸(0,-1).問：是否存在直線/,滿足

=PN2如果存在，求出直線/的方程；如果不存在，請說明理由.

解：(1)已知圓山(x-V3)2+/=16,B(-V3,0),7是圓/上一動點，87的中垂線與47交于點