2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學真題及答案

2021年全國新高考I卷數(shù)學真題及答案

數(shù)學

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答

題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在

答題卡右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案

信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷

上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定

區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使

用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|—2<x<4},B={2,3,4,5},則AB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則z（乞+i）=（）

A.6—2iB.4—2,iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.28.272C.4D.4拒

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=7sinx-工單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

5.已知耳，B是橢圓5+?=1的兩個焦點，點M在。上，貝“岫卜也里|的最大值

為（）

A.13B.12C.9D.6

6.若tan6=-2,則把山1網(wǎng)

sin3+cos0

7.若過點可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.e"<Z?C.O<a<e"D.0<b<e"

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取1

個球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”,

丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，

則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)士,々，…，工”，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%，為，…，%，其中X=X,+C

（i=l,2,…,〃），c為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標原點，點片（cosa,sina）,￡（cos夕,-sin/?）,

月（cos（a+0,sin（a+0）,A（l,0）,則（）

A.|M=|網(wǎng)B.M=|A用

C.OAOP3=OROP[D.OAOR=OP2（）R

11.已知點P在圓（x—5p+（y—5）2=16上，點A（4,0）,B（0,2）,則（）

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當/尸84最小時，忸4=3夜

D.當NF84最大時，|P@=3五

12.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA,=\,點P滿足BP=ABC+從BB-其中

/le[O,l],//e[O,l],貝I()

A.當2=1時，△ABf的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當4=(時，有且僅有一個點P,使得A,P~LBP

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得A8_L平面AB/

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=x3(a.2、—2一、)是偶函數(shù)，則。=.

14.已知。為坐標原點，拋物線C：/=2px(〃>0)的焦點為產(chǎn)，P為C上一點，PF與

x軸垂直，。為x軸上一點，且PQ_LOP.若|圖=6,則。的準線方程為.

15.函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

16.某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為

2()dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,2()dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和S|=240dm2,對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和&=ISOdn?,以此類推.則對折4次共可以

得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折〃次，那么dm2.

k=l

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

4+1,〃為奇數(shù),

己知數(shù)列｛凡｝滿足4=1,

4+2,〃為偶數(shù).

(1)記么=a2n,寫出伉，瓦,并求數(shù)列抄,｝的通項公式;

(2)求｛4｝的前20項和.

18.（12分）

某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中

選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另

一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每

個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0

分.

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回

答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（12分）

記△ABC是內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c.已知〃二。。，點。在邊AC上,

BDsinZABC-asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD-2DC,求cosZABC.

20.（12分）

如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ABD_L平面BCD,AB=AD,。為8。的中點.

A

E

-q”--/)

c

(1)證明：0A1CD；

(2)若△0C￡>是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AO上，DE=2E4,且二面角

E-BC-。的大小為45°,求三棱錐4一38的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標系xOy中，己知點片(—47,0),6(J萬,0),點M滿足IMKI-IM巴|=2.

記M的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點T在直線x=g上，過T的兩條直線分別交。于A,8兩點和尸，。兩點，且

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，b為兩個不相等的正數(shù)，S.b\na-a\nb=a-bf證明：2<L+,<e.

ab

新高考I卷數(shù)學答案

1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BD

13.a=l

14.r=

15.1

16.5；240(3-W)

17.

(1)解：由題意得bi=a2=ai+l=2,b2=a4=a3+l=5

*.'bi=a2=ai+l,.\a2_ai=l.

b2=a4=a?+1=&+3??di-3.2—3.

同理a6-ap3

b”二a2n-a2ii-2=3.

疊加可知a2n-ai=l+3(n-l)

**.a2n=3n-l

bn=3n-l.驗證可得bi=@2二2,符合上式.

⑵解:Va2n=a2n-i+l

??a2n-l=3.2n-1=3fl—2.

，設(shè)｛a,,｝前20項和為S20

二820=(ai+a：s+,?,+ai9)+(a?+ai+…+a2o)

=145+155=300

18.

(1)解：

由題意得x=0,20,100.

P(x=0)=0.2

P(x=20)=0.8X0.4=0.32

P(x=100)=0.48

X020100

p0.20.320.48

(2)解:

小明先選擇B,得分為y

；.y=0,80,100

P(y=0)=0.4

P(y=80)=0.6X0.2=0.12

P(y=100)=0.6X0.8=0.48

y080100

p0.40.120.48

Ex=54.4Ey=57.6

小明應先選擇B.

19.

得b—,即E/4BC=X

rinZ^G?tH<9

又由BDs〃i/1BC二asinc,得BD?：Wasinc,

即B斡普卜BD=b

(2)由AD=2DC,將而=2充,即麗胃瓦耳前

=>b4c04笛55

，L；3cl+獷｝n6aHe+3六0

肥=orJ

na~或a=-c

0'=7C3H-e*wcosZRC-

ii*___*2ac

7

②[0-ny=-c*=c0slzXBC==-(x)

1竹4

綜上

COSN二50二

20.

⑴證明：

由已知，AABD中AB=AD且0為BD中點

AAOJ_BD

又平面ABD_L平面BCD

.?AO_L平面BCD且CDc平面BCD

.?J\O±CD

⑵由于AOCD為正三角形，邊長為1

.-.OB=OD=OC=CD

ZBCD=90*

取0D中點H,連結(jié)CH,則CH_LOD

以H為原點，HC,HD,HZ為x,y,z軸建立空間直角坐標系

由①可知，平面BCD的法向量萬=(0；0.1)

設(shè)C(g.O,C),B(0,-1,0),D(0,i.0)

則瓦J=(0-1.4)

vDE=2EA

AD?==(0.-

r.BE=Di-DB=(0^彳①且紀=(9白0)

設(shè)d-L平面BEC?=(x,y,z)

即儼產(chǎn)=0

Q?.SE=o[?+汾=o

4E.2

n=(v3.,-1.-)

4

由于二面角E-BC-D為45°

2

mcos4S*="=-=|cos(n?m)|=,4=

、b=1

**V三.M-seqSusx爐;x?x2x1=Y

21.⑴。=4I7,2a,=2,a=LD=4

C表示雙曲線的右支方程：e-*二1(1之口

(2)設(shè)r(1.M，設(shè)直線AB的方程為y=h(x-9+in，4(“21(方力)

+

FJ■，得-困口-x+?+2tl?(x-3+"■*]=16

a3

(16—tf)x+(kJ-2Jkxm)x—Jtf+kxm-m-16=0

-.rrA\\TB\=(l+kf)l(Xi-1)(xs-0]

=(1+殖卜后一如+啊)+；］

=(i+fcD16-kf216-fcf+4

=(1+kf)

m3+12

=(l+kf)

k--16

設(shè)％0=心，同理可得

imgi=a+嶺)最

所以。+般)居=(i+”)靛

m￡-16fc==kf-16*:

kf=

-I*&

「1=一%

即1+g=0

22.(1)f(x)=x-xlnx

f(x)=1-Inx-1=-lnx(x>0^

令f'(x)>0,則OVxVl,

令f