9.2向量運算（十二大題型）（原卷版）

9．2向量運算課程標準學(xué)習(xí)目標（1）能按照向量加、減法的研究路徑，類比數(shù)的乘法，定義平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，說明其幾何意義；能類比數(shù)的乘法提出并作圖證明向量數(shù)乘運算的運算律；能從研究向量數(shù)乘運算的結(jié)果人手，從向量共線的概念出發(fā)，提出并解釋兩個向量共線的充要條件．（2）能按照研究向量運算的一般路徑，以物理中的功為背景，提出并解釋平面向量數(shù)量積的概念，會計算平面向量的數(shù)量積；能類比平面向量的線性運算提出并作圖證明數(shù)量積運算的性質(zhì)；會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，解決向量的模、夾角等問題．（3）能作圖說明向量向向量的投影變換，并結(jié)合圖形直觀解釋向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表達式．（1）理解并掌握向量加法的概念．（2）掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算．（3）掌握向量減法的幾何意義．（4）掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量．3．會計算平面向量的數(shù)量積．（5）會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進行計算或證明．知識點01向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．3、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有4、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：5、向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．【即學(xué)即練1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．知識點02向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．【即學(xué)即練2】（2024·高一課時練習(xí)）化簡：；；.知識點03數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)結(jié)合律：；分配律：，【即學(xué)即練3】（2024·高二課時練習(xí)）已知，則.知識點04向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．【即學(xué)即練4】（2024·湖北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，是不共線的兩個向量，若，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線知識點05平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：（1）兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別①兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．②兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．③在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．（3）投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．3、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．4、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．（1）（2）（3）當與同向時，；當與反向時，．特別的或（4）（5）5、向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：（2）數(shù)乘結(jié)合律：（3）分配律：知識點詮釋：（1）已知實數(shù)、、（），則．但是；（2）在實數(shù)中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【即學(xué)即練5】（2024·北京大興·高三統(tǒng)考）已知等邊的邊長為，分別是的中點，則；若是線段上的動點，且，則的最小值為．題型一：向量加法法則例1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．(1)

(2)

(3)

例2．（2024·山東濟寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若圖表中小正方形邊長為1，求、．例3．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【方法技巧與總結(jié)】向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則（1）首尾相接（2）適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則（1）共起點（2）僅適用于不共線的兩個向量求和題型二：向量加法運算律的應(yīng)用例4．（2024·高一單元測試）如圖所示，P，Q是的邊BC上兩點，且.求證：.例5．（2024·新疆·高一校考）化簡下列各式:(1)(2)例6．（2024·高一課前預(yù)習(xí)）化簡(1)；(2).變式1．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，點分別為的三邊的中點.求證：(1)；(2).【方法技巧與總結(jié)】向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則（1）意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行．（2）應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．題型三：向量加法的實際應(yīng)用例7．（2024·高一課時練習(xí)）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進方向應(yīng)指向何處？實際航速為多少？例8．（2024·高一課時練習(xí)）有一艘在靜水中速度大小為10km/h的船，現(xiàn)船沿與河岸成角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結(jié)果沿垂直于河岸的方向駛達對岸．設(shè)河的兩岸平行，河水流速均勻．(1)設(shè)船相對于河岸和靜水的速度分別為，河水的流速為，求之間的關(guān)系式；(2)求這條河河水的流速．例9．（2024·高一課時練習(xí)）某人在靜水中游泳的速度為，河水自西向東的流速為1m/s，此人朝正南方向游去，求他的實際前進方向和速度．變式2．（2024·高一課時練習(xí)）如果小汽艇向著垂直河岸的方向行駛，在靜水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的實際運動速度是多大？方向怎樣？要使小汽艇沿垂直河岸方向到達對岸碼頭，船頭方向又應(yīng)怎樣？變式3．（2024·高一課時練習(xí)）一質(zhì)點從點出發(fā)，先向北偏東方向運動了到達點，再從點向正西方向運動了到達點，又從點向西南方向運動了到達點，試畫出向量、、以及．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用向量解決實際問題的基本步驟（1）表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題．（2）運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進行運算，解答向量問題．（3）還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題．題型四：向量的減法運算例10．（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．例11．（2024·河南周口·高一?？茧A段練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2)例12．（2024·高一單元測試）如圖，已知向量，，，，作出向量.變式4．（2024·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列式子：(1)；(2)；【方法技巧與總結(jié)】求作兩個向量的差向量的兩種思路（1）可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如，可以先作，然后作即可．（2）可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．題型五：向量減法法則的應(yīng)用例13．（2024·全國·高一專題練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．例14．（2024·高一課時練習(xí)）如圖，D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，則等式：①

