數(shù)學(xué)北師大版必修3學(xué)案3-2-2建立概率模型

2．2建立概率模型知識(shí)點(diǎn)建立不同的古典概型[填一填]一般地，在解決實(shí)際問題中的古典概型時(shí)，對(duì)同一個(gè)古典概型，把什么看作一個(gè)基本事件(即一次試驗(yàn)的結(jié)果)是人為規(guī)定的，也就是從不同的角度去考慮，只要滿足以下兩點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；②每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．就可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解決，所得可能結(jié)果越少，那么問題的解決就變得越簡(jiǎn)單．[答一答]應(yīng)該從哪個(gè)角度來建立古典概型？提示：一次試驗(yàn)中，常常不會(huì)確定基本事件，即對(duì)于把什么看作是古典概型中的基本事件會(huì)感到困難，其突破方法是結(jié)合實(shí)例積累經(jīng)驗(yàn)，循序漸進(jìn)地掌握．例如，一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4種等可能結(jié)果，這是一個(gè)古典概型；如果只考慮兩次拋擲向上的面是否相同，那么可以認(rèn)為試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，這兩個(gè)結(jié)果也是等可能的，也是古典概型；而把出現(xiàn)“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”當(dāng)作基本事件時(shí)，就不是古典概型．由此可見，無論從什么角度來建立古典概型，都要滿足古典概型的兩個(gè)特征：①試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)；②每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．否則，建立的概率模型不是古典概型．1．古典概型是一種最基本的概型，在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n.2．求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，注意做到不重不漏．3．對(duì)于用直接方法難以解決的問題，可以求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而求得其概率，以降低難度.類型一隨機(jī)事件中基本事件數(shù)的計(jì)算【例1】同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，則每人從中拿一張別人送出的賀卡的分配方法有多少種？【思路探究】將四張卡片分別編號(hào)，再利用樹狀圖列舉出來．【解】將4張賀卡編號(hào)為1,2,3,4，將4個(gè)人編號(hào)為1,2,3,4，進(jìn)行不對(duì)號(hào)排列，畫出如圖所示的樹狀圖，則共有9種分配方式．規(guī)律方法這是一個(gè)不對(duì)號(hào)入座問題，可以計(jì)算得3個(gè)人不對(duì)號(hào)入座的方法有2種；4個(gè)人不對(duì)號(hào)入座的方法有9種．一個(gè)袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球，從中先后取出2個(gè)球，共有多少種不同的結(jié)果？解：解法一：從袋中先后取出2個(gè)球，如記(紅，白)表示從袋中先取出紅球，再取出白球，則所有可能的結(jié)果為共有12種不同的結(jié)果．解法二：畫樹狀圖如圖．共有12種不同的結(jié)果．類型二概率模型的建立【例2】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求：(1)點(diǎn)數(shù)之和是7的概率；(2)出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率．【思路探究】首先找出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算．【解】作圖如下，從圖中容易看出，所有基本事件與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一對(duì)應(yīng)．因?yàn)镾中點(diǎn)的總數(shù)是6×6＝36個(gè)，所以基本事件總數(shù)n＝36.(1)記“點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件A，從圖中可看到事件A包含的基本事件共6個(gè)：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．所以P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B，從圖中可看到事件B包含的基本事件只有1個(gè)：(4,4)．所以P(B)＝eq\f(1,36).規(guī)律方法從不同的角度把握問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不同的古典概型，這是我們進(jìn)行概率計(jì)算的重要思想．當(dāng)所選取的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果的角度不同時(shí)，基本事件的個(gè)數(shù)也將不同，但是最終所求概率的值是確定的．在建立古典概型時(shí)：(1)要盡可能使所有可能出現(xiàn)的結(jié)果較少，以便使問題的解決更加簡(jiǎn)單；(2)建立概率模型時(shí)，要求后面所研究的事件都能輕易地表示成若干個(gè)基本事件的和．任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方值的末位數(shù)字是1的概率．解：因?yàn)檎麛?shù)的個(gè)數(shù)是無限的，所以不屬于古典概型．但是一個(gè)正整數(shù)的平方值的末位數(shù)字只取決于該正整數(shù)的末位數(shù)字，而正整數(shù)的末位數(shù)字是0,1,2，…，9中的任意一個(gè)數(shù)字．現(xiàn)任取一個(gè)正整數(shù)，0,1,2，…，9這10個(gè)數(shù)字在該正整數(shù)的末位是等可能出現(xiàn)的，因此所有的基本事件為0,1,2，…，9，共10個(gè)．而任取一個(gè)正整數(shù)，且該數(shù)的平方值的末位數(shù)字是1的事件有：1,9，共2個(gè)．故所求概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).類型三概率的綜合應(yīng)用【例3】(1)從含有兩件正品a1、a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品恰有一件次品的概率．(2)從含有兩件正品a1、a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品恰有一件次品的概率．【思路探究】因?yàn)槿〉卯a(chǎn)品中有一件次品，故可以把事件寫出來，直接判斷即可．【解】(1)每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即(a1，a2)，(a2，a1)，(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品”這一事件，則事件A由4個(gè)基本事件組成，因而，P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其可能的結(jié)果有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，由9個(gè)基本事件組成，由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件，則事件B包含4個(gè)基本事件，因而，P(B)＝eq\f(4,9).規(guī)律方法注意區(qū)分“放回”與“不放回”的區(qū)別．無放回取球時(shí)，取一次少一個(gè)球，每次的取法數(shù)遞減1；有放回取球時(shí)，每一次的取法數(shù)不發(fā)生改變．