數(shù)學(xué)必修五復(fù)習(xí)

必修五第一章解三角形復(fù)習(xí)總結(jié)1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R的常見變形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).2．三角形面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.3．余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.4．余弦定理的推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).5．在△ABC中，邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，那么有：(1)A＋B＋C＝π，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).題型一：正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的直接應(yīng)用1．假設(shè)△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，那么邊b的值為()A.eq\r(3)＋1B．2eq\r(3)＋1C．2eq\r(6)D．2＋2eq\r(3)

2．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，那么B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°3.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個(gè)三角形的最小外角為()A．30°B．60°C．90°D．120°4．在△ABC中，a＝2，那么bcosC＋ccosB等于()A．1B.eq\r(2)C．2D．45．在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，那么cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)6．a(chǎn)、b、c為△ABC的三邊長，假設(shè)滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，那么∠C的大小為()A．60°B．90°C．120°D．150°題型二：判斷三角形的形狀〔邊角互化〕7．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊)，那么△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形8．在△ABC中，假設(shè)2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形狀一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形9．設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么10．在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．題型三：與三角形面積有關(guān)的解答題11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長；(3)求△ABC的面積．12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊的長，cosB=，且·＝－21.(1)求△ABC的面積；(2)假設(shè)a＝7，求角C.第一章解三角形參考答案1.答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(4,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，∴b＝2eq\r(6).2.答案C解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin60°,\r(3))＝eq\f(\r(2),2).∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.3.答案Ba∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內(nèi)角，那么cosC＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).∴C＝120°.∴最小外角為60°.4.答案C解析bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝2.5.答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝eq\r(2)a，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).6.答案C解析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴∠C＝120°.7.答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．8.答案C解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.9.答案2<a<8解析∵2a－1>0，∴a>eq\f(1,2)，最大邊為2a＋1.∵三角形為鈍角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)化簡得：0<a<8.又∵a＋2a－1>2a＋1，∴a>2，∴2<10.解設(shè)三角形外接圓半徑為R，那么a2tanB＝b2tanA?eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)?eq\f(4R2sin2AsinB,cosB)＝eq\f(4R2sin2BsinA,cosA)?sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2?2A＝2B或2A＋2B＝π?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．11.解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).(3)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),2).12.解〔1〕∵·＝－21，∴·=21.∴·=||·||·cosB=accosB=21.∴ac=35，∵cosB=，∴sinB=.∴S△ABC=acsinB=×35×=14.(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4eq\r(2).由正弦定理：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB).∴sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(5,4\r(2))×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),2).∵c<b且B為銳角，∴C一定是銳角．∴C＝45°.必修五第二章數(shù)列復(fù)習(xí)總結(jié)1．前n項(xiàng)和Sn與an之間的關(guān)系對(duì)任意數(shù)列{an}，Sn是前n項(xiàng)和，Sn與an的關(guān)系可以表示為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d3．假設(shè)三個(gè)數(shù)a，A，b構(gòu)成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，并且A＝eq\f(a＋b,2).4．在等差數(shù)列{an}中，假設(shè)m＋n＝p＋q.那么，am＋an＝ap＋aq.5．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1≤0))確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,an＋1≥0))確定．(2)因?yàn)镾n＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，假設(shè)d≠0，那么從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值；且n取最接近對(duì)稱軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值．一個(gè)有用的結(jié)論：假設(shè)Sn＝an2＋bn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列．反之亦然．7．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)假設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).(2)Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，那么eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).8．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.或an＝am·qn－m9．如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G＝±eq\r(ab).10．在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)m＋n＝k＋l，那么有am·an＝ak·al，當(dāng)m＋n＝2k時(shí)，am·an＝aeq\o\al(2,k).11．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：(1)公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1,na1q＝1)).(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略q＝1的情況．12．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍構(gòu)成等比數(shù)列．(注意：q≠－1或13．