2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)檢測5-2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

一、選擇題

1.(2022屆北京十二中10月月考,2)已知@=(4,2)飛=3-1),若2〃1),則乂=()

A.-2B.-1C」D.2

22

答案A因?yàn)閍〃b,所以4X(T)=2x,解得x=-2.故選A.

2.(2022屆北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,2)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),若a〃b,則m的值為

()

A.4B.1C.-4D.-11

答案C因?yàn)閍〃b,所以mX(T)=2X2,解得m=-4.故選C.

3.(2022屆人大附中朝陽學(xué)校IO月月考,5)己知a=(-√3,-l),b=(l,√3),那么a,b的夾角

θ=()

A.30oB.60oC.120oD.150°

答案DVcosθ,“?bj2fT?θ=150°.

㈤??b?42

4.(2022屆云南質(zhì)檢(一)，3)在RtZiABC中,AC_LBC,D點(diǎn)是AB邊的中點(diǎn),BC=8,CA=12,則

運(yùn)?赤的值為()

Λ.-40B.52C.92D.-18

答案Λ在aABC中,阮g(方+旗，德加方,所以M?碼(藩-^2)=^χ(82-12")=-4O,故

選A.

5.(2022屆吉林名校10月聯(lián)考,5)已知3個(gè)非零平面向量a,b,c,下列選項(xiàng)中正確的是()

A.若入a+μb=0,則入=N=0

B.若a?b=a?c,則b=c

C.若(a?b)C=(a?c)b,則b=c

D.a,b,c兩兩之間的夾角可以都是鈍角

答案D對于選項(xiàng)A,當(dāng)a與b共線時(shí)，也可以滿足已知條件,所以A錯(cuò);對于選項(xiàng)B,a可能

為0,所以B錯(cuò);對于選項(xiàng)C,向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,所以C錯(cuò);對于選項(xiàng)D,a,b,c兩兩

之間的夾角可以都是鈍角，如都為120°,所以D正確,故選D.

6.(2022屆福建南平10月聯(lián)考,6)已知單位向量el,e?的夾角為等,則∣e∏λe?|的最小值為

)

答案C

,e-λ2

Ve1?e2=Ie11Ie21''∣'%「=《+V第-2λe,?e2=λ+λ+1=（λ+0+|汽，

則Ie_-λe2∣/,故Ie-λe2∣的最小值為當(dāng)

7.（2022屆貴陽摸底，6）在aABC中，ZBAC=90o,AB=AC=3,若點(diǎn)D,E分別是斜邊BC的三等分

點(diǎn),則加?位的值為（）

A.2B.√5C.4D.5

答案C?.?NBAC=90°,AB=AC=3,.?.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AC所在直線分別為X軸和y軸，

建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(0,0),B(3,0),C(0,3).因?yàn)镈,E分別是BC的三等分點(diǎn),

所以可取E(2,1),D(1,2),則屜(1,2),瘧(2,1),所以萬?正1X2+2X1=4.故選C.

8.(2022屆江蘇淮安車橋中學(xué)入學(xué)調(diào)研,7)已知aABC的外心為0,2旗蘇元|而|=|兩|=2,

則9?元的值是()

Λ.√3B.JC.2√3D.6

答案D

由2稱加元;得裕法行而即臍近則。為BC的中點(diǎn).

VO為AABC的外心，二|而|=|碗=|而，；2八1^為直角三角形，且ABlAC,如圖所示.

又「|加|=|布|=2=|礪|,，4(^8為等邊三角形，

Z0AB=60o,Z0AC=30o,\在Rt?ABC

中,IAC??J∣?∣2-∣^AB?2=2√3,.,.A??A?^?A????AC??cos∕0AC=2X2√Jx*6,故選D.

2

9.（2021皖北協(xié)作體月考,6）在平面直角坐標(biāo)系中，i,j分別是與X軸,y軸正方向同向的單位

向量,平面內(nèi)三點(diǎn)Λ,B,C滿足/4i+3j,?i-∣j,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí);實(shí)數(shù)k的

可能值的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案D由題意知i?j=0,∣i∣=∣j|=1,拈萬+0-4i-3j+kiTj=（k-4）iJj.

⑴若角A為直角,則M?g（4i+3j）LJ）=4k子0,解得k=∣;

⑵若角B為直角，則初?於（4i+3j）?[（卜4”-同=4（卜4）30,解得1i卷；

⑶若角C為直角,則就.BC={ki-?j）?[U-4）7-^]=k2-4k+J=0,解得或（

綜上可知,k的值為:或弓或;或共4個(gè),故選D.