一個(gè)盒子里裝有完全相同的十個(gè)小球，分別標(biāo)上1,2，3，…，10這10個(gè)數(shù)字，今隨機(jī)地抽取兩個(gè)小球，如果：(1)小球是不放回的．(2)小球是有放回的．求兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．解：事件A＝{兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)}，則A＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)}，故mA＝18.(1)不放回取球時(shí)，總的基本事件數(shù)n＝10×9＝90.故P(A)＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5)(2)有放回取球時(shí)，總的基本事件數(shù)n＝10×10＝100.故P(A)＝eq\f(18,100)＝eq\f(9,50).——易錯(cuò)警示——因忽略古典概型中等可能性的判斷而出錯(cuò)【例4】任意投擲兩枚骰子，計(jì)算：(1)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”的概率；(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率；(3)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率．【錯(cuò)解】(1)點(diǎn)數(shù)相同是指同為1點(diǎn)，2點(diǎn)，…，6點(diǎn)，其中之一的概率是eq\f(1,6).(2)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，可取3、5、7、9、11共5種，所以“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率為eq\f(5,5＋6)＝eq\f(5,11).(3)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，可取2、4、6、8、10、12共6種，所以“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率為eq\f(6,11).【錯(cuò)解分析】(1)的錯(cuò)誤在于改變了原事件的含義，原事件是要求在投擲的所有結(jié)果中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)同為1,2,3,4,5,6的概率，而不是點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，其中之一的概率；(2)(3)中給出的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的11種情況不是等可能事件，如點(diǎn)數(shù)之和為2只出現(xiàn)一次：(1,1)，點(diǎn)數(shù)之和為3，則出現(xiàn)兩次：(2,1)、(1,2)．【正解】(1)任意投擲兩枚骰子，可看成等可能事件，其結(jié)果可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中兩個(gè)數(shù)i，j分別表示兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，共有6×6＝36(種)結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的數(shù)組為(i，j)(i＝j(luò)＝1,2，…，6)共有6種結(jié)果，故“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同”的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)由于每個(gè)骰子上有奇、偶數(shù)各3個(gè)，而按第1、第2個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)順次寫時(shí)，有(奇、奇)、(奇，偶)、(偶、奇)、(偶、偶)這四種等可能結(jié)果，所以“其和為奇數(shù)”的概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(3)由于骰子各有3個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)，因此“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”、“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”這兩個(gè)結(jié)果等可能，且為對(duì)立事件，所以“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率為P＝1－P(“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).【糾錯(cuò)心得】古典概型必須具備兩個(gè)條件：(1)有限性(即指試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的基本事件只有有限個(gè))；(2)等可能性(即指每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等)．判斷一個(gè)事件是否為古典概型，同學(xué)們只要緊緊抓住這兩個(gè)條件，即可得出正確結(jié)論．從裝有編號(hào)分別為a，b的2個(gè)黃球和編號(hào)分別為c，d的2個(gè)紅球的袋中無放回地摸球，每一次任摸一球，求：(1)第1次摸到黃球的概率；(2)第2次摸到黃球的概率．解：(1)第1次摸球有4個(gè)可能的結(jié)果：a，b，c，d，其中第1次摸到黃球的結(jié)果包括：a，b，故第1次摸到黃球的概率是eq\f(2,4)＝0.5.(2)先后兩次摸球有12種可能的結(jié)果：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，其中第2次摸到黃球的結(jié)果包括：(a，b)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，故第2次摸到黃球的概率為eq\f(6,12)＝0.5.一、選擇題1．拋擲一只骰子，落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是5的概率是(D)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：擲一次骰子相當(dāng)于做一次試驗(yàn)，因?yàn)轺蛔邮蔷鶆虻?，它?個(gè)面，每個(gè)面朝上的機(jī)會(huì)是相等的，故出現(xiàn)5點(diǎn)的可能性是eq\f(1,6).2．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋三次，恰好出現(xiàn)一次正面朝上的概率為(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：總事件數(shù)為8個(gè)，分別為：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出現(xiàn)1次正面朝上”的事件為事件A，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3個(gè)．所以，所求事件的概率為eq\f(3,8).3．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線x＋y＝5下方的概率為(A)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)解析：試驗(yàn)是連擲兩次骰子．共包含6×6＝36個(gè)基本事件，事件“點(diǎn)P在直線x＋y＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6個(gè)基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).二、填空題4．從含有三件正品和一件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是eq\f(1,2).