常用的裂項(xiàng)求和公式：(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；〔通分逆運(yùn)算〕(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).〔分母有理化〕14.錯(cuò)位相減法求和：一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和．題型一：等差數(shù)列，等比數(shù)列求根本量1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值．2．{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通項(xiàng)公式．3．設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項(xiàng)和，求Tn.4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，假設(shè)S3＝3，S6＝24，那么a9＝________.題型二：等差數(shù)列，等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用5．在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，那么2a9－a10A．24B．22C．20D．－86．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)a3＋a7＋a11＝6，那么S13等于()A．24B．25C．26D．277．兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，那么eq\f(a5,b5)的值是________．8．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，那么n的值為________．9．等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，那么數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S310．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝16，那么a3＝________.11．等差數(shù)列{an}的公差為2，假設(shè)a1，a3，a4成等比數(shù)列，那么a2＝________.12．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，假設(shè)a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋logA.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．2D．3eq\f(4,3)13．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S3＝2，S6＝18，那么eq\f(S10,S5)等于()A．－3B．5C．－31D．33題型三：利用an與Sn之間的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式14．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，那么k為()A．9B．8C．7D．15．如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，那么此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.16．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋2－4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.17．?dāng)?shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，假設(shè)a1＝1，an＋1＝eq\f(1,3)Sn(n≥1)，那么an＝____________.題型四：數(shù)列的綜合應(yīng)用18．等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝eq\f(1,a\o\al(2,n)－1)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.19．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.20．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,nan＋3)(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得對(duì)任意的n均有Sn>eq\f(t,36)總成立？假設(shè)存在，求出最大的整數(shù)t；假設(shè)不存在，請說明理由．

第二章數(shù)列參考答案1.解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因?yàn)镾n＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．2.解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，那么q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3).解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.當(dāng)q＝eq\f(1,3)時(shí)，a1＝18，∴an＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n.當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.綜上，當(dāng)q＝eq\f(1,3)時(shí)，an＝2×33－n；當(dāng)q＝3時(shí)，an＝2×3n－3.3.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，那么Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2,d＝1))，∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為eq\f(1,2)，∴Tn＝n×(－2)＋eq\f(nn－1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.4.答案15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，那么S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.5.答案A6.答案C解析∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，∴S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7＝26.7.答案eq\f(65,12)解析eq\f(a5,b5)＝eq\f(9a1＋a9,9b1＋b9)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(65,12).8.答案10解析S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝165，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(n＋1,n)＝eq\f(165,150)＝eq\f(11,10)，∴n＝10.9.答案210解析方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S310.答案4解析由題意知，q4＝eq\f(a5,a1)＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.11.答案－6解析由題意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.12.答案A解析∵a4a6＝aeq\o\al(2,5)，∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝3，得a5＝3eq\f(1,3).∵a1a9＝a2a8＝aeq\o\al(2,5)，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(＝log3aeq\o\al(4,5)＝log33eq\f(4,3)＝eq\f(4,3).13.答案D解析由題意知公比q≠1，eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝1＋q3＝9，∴q＝2，eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(a11－q10,1－q),\f(a11－q5,1－q))＝1＋q514.答案B解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2))，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.15.答案2n－1解析當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比數(shù)列，∴an＝2n－1，n∈N*.16.解(1)由題意，Sn＝2n＋2－4，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝23－4＝4，也適合上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，n∈N*.(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②②－①得，Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－23－eq\f(231－2n－1,1－2)＋(n＋1)·2n＋2＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.17.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－2，n≥2))解析an＋1＝eq\f(1,3)Sn，an＋2＝eq\f(1,3)Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝eq\f(1,3)(Sn＋1－Sn)＝eq\f(1,3)an＋1，∴an＋2＝eq\f(4,3)an＋1(n≥1)．