2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)攻略核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)六十五

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)六十五

圓錐曲線與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.若直線y=kx-2與拋物線yz=8x交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,且

|厶/|，4,|3尸|成等差數(shù)列，則卜=（）

A.2或-1B.-1

C.2D.1±V5

【解析】選C.設(shè)A(x,y),B(x,y).

1122

由卩=kx-2,消去y,得k2X2-4伏+2)X+4=0,故

ly2=8x

△=16依+2)2-16k2=64(l+fc)>0,

解得k>-1,且x+xdQ).

1

2k2

由MF|二x七=X+2,|8F|二x之;X+2,且l/lFl，4,成等差數(shù)列,

1,12,2

得x+2+x+2=8,得x+x=4,

1212

所以“"+2)=4解得k=T或k=2,

又k>-1,故k=2.

-1-

22

2.如圖,F,F分別是雙曲線匚==1色>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓

12”2方2

心，叫為半徑的圓與該雙曲線左支交于A,B兩點(diǎn)，若與2AB是等邊三角形，則雙

曲線的離心率為（)

A.痣B.2C.TD,6+1

【解析】選D.連接AF,依題意知:

1

|4引2c居即=2|4FI|，

所以2a=|4F2門4F]|:(61)|4居|,

ag/Fj=v?+1

a(毎1)|用|

3.已知拋物線C:y2=x,M為X軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn),MA,MB為拋物線的切線,A,B分別

為切點(diǎn)，則加,麗的最小值為（）

A.--B.丄C.丄D.-1

R4?

【解析】選A.設(shè)切線MA的方程為x=ty+m.

代入拋物線方程得y2-ty-m=0.

由直線與拋物線相切得A=t2+4m=0,m=-—,

4

所以M（_?,0），則人號(hào)》號(hào)勺

-2-

故MA?MB*,j）*（一，-）三三（產(chǎn)《

當(dāng)t=±—?麗的最小值為一丄.

?16

222

4.已知雙曲線C:匚-y2=l,雙曲線C:二-二=l（a>b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,M

1A2C2b212

是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且0M丄MF,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMF的面積S=16,

222

且雙曲線C,C的離心率相同,則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)是（）

122

A.32B.16C.8D.4

【解析】選B.雙曲線C：t-y2=1的離心率為止，

147

設(shè)F（c,0）,雙曲線C一條漸近線方程為y丄x,

22a

則|FM|=2L^=b,即|0M|=；c2_b2=a）

2va2+62\

由S=16得丄ab=16,即ab=32,又a?+b2=C2,￡="，解得a=8,b=4,c=4j^,即雙曲線的

2n2

實(shí)軸長(zhǎng)為16.

二、填空題（每小題5分，共20分）

廿2.,2

5.若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓L七二=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn)，

QA

則而?加的最小值為.

"2.,2

【解析】點(diǎn)P為橢圓土3-=1上的任意一點(diǎn)，

9?

設(shè)P（X,y）（-3WxW3,-2、2WyW20，依題意得左焦點(diǎn)F（-1,0）,所以

OP=(x,y),FP=(x+1,y),

-3-

所以FP?0P=X(x+1)+y2=X2+x+匸J'=±X2+X+8.

9g

記f(x)」xz+x+8,對(duì)稱軸x=--,

9?

又x￡[-3,3],

所以f(x)在[-3,3]上單調(diào)遞增，故f(x)2f(-3)=6,所以行-萬(wàn)的最小值為6.

答案：6

6.阿基米德(公元前287年一公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的

數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在y軸上,且橢圓C的離心

率為3面積為20五，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【解析】依題意設(shè)橢圓C的方程為匚+J=1(a>b>0),則橢圓C的面積為

22

S二JIab=20u，又e=解得32=25,b2=16.則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+==1.

答案:二+二二1

7g1G

7.已知平面上有兩定點(diǎn)A、B,該平面上一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的連線的斜率乘

積等于常數(shù)m(m￡R),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡可能是下面哪種曲線:①直線;②圓;③拋物

線;④雙曲線;⑤橢圓________(將所有可能的情況用序號(hào)都寫(xiě)出來(lái)).

