專題08 點(diǎn)、線、面位置關(guān)系（向量法）-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)考點(diǎn)分層與專項(xiàng)檢測（新高考專用）原卷版

2/2專題08點(diǎn)、線、面位置關(guān)系向量法（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點(diǎn)】 8【基礎(chǔ)考點(diǎn)一】空間直角坐標(biāo)系 8【基礎(chǔ)考點(diǎn)二】空間向量及運(yùn)算 9【基礎(chǔ)考點(diǎn)三】求平面法向量 10【基礎(chǔ)考點(diǎn)四】用空間向量求線面角 12【基礎(chǔ)考點(diǎn)五】用空間向量求二面角 14【綜合考點(diǎn)】 15【綜合考點(diǎn)一】點(diǎn)到線（面）距離 15【綜合考點(diǎn)二】已知線面角求參數(shù) 17【綜合考點(diǎn)三】已知二面角求參數(shù) 19【培優(yōu)考點(diǎn)】 20【培優(yōu)考點(diǎn)一】探索性問題 20【培優(yōu)考點(diǎn)二】最值與范圍問題 22【總結(jié)提升】 24【專項(xiàng)檢測】 26備考指南備考指南考點(diǎn)考情分析考頻空間幾何體的表面積、體積2023年新高考Ⅰ卷T142023年新高考Ⅱ卷T92023年新高考Ⅱ卷T142023年全國乙卷T32023年全國乙卷T82022年新高考Ⅰ卷T42022年新高考Ⅱ卷T112022年全國甲卷T42022年全國甲卷T92021年新高考Ⅰ卷T32021年新高考Ⅱ卷T42021年新高考Ⅱ卷T53年12考球與多面體的切接2023年全國乙卷T162022年新高考Ⅰ卷T82022年新高考Ⅱ卷T72022年全國乙卷T92021年全國甲卷T113年5考線面位置關(guān)系2023年全國乙卷T92022年新高考Ⅰ卷T92022年全國甲卷T72022年全國乙卷T72021年新高考Ⅱ卷T102021年全國乙卷T53年6考空間角與線面位置關(guān)系綜合2023年新高考Ⅰ卷T182023年新高考Ⅱ卷T202023年全國甲卷T182023年全國乙卷T192022年新高考Ⅰ卷T192022年新高考Ⅱ卷T202022年全國甲卷T182022年全國乙卷T182021年新高考Ⅱ卷T192021年全國甲卷T192021年全國乙卷T183年11考立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T202年3考最短距離、截面、截線2023年新高考Ⅱ卷T142023年全國甲卷T151年2考預(yù)測：以空間幾何體為載體考查空間角(以線面角為主)是高考命題的重點(diǎn)，常與空間線面位置關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點(diǎn)為空間角的求解，常以解答題的形式進(jìn)行考查.高考注重利用向量方法解決空間角問題，但也可利用幾何法來求解；空間距離(特別是點(diǎn)到面的距離)也是高考題中的常見題型，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線面關(guān)系或空間角存在的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上.近幾年在立體幾何客觀的考察中，第2問用空間向量來處理對學(xué)生更加有利.在二輪復(fù)習(xí)時(shí)建議加強(qiáng)對基礎(chǔ)性的考點(diǎn)訓(xùn)練，同時(shí)也要強(qiáng)化計(jì)算量.能夠解決探索性的基本問題與最值和范圍與其他知識點(diǎn)的聯(lián)系.真題在線真題在線一、解答題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大小．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．6．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．10．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．12．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．基礎(chǔ)基礎(chǔ)考點(diǎn)【考點(diǎn)一】空間直角坐標(biāo)系【典例精講】（多選）（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）直角中是斜邊上的一動點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長度最小時(shí)（

）A．B．C．直線與的夾角余弦值為D．四面體的外接球的表面積為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，為圓上的動點(diǎn)，定點(diǎn)．現(xiàn)將軸左側(cè)半圓所在坐標(biāo)平面沿軸翻折，與軸右側(cè)半圓所在平面成的二面角，使點(diǎn)翻折至，仍在右側(cè)半圓和折起的左側(cè)半圓上運(yùn)動，則，兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮剑瑥T殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面為矩形，，，且，、分別為、的中點(diǎn)，與底面所成的角為，過點(diǎn)作，垂足為．下列說法正確的有（

