5.2.1實際問題的函數刻畫(2)教案-高一上學期數學北師大版

第五章函數應用5.2實際問題中的函數模型5.2.1實際問題的函數刻畫(2)教學目標教學目標1.學習在實際情境中確認與問題相關的因素，把握各因素之間的關系，提高閱讀理解的能力．2.學習用數學表達實際問題中因素之間的關系，體會數學的應用價值．教學重難點教學重難點重點：分析實際問題中各相關因素之間的關系，建立刻畫實際問題的函數模型．難點：建立刻畫實際問題的函數模型．教學過程教學過程一、情境導入情境：現(xiàn)有一把椅子，四條腿一樣長且四腳連線成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否將這把椅子四腳同時落地放穩(wěn)？依照生活經驗，如果一把椅子沒放穩(wěn)，只需前后挪動幾下，或者旋轉一下就能夠放穩(wěn)了，也就是說答案應該是肯定的．你能否用函數的觀點來給出理性的解釋？設計意圖：通過生活中的實際情境，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，為接下來從函數的角度分析實際問題鋪墊．二、新知探究問題1：現(xiàn)有一把椅子，四條腿一樣長且四腳連線成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否將這把椅子四腳同時落地放穩(wěn)？你能否用函數的觀點來解釋？探究：如圖，記這把椅子四腳連線所形成的圖形為正方形ABCD，對角線的交點為O；以點O為旋轉中心，初始位置的AC轉過θ角時，記A，C兩點與地面距離之和為fθ，B，D兩點與地面距離之和為gθ．因為任意位置的椅子都可以三只腳與地面接觸，所以總有fθ?gθ=對于初始位置，不妨設f0°=0，g追問1：椅子逆時針旋轉90°，點D轉到點A，你能判斷此時Fθ的符號嗎答案：g90°=f0°=0于是，根據函數零點存在定理，可知在區(qū)間[0°，90°]上存在a，使得Fa=0，即f這個例子告訴我們，零點存在定理的重要實用價值在于判斷事物的存在性．另外，用函數的觀點觀察生活，會對已知的事實或經驗給出理性的解釋．注意：當不易建立起函數模型時，可根據實際問題中變量的變化規(guī)律，或結合圖形的變化趨勢進行分析，找出實際問題的解．問題2：通過市場調查，得到一枚某紀念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的關系如下：上市時間x41036市場價y905190探究：根據上表，你能從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的關系嗎？①y=ax+b，②y=ax2答案：由表可得，隨著x的值的增大，y的值先減小后增大，而所給的三個函數中，y=ax+b和y=alog因此，選取函數y=ax追問：利用你所選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格．答案：把4，90，10，51，36，90代入y=ax42a+4b+c=90，102a+10b+c=51，362a+36b+c=90?a=14，b=?10y=14當x=20時，y取得最小值，ymin該紀念章市場價最低時的上市天數為20，最低價格為26元．通過一些數據尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們所熟悉的哪一種函數圖象，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數據擬合．對于此類實際應用問題，關鍵是先建立適當的函數關系式，再解決數學問題，然后驗證并結合問題的實際意義進行求解．設計意圖：提升學生的閱讀能力，幫助學生理解生產實際情境，明確解決問題的價值．三、應用舉例例1:18世紀70年代，德國科學家戴維提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離（天文單位）如下表：行星1(金星)2(地球)3(火星)4()5(木星)6(土星)7()距離0.71.01.65.210.0他研究行星排列規(guī)律后預測在火星與木星之間應該有一顆大的行星，后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產物，請你推測谷神星的位置，在土星外面的天王星與太陽的距離大約是多少？解：由數值對應表作散點圖如圖：根據散點圖可設fx代入前3個數據可得：a=320，b所以fx將x=5，x=6，代入檢驗，所以f4=2.8故谷神星、天王星距離太陽的距離分別為2.8，19.6例2：加油站的汽油都存儲在地下油槽中，由于比較容易測量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度來監(jiān)控油槽中的油料量．現(xiàn)有一圓柱體油槽，橫臥地下，其母線呈水平狀態(tài)，縱截面是圓（如下圖），截面圓半徑是120cm，圓柱的長是400cm．從資料可查出圓的弓形面積與圓面積比例系數表（如下表），它給出了弓形面積占單位圓面積的比值Ck．其中Ck=θ180k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0C00.0191.60.0940.1420.1960.2520.3120.3740.4360.5為了方便加油站操作人員估計油槽中的油料量，請編制一份油料的液面高度?（單位：cm）與油料量V（單位：L）的對照表，該表的油料液面高度取值從0開始，最大為120cm，間隔12cm．（π取3.14，油料量精確到解：如圖，油槽截面的油料液面線為AB，記油料液面高度?時的油料的面積為S?依題意知：S?V?這里r=120cm，于是可得到油料的液面高度?與油料量?/01224364860728496108120k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S/0859.1042351.2324250.3046420.6728862.33611394.43214107.39216910.78419714.17622608V034494017002568354545585643676478869043四、課堂練習1．某廣告公司要為客戶設計一幅周長為（單位：m）的矩形廣告牌，如何設計這個廣告牌可以使廣告牌的面積最大？2．某食品的保鮮時間y（單位：h）與儲藏溫度x（單位：°C）滿足函數關系（e為無理數自然對數的底數，k、b為常數）．若該食品在0°C的保鮮時間是192h，在22°C的保鮮時間是48h，則該食品在33°C的保鮮時間是________h參考答案：1.設矩形的一邊長為x，廣告牌面積為S，則S＝－(x－eq\f(l,4))2＋eq\f(l2,16)，x∈(0，eq\f(l,2))．當x＝eq\f(l,4)時，S取到最大值，且Smax＝eq\f(l2,16)．所以當廣告牌是邊長為eq\f(l,4)的正方形時，廣告牌的面積最大．2.解：根據題意，當x=0時，y=192，所以當時，，所以，即，則．所以該食品在33°C的保鮮時間為，即24h．五