【解析】設(shè)|AB|=2a(a>0),以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，則A(-Q,0),B(Q,0),

-4-

設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y）（x扌±a）,

則k='k二^—,

PAr-FaPBx-a

由題意，—:—?=m,艮卩y2=mx2-ma2.

r+nx-a

當(dāng)m=0時(shí)，方程化為y=0,表示直線；

當(dāng)m=-1時(shí)，方程化為X2+y2=a2,表示圓；

22

當(dāng)m>0時(shí)，方程化為［-壬=1,表示雙曲線；

22

當(dāng)m<0且mHT時(shí)，方程化為匚+上-=1,表示橢圓，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡可能是:①

一me?

直線；②圓；④雙曲線；⑤橢圓.

答案:①②④⑤

8.（2020?宿州模擬）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,A為拋物線C上異于頂點(diǎn)0

的一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a,b）（其中a,b滿足b2-4a<0）.當(dāng)|+|AF|最小時(shí),AABF

恰為正三角形,則a=.p|

【解析】依題意巴=1,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（l,0）.根據(jù)拋物線的定義可知，當(dāng)AB

垂直拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，|4B|+|AF|取得最小值，

因?yàn)?ABF為等邊三角形，所以|AF|=|BF|=|AB|,

-5-

又由拋物線定義得|AM|二|AF|,

所以|AM|=|AB|,所以A為MB中點(diǎn)，

故A1,力，由于三角形ABF為等邊三角形，

而B(niǎo)(Q.1)，根據(jù)對(duì)稱性有!■><(%+Q)=1,

解得a=3

答案:三

a

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知橢圓C:二+二1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(l,0),點(diǎn)壁)在C上.

滔h2[“？)

(1)求橢圓C的方程.

(2)若直線1:y=x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，問(wèn)y軸上是否存在點(diǎn)M,使得4ABM

是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理

由.

【解析】(1)由題意可得c=1,點(diǎn)P(^任)在C上，所以丄+3=1,又

4J9Q23b2

32=62+02=62+1,

22

解得32=4,b2=3,所以橢圓C的方程為上工=1.

4.3

⑵假設(shè)v軸上存在點(diǎn)M(0,使aABM是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

-6-

(x2y2_

+-

設(shè)AQi,%),B(x?,%),線段AB的中點(diǎn)為N(x0,yn),TT,消去V

ly=x+m

可得7x2+8mx+4m2-12=0,

2

A=64m2-28(42)=48(7-m2)>0,解得m2<7,所以x+x=--,

所以X二:止2二一%:,y=x+m=四,所以N(——也)，依題意有AM丄BM,MN丄I,

077007V7377

2m

由MN丄I,可得5X1=T，可得t二-三；

。干喲7

由AM丄BM可得上?紅工=7,

小孫

因?yàn)閥=x+m,y=x+m,代入上式化簡(jiǎn)可得

1122

2xx+

12(m-t)(zl+X2)+(m-t)2=0,

則2(4m212)_(8m)2+(8m)[

解得m=±yj3,

滿足題意.

22

1。.如圖,已知橢圓q三+纟口（b＞。）的左焦點(diǎn)F與拋物線q：產(chǎn)-2Pxs＞。）的焦點(diǎn)

重合,M是q與q在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)E,且IMEI?

-7-

(1)求橢圓C及拋物線C的方程.

12

⑵過(guò)E作直線1交橢圓C于A,B兩點(diǎn),則在橢圓的長(zhǎng)軸上是否存在點(diǎn)N,使得

1

NA-而為定值?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)由兩曲線焦點(diǎn)重合，知屮爐與

由橢圓的對(duì)稱性，知E為橢圓的右焦點(diǎn)，連接MF,

由橢圓的定義知|MF|+|ME|=4,

則|MF|=4一二二.

33

設(shè)M(x,y),過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H,

MM

由拋物線的定義知=

a

因而y二億)232x=~±,

M'%丿％丿R片3P

代人中，得丄+衛(wèi)二1,

4b2加2彳82

與，4^爐亭關(guān)立，

22

得p=2,b2=3,所以橢圓的方程為匚+匚=1,

4.3

拋物線的方程為y?=-4x.

(2)由(1)知E(1,0),若直線I的斜率存在,

設(shè)直線方程為y=k(x-1),

-8-

(―+^=1,_

由.43得(3+4k2)X2-8k2x+4k2-12=0.

y=k(x-l),

設(shè)A(x,y),B(x,y),

1122

所以X+x8A~~X?X

1212a+gz

假設(shè)點(diǎn)N存在，其坐標(biāo)為(m,0),其中-2WmW2,

NA?NR;(x-m,y),(x-m,y)