）

A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題4．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）某同學(xué)參加課外航模興趣小組活動，學(xué)習(xí)模型制作.將一張菱形鐵片進(jìn)行翻折，菱形的邊長為1，，E是邊上一點(diǎn)，將沿著DE翻折到位置，使平面面，則點(diǎn)A與之間距離最小值是.【考點(diǎn)二】空間向量及運(yùn)算【典例精講】（多選）（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）在長方體，，是線段上（含端點(diǎn)）的一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．該長方體外接球表面積為 B．三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)， D．的最大值為1【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（

）A．向量，，共面，即它們所在的直線共面B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．兩個非零向量與任何一個向最都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為二、多選題3．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：（1）過點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過點(diǎn)，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，M，的平面交棱AD于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為．【考點(diǎn)三】求平面法向量【典例精講】（多選）（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為2．則（

）

A．平面 B．平面平面C．與平面所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2022·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面二、多選題3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在各棱長均為2的正三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．，使得平面C．，使得平面D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角為三、填空題4．（2021上·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┰诶忾L為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，則直線FC到平面的距離為．【考點(diǎn)四】用空間向量求線面角【典例精講】（2023上·廣西·高二桂林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值的最小值.【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值．2．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在體積為的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是邊長為2的正三角形．(1)求證：平面平面．(2)求與平面所成角的正弦值．4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【考點(diǎn)五】用空間向量求二面角【典例精講】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).(1)在線段上找一點(diǎn)，使平面，并說明理由；(2)若平面平面，求平面與平面所成二面角的正弦值.【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形與均為直角梯形，平面平面EFAD，，，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）如圖，三棱錐中，與均為等邊三角形，，M為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)，求二面角的余弦值.3．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，，，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．綜合考點(diǎn)綜合考點(diǎn)【考點(diǎn)一】點(diǎn)到線（面）距離【典例精講】（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面的夾角的正弦值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，和交于點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.2．（2022上·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)校考期末）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，過A作一個平面使得平面.(1)求平面將四棱錐分成兩部分幾何體的體積之比；(2)若平面與平面之間的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）三棱臺中，平面，，且，，是的中點(diǎn)．

(1)求三角形重心到直線的距離；(2)求二面角的余弦值．4．（2017·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).(1)在圖中作一個平面，使得，且平面.（不必給出證明過程，只要求作出與直棱柱的截面）；(2)若，求平面與平面的距離.【考點(diǎn)二】已知線面角求參數(shù)【典例精講】（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【變式訓(xùn)練】1．（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰谔菪沃?，，，，P為的中點(diǎn)，線段與交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.

(1)求二面角的余弦值；(2)線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.2．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ABC，，側(cè)面ABFE為正方形，，M為AB的中點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)λ的值．3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，三棱錐的體積為．

(1)求側(cè)棱的長；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．【考點(diǎn)三】已知二面角求參數(shù)【典例精講】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值.【變式訓(xùn)練】1．（2017·安徽黃山·校聯(lián)考二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，，M在PC上，且PA∥平面MBD．

(1)求證：M是PC的中點(diǎn).(2)在PA上是否存在點(diǎn)F，使二面角F-BD-M為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.2．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.3．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃╅L方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．4．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．培優(yōu)考點(diǎn)培優(yōu)考點(diǎn)【考點(diǎn)一】探索性問題【典例精講】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在四面體中，分別是線段的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；(2)是否存在，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出此時(shí)的長度；若不存在，請說明理由.2．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，且.