∵a2＝eq\f(1,3)S1＝eq\f(1,3)，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－2，n≥2))18.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,2a1＋10d＝26，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2＋2n.所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝eq\f(1,a\o\al(2,n)－1)＝eq\f(1,2n＋12－1)＝eq\f(1,4)·eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,4)·(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)·(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝eq\f(n,4n＋1).19.解(1)由，當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①從而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝eq\f(1,9)[(3n－1)22n＋1＋2]．20.解(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d∵a1＝1.∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)bn＝eq\f(1,nan＋3)＝eq\f(1,2nn＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn>eq\f(t,36)總成立，又Sn＋1－Sn＝eq\f(n＋1,2n＋2)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(1,2n＋2n＋1)>0，∴數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的．∴S1＝eq\f(1,4)為Sn的最小值，故eq\f(t,36)<eq\f(1,4)，即t<9.又∵t∈Z，∴適合條件的t的最大值為8.第三章不等式復(fù)習(xí)總結(jié)1．一元二次不等式的解法〔求方程的根，畫二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出解集〕一元二次不等式經(jīng)過變形，可以化成以下兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0).三個(gè)二次關(guān)系如下表所示：判別式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞){x|x∈R且x≠－eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2．分式不等式的同解變形法那么：〔移項(xiàng)，通分，化成整式〕(1)eq\f(fx,gx)>0?f(x)·g(x)>0；(2)eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0,gx≠0))；(3)eq\f(fx,gx)≥a?eq\f(fx－agx,gx)≥0.3．處理不等式恒成立問題的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情況：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).(2)一般地，假設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，那么：a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max；a<f(x)，x∈D恒成立?a<f(x)min.線性規(guī)劃4．二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域確實(shí)定(1)直線定界；(2)特殊點(diǎn)定域5.線性規(guī)劃中的根本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式或方程線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題6．用圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟：(1)分析并將數(shù)據(jù)列出表格；(2)確定線性約束條件；(3)確定線性目標(biāo)函數(shù)；(4)畫出可行域；(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；根據(jù)實(shí)際問題的需要，適當(dāng)調(diào)整最優(yōu)解(如整數(shù)解等)．根本不等式7．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))．8．假設(shè)a，b都為正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)，稱上述不等式為根本不等式，其中eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均數(shù)．9．根本不等式的常用推論(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)當(dāng)x>0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2；當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≤－2.(3)當(dāng)ab>0時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；當(dāng)ab<0時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．10．設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)(1)假設(shè)x＋y＝s(和s為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4).〔和定積最大〕(2)假設(shè)xy＝p(積p為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值，且這個(gè)值為2eq\r(p).〔積定和最小〕11．利用根本不等式求積的最大值或和的最小值時(shí)，需滿足：(1)x，y必須是正數(shù)；(2)求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否為定值．(3)等號(hào)成立的條件是否滿足．利用根本不等式求最值時(shí)，一定要注意三個(gè)前提條件，概括為“一正、二定、三相等”．題型一：不等式的根本性質(zhì)1．a(chǎn)、b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，那么以下命題成立的是()A．a(chǎn)2<b2B．a(chǎn)2b<ab2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)答案C解析對(duì)于A，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，a2<b2不成立；對(duì)于B，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；對(duì)于C，∵a<b，eq\f(1,a2b2)>0，∴eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)；對(duì)于D，當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)＝－1.2．假設(shè)1≤a≤5，－1≤b≤2，那么a－b的取值范圍為________．答案[－1,6]解析∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.題型二：一元二次不等式的解法，分式不等式，簡單的高次不等式的解法1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(3,2)))答案B解析∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根為2，－1，那么當(dāng)a<0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為()A．{x|x<－1或x>2}B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2}D．{x|－1≤x≤2}答案D解析由題意知，－eq\f(b,a)＝1，eq\f(c,a)＝－2，∴b＝－a，c＝－2a又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.1．不等式eq\f(x－2,x＋3)>0的解集是()A．(－3,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案C解析解不等式eq\f(x－2,x＋3)>0得，x>2或x<－3.3．不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集為()A．{x|x≠－2}B．RC．?D．{x|x<－2或x>2}答案A解析原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集為{x|x≠－2}．4．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解是()A．[－3，eq\f(1,2)]B．[－eq\f(1,2)，3]C．[eq\f(1,2)，1)∪(1,3]D．[－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]答案D解析eq\f(x＋5,x－12)≥2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥2x－12,x－1≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))∴x∈[－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]．題型三：含參數(shù)的一元二次不等式問題11．假設(shè)不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2)