OO4Z

10.（2022屆昆明10月調(diào)研,8）已知aABC的外接圓半徑為1,圓心為0,且而+√?2無0,則

歷?M的值為（）

Λ,2≠B.?1C?WD?"

2222

答案A?.,Z?ABC的外接圓半徑為1,I而|=|而gα∣=l.又

^0Λ+>^0B+i0C=Q,Λ√W+2^=-Ω1,兩邊平方得3海+4謔+4禽曲正就即

3+4+4√3^?^0C=?,J.^OB?無T同理可得加.^0A=~?,所以

OC.AB=OC?（θβ-?A'）^OC?OB-OC?而=-f+/故選A.

11.（2022屆北京四中期中,8）已知平面向量a,b滿足∣a-2b∣=√T瓦Ia|=3,若cos<a,b>[,則

∣b∣=（）

?.1B.2C.7D.；

42

答案B?.?Ia-2b∣=√19,∣a∣=3,cos<a,b>[,

ΛI(xiàn)a-2bI=y∕（a-2?）2=Va2+4?2-4a?b

=V∣a∣2+4∣?∣2-4∣a∣?IZ?|cos<a,Z?>=√19,/.41b12-31bITo=0,解得Ibl=2或IbI=T（舍）.故

選B.

12.（2022屆河南三門峽11月模擬，10）已知菱形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M是線段CD的中

點(diǎn),舜2麗;則不?（臍聞）=（）

3

D.y

答案Λ由已知得出任加百匕存彳萬,臍阱麗：正正-g為分g應(yīng)?,則刀;?(麗?麗)=g4+

屈?(滲網(wǎng)WX翅-凈*X16-i×16=≡-8=-p故選?.

二、填空題

13.(2022屆江西五校11月聯(lián)考，13)已知向量a=(l,l),b=(3,-4),則向量a在向量b方向上

的投影為.

答案T

解析向量a在b方向上的投影為IalCoS<a,b〉|三■岑手絆=-；.

1〃√32+(-4)25

14.(2022屆湖北部分重點(diǎn)中學(xué)開學(xué)聯(lián)考,14)已知向量a,b滿足∣a∣=2,∣b∣=近,且(2b-a)La,

貝Ucos<a,b>=

答案y

解析由已知得(2b-a)?a=0,即2a?b=a2,BP2×2×√2cos<a,b>=4,則cos<a,b>=y.

15.(2022屆河北邢臺(tái)“五岳聯(lián)盟”10月聯(lián)考,13)設(shè)向量a,b均為單位向量,且aJ_b,則

(a+2b)?(3a-5b)=.

答案-7

解析YaLb,a,b均為單位向

量，...a?b=0,?a∣=Ibl=I,(a+2b)?(3a-5b)=3a2+a?b-10b2=3-10=-7.

16.(2022屆湖南三湘名校、五市十校聯(lián)考，14)己知點(diǎn)P(-2,O),AB是圓x2+y2=l的直徑,則

^PA?律.

答案3

解析設(shè)A(x,y),則B(-χ,?y),且

x2+y2=l.*.?(2+x,y),Λ5=(2-χ,-y),：.PA?^=(2+x)(2-χ)-y2=4-(x2+y2)=3.

17.(2022屆清華附中10月月考，13)已知平面向量a,b滿足a=(1,3),b|=1,貝∣J∣a-b|的取值

范圍是.

答案[√^T,√TU+1]

解析由a=(l,3)得IaI=√TU,

4

Ia-b12=Ia12-2IaI∣bcos<a,b>+1b∣2=ll-2√Iθ?cos<a,b>,因?yàn)椤碼,b>∈[0,n],故

√11-2√Tθ≤Ia-bI≤√11+2√Tθ,即√TUτ≤∣a-b∣≤√10+l.

18.(2020海淀二模，14)已知點(diǎn)A(2,0),B(1,2),C(2,2),I萬|=IAB-AC?,0為坐標(biāo)原點(diǎn),則

IAP?=.旗與瓦夾角的取值范圍是.

答案1=[°'÷]

解析由題意得法於法(T,0),故|定葩=1,又I羽=I辦元1,.?.勵(lì)=1,即P點(diǎn)的軌跡

是以A為圓心，1為半徑的圓，故可設(shè)p(2+cosα,sinα),才與德的夾角為

8(OWa<2n,OWθW6),則須=(2+cosa,sin