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與側(cè)面所成角的余弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由.3．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角的余弦值．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┤鐖D1，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.【考點(diǎn)二】最值與范圍問題【典例精講】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）如圖，在直四棱柱中，，，為等邊三角形．(1)證明：；(2)設(shè)側(cè)棱，點(diǎn)E在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求AE與平面所成的角的大小．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，，M為棱PD上一點(diǎn)．(1)是否存在點(diǎn)M，使得直線平面BPQ?若存在，請指出點(diǎn)M的位置并說明理由；若不存在，請說明理由；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求二面角的余弦值．3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，對應(yīng)的邊分別為，且．且(1)求；(2)若，上有一動點(diǎn)（異于B、C），將沿AP折起使BP與CP夾角為，求與平面所成角正弦值的范圍．4．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在水平放置的直角梯形中，.以所在直線為軸，將向上旋轉(zhuǎn)角得到，其中.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過，求的范圍.總結(jié)提升總結(jié)提升1.利用幾何法求異面直線所成的角時(shí)，通過平移直線所得的角不一定就是兩異面直線所成的角，也可能是其補(bǔ)角.2.用向量法時(shí)，要注意向量夾角與異面直線所成角的范圍不同.3.求直線與平面所成角的方法方法一：幾何法.步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.方法二：空間向量法.步驟為：①求出平面α的法向量n與直線AB的方向向量eq\o(AB,\s\up6(→))；②計(jì)算cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·n,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)；③利用sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|，以及θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求出角θ.4.幾何法求線面角的關(guān)鍵是找出線面角(重點(diǎn)是找垂線與射影)，然后在三角形中應(yīng)用余弦定理(勾股定理)求解；5.向量法求線面角時(shí)要注意：線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的關(guān)系是〈a，n〉＋θ＝eq\f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq\f(π,2)，所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.6.求平面與平面的夾角方法方法一：幾何法.步驟為：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角)；②證明所找的角就是要求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.求二面角的平面角的口訣：點(diǎn)在棱上，邊在面內(nèi)，垂直于棱，大小確定.方法二：空間向量法.步驟為：①求兩個平面α，β的法向量m，n；②計(jì)算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)；③設(shè)兩個平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈m，n〉|.7.用幾何法求解二面角的關(guān)鍵是：先找(或作)出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.8.利用法向量的依據(jù)是兩個半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補(bǔ)，在求二面角的大小時(shí)，一定要判斷出二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?9.空間中點(diǎn)、線、面距離的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系10.空間距離的求解方法有：(1)作垂線段；(2)等體積法；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化；(4)空間向量法.11.探究問題與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或平面與平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題.解題思路：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.12.解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立，再在這個前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立.(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的應(yīng)用.專項(xiàng)專項(xiàng)檢測一、單選題1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，，二面角的大小為．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，球O的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（

）A．向量，，共面，即它們所在的直線共面B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．兩個非零向量與任何一個向最都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為3．（2021·浙江·校聯(lián)考二模）如圖，在正方體中，在棱上，，平行于的直線在正方形內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離記為，記二面角為為，已知初始狀態(tài)下，，則（

）A．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 B．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大C．當(dāng)增大時(shí)，先增大后減小 D．當(dāng)增大時(shí)，先減小后增大4．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正方體中，P為棱AD上的動點(diǎn)．給出以下四個命題：①；②異面直線與所成角的取值范圍為；③有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面；④三棱錐的體積是定值．其中真命題的個數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)分別是，點(diǎn)是底面內(nèi)任意一點(diǎn)（包括邊界），則三棱錐的體積的取值范圍是（

）

A． B． C． D．6．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，M，N兩點(diǎn)在線段上運(yùn)動，且，給出下列結(jié)論：①在M，N兩點(diǎn)的運(yùn)動過程中，⊥平面；②在平面上存在一點(diǎn)P，使得平面；③三棱錐的體積為定值；④以點(diǎn)D為球心作半徑為的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長和為．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④7．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項(xiàng)點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F滿足，則八面體的總曲率為（

）

A． B． C． D．8．（2021·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知梯形如圖（1）所示，其中，為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面，得到如圖（2）所示的幾何體．已知當(dāng)上一點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）直角中是斜邊上的一動點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長度最小時(shí)（

）A．B．C．直線與的夾角余弦值為D．四面體的外接球的表面積為10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在長方體中，，點(diǎn)在底面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)滿足，則B．點(diǎn)到平面的距離范圍為C．若點(diǎn)滿足，則不存在點(diǎn)使得D．當(dāng)時(shí)，四面體的外接球體積為11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)A到直線的距離為B．點(diǎn)B到平面的距離為C．若點(diǎn)在直線上，則D．若點(diǎn)在平面內(nèi)，則12．（2022上·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，與所成夾角可能為B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)的截面面積的取值范圍為三、填空題13．（2023·