②

③

④其中正確的題號是．例15．（2024·陜西西安·高三西安一中?？迹┰谄叫兴倪呅沃?，若，則四邊形的形狀為.變式5．（2024·高一課時練習(xí)）已知，，則的取值范圍是．【方法技巧與總結(jié)】（1）向量減法運算的常用方法（2）向量加減法化簡的兩種形式①首尾相連且為和．②起點相同且為差．解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用．題型六：向量的線性運算例16．（2024·廣西·高一?？迹?）畫圖象：已知函數(shù).請用“五點法”列表，并在下圖中作出函數(shù)在上的簡圖

（2）求下列未知向量；（3）化簡下列式子例17．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.(1)；(2)；(3).例18．（2024·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．變式6．（2024·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2).變式7．（2024·高一課時練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)；(4).【方法技巧與總結(jié)】向量線性運算的基本方法（1）類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”、“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．（2）方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算．題型七：用已知向量表示其他向量例19．（2024·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．例20．（2024·北京順義·高一牛欄山一中?？迹┤鐖D所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．例21．（2024·湖北黃石·高二陽新縣第一中學(xué)校聯(lián)考）如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．變式8．（2024·福建龍巖·高三校聯(lián)考）在中，為的中點，若，則（

）A． B． C． D．變式9．（2024·河北保定·高三河北易縣中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是的中點，和相交于點．記，則（

）A． B． C． D．變式10．（2024·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】用已知向量表示其他向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．題型八：向量共線的判定及應(yīng)用例22．（2024·福建廈門·高二廈門外國語學(xué)校?？迹┮阎?，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．例23．（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為不共線向量，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線例24．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線變式11．（2024·四川巴中·高一四川省平昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是不共線的向量，，若三點共線，則實數(shù)滿足（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明或判斷三點共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)，使得（或等）即可．（2）利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．題型九：三點共線的常用結(jié)論（雞爪定理）例25．（2024·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？迹┤鐖D，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．例26．（2024·高一課時練習(xí)）用向量法證明三角形的三條中線交于一點．例27．（2024·河南周口·高一太康縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.變式12．（2024·全國·高一課堂例題）如圖，已知為直線外一點，點在直線上，且．求證：．變式13．（2024·高一課時練習(xí)）如圖所示，中，，D為AB中點，E為CD上一點，且，AE的延長線與BC的交點為F.（1）用向量與表示；（2）用向量與表示，并求出和的值.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用判斷三點共線的一個常用結(jié)論：若A，B，C三點共線，為直線外一點存在實數(shù)x，y，使，且．題型十：求兩向量的數(shù)量積例28．（2024·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量與的夾角為，，，則．例29．（2024·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，點是的中點，則.例30．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？迹┮阎矫嫔蟽蓡挝幌蛄?，，，則在上的數(shù)量投影為.變式14．（2024·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，，則在方向上的投影向量是.變式15．（2024·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則.變式16．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量滿足，則.【方法技巧與總結(jié)】求平面向量數(shù)量積的方法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．題型十一：向量的模和夾角的計算問題例31．（2024·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，.(1)求；(2)求向量與的夾角的余弦值.例32．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，滿足，且.(1)求與的夾角；(2)求的大小.例33．（2024·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點.(1)求、的長；(2)求的余弦值.變式17．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考）若，且，求與的夾角.變式18．（2024·上海嘉定·高三?？迹┰O(shè)與均為單位向量.(1)若，求向量與的夾角；(2)若與的夾角為，設(shè)（其中），若，求的最大值;變式19．（2024·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，令，.(1)用表示，，；(2)若，且，求.【方法技巧與總結(jié)】（1）求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用，即，勿忘記開方．（2）求向量的夾角，主要是利用公式求出夾角的余弦值，從而求得夾角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以尋找三者之間的關(guān)系，然后代入求解．題型十二：與垂直有關(guān)的問題例34．（2024·新疆·高三學(xué)業(yè)考試）已知．(1)若θ為與的夾角，求θ的值；(2)若與垂直，求k的值．例35．（2024·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角是.(1)計算；(2)當k為何值時，？例36．（2024·江蘇連云港·高一連云港高中?？迹┮阎叫兴倪呅沃?，，，，點是線段的中點．(1)求的值；(2)若，且，求的值．變式20．（2024·全國·高一課堂例題）如圖所示，已知中，分別為邊上的高，而且與相交于點O，連接并延長，與相交于點D.求證：.變式21．（2024·全國·高一）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．(1)若，求；(2)若，且，求實數(shù)k的值；(3)若，且，求的值．【方法技巧與總結(jié)】解決有關(guān)垂直問題時利用（，為非零向量）．一、單選題1．（2024·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）若給定一向量組和向量，如果存在一組實數(shù)，使得，則稱向量能由向量組A線性表示，或稱向量是向量組A的線性組合，若為三個不共面的空間向量，且向量是向量組的線性組合，則（

）A． B． C．0 D．12．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（

）A．16 B．16 C．20 D．203．（2024·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為單位向量，且與的夾角為，則＝（

）A．49 B．19 C．7 D．4．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考）在等邊中，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，若，則（