5.2.1實(shí)際問題的函數(shù)刻畫(2)教案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第五章函數(shù)應(yīng)用5.2實(shí)際問題中的函數(shù)模型5.2.1實(shí)際問題的函數(shù)刻畫(2)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)習(xí)在實(shí)際情境中確認(rèn)與問題相關(guān)的因素，把握各因素之間的關(guān)系，提高閱讀理解的能力．2.學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)表達(dá)實(shí)際問題中因素之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：分析實(shí)際問題中各相關(guān)因素之間的關(guān)系，建立刻畫實(shí)際問題的函數(shù)模型．難點(diǎn)：建立刻畫實(shí)際問題的函數(shù)模型．教學(xué)過程教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入情境：現(xiàn)有一把椅子，四條腿一樣長且四腳連線成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否將這把椅子四腳同時(shí)落地放穩(wěn)？依照生活經(jīng)驗(yàn)，如果一把椅子沒放穩(wěn)，只需前后挪動(dòng)幾下，或者旋轉(zhuǎn)一下就能夠放穩(wěn)了，也就是說答案應(yīng)該是肯定的．你能否用函數(shù)的觀點(diǎn)來給出理性的解釋？設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的實(shí)際情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，為接下來從函數(shù)的角度分析實(shí)際問題鋪墊．二、新知探究問題1：現(xiàn)有一把椅子，四條腿一樣長且四腳連線成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否將這把椅子四腳同時(shí)落地放穩(wěn)？你能否用函數(shù)的觀點(diǎn)來解釋？探究：如圖，記這把椅子四腳連線所形成的圖形為正方形ABCD，對(duì)角線的交點(diǎn)為O；以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，初始位置的AC轉(zhuǎn)過θ角時(shí)，記A，C兩點(diǎn)與地面距離之和為fθ，B，D兩點(diǎn)與地面距離之和為gθ．因?yàn)槿我馕恢玫囊巫佣伎梢匀荒_與地面接觸，所以總有fθ?gθ=對(duì)于初始位置，不妨設(shè)f0°=0，g追問1：椅子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，你能判斷此時(shí)Fθ的符號(hào)嗎答案：g90°=f0°=0于是，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可知在區(qū)間[0°，90°]上存在a，使得Fa=0，即f這個(gè)例子告訴我們，零點(diǎn)存在定理的重要實(shí)用價(jià)值在于判斷事物的存在性．另外，用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察生活，會(huì)對(duì)已知的事實(shí)或經(jīng)驗(yàn)給出理性的解釋．注意：當(dāng)不易建立起函數(shù)模型時(shí)，可根據(jù)實(shí)際問題中變量的變化規(guī)律，或結(jié)合圖形的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析，找出實(shí)際問題的解．問題2：通過市場(chǎng)調(diào)查，得到一枚某紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的關(guān)系如下：上市時(shí)間x41036市場(chǎng)價(jià)y905190探究：根據(jù)上表，你能從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的關(guān)系嗎？①y=ax+b，②y=ax2答案：由表可得，隨著x的值的增大，y的值先減小后增大，而所給的三個(gè)函數(shù)中，y=ax+b和y=alog因此，選取函數(shù)y=ax追問：利用你所選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．答案：把4，90，10，51，36，90代入y=ax42a+4b+c=90，102a+10b+c=51，362a+36b+c=90?a=14，b=?10y=14當(dāng)x=20時(shí)，y取得最小值，ymin該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)為20，最低價(jià)格為26元．通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們所熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是先建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，然后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義進(jìn)行求解．設(shè)計(jì)意圖：提升學(xué)生的閱讀能力，幫助學(xué)生理解生產(chǎn)實(shí)際情境，明確解決問題的價(jià)值．三、應(yīng)用舉例例1:18世紀(jì)70年代，德國科學(xué)家戴維提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離（天文單位）如下表：行星1(金星)2(地球)3(火星)4()5(木星)6(土星)7()距離0.71.01.65.210.0他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測(cè)在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星，后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物，請(qǐng)你推測(cè)谷神星的位置，在土星外面的天王星與太陽的距離大約是多少？解：由數(shù)值對(duì)應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖：根據(jù)散點(diǎn)圖可設(shè)fx代入前3個(gè)數(shù)據(jù)可得：a=320，b所以fx將x=5，x=6，代入檢驗(yàn)，所以f4=2.8故谷神星、天王星距離太陽的距離分別為2.8，19.6例2：加油站的汽油都存儲(chǔ)在地下油槽中，由于比較容易測(cè)量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度來監(jiān)控油槽中的油料量．現(xiàn)有一圓柱體油槽，橫臥地下，其母線呈水平狀態(tài)，縱截面是圓（如下圖），截面圓半徑是120cm，圓柱的長是400cm．從資料可查出圓的弓形面積與圓面積比例系數(shù)表（如下表），它給出了弓形面積占單位圓面積的比值Ck．其中Ck=θ180k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0C00.0191.60.0940.1420.1960.2520.3120.3740.4360.5為了方便加油站操作人員估計(jì)油槽中的油料量，請(qǐng)編制一份油料的液面高度?（單位：cm）與油料量V（單位：L）的對(duì)照表，該表的油料液面高度取值從0開始，最大為120cm，間隔12cm．（π取3.14，油料量精確到解：如圖，油槽截面的油料液面線為AB，記油料液面高度?時(shí)的油料的面積為S?依題意知：S?V?這里r=120cm，于是可得到油料的液面高度?與油料量?/01224364860728496108120k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S/0859.1042351.2324250.3046420.6728862.33611394.43214107.39216910.78419714.17622608V034494017002568354545585643676478869043四、課堂練習(xí)1．某廣告公司要為客戶設(shè)計(jì)一幅周長為（單位：m）的矩形廣告牌，如何設(shè)計(jì)這個(gè)廣告牌可以使廣告牌的面積最大？2．某食品的保鮮時(shí)間y（單位：h）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系（e為無理數(shù)自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）．若該食品在0°C的保鮮時(shí)間是192h，在22°C的保鮮時(shí)間是48h，則該食品在33°C的保鮮時(shí)間是________h參考答案：1.設(shè)矩形的一邊長為x，廣告牌面積為S，則S＝－(x－eq\f(l,4))2＋eq\f(l2,16)，x∈(0，eq\f(l,2))．當(dāng)x＝eq\f(l,4)時(shí)，S取到最大值，且Smax＝eq\f(l2,16)．所以當(dāng)廣告牌是邊長為eq\f(l,4)的正方形時(shí)，廣告牌的面積最大．2.解：根據(jù)題意，當(dāng)x=0時(shí)，y=192，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，則．所以該食品在33°C的保鮮時(shí)間為，即24h．五