模型03追及相遇模型

模型三、追及、相遇模型【模型解題】對運動圖象物理意義的理解

1.一看“軸”:先要看清兩軸所代表的物理量，即圖象是描述哪兩個物理量之間的關(guān)系.

2.二看“線”:圖象表示研究對象的變化過程和規(guī)律.在vt圖象和xt圖象中傾斜的直線分別表示物體的速度和位移隨時間變化的運動情況.

3.三看“斜率”:

xt圖象中斜率表示運動物體的速度大小和方向。Vt圖象中斜率表示運動物體的加速度、大小和方向。

4.四看“面積”:即圖線和坐標(biāo)軸所圍的面積往往代表一個物理量，但也要看兩物體量的乘積有無意義.例如v和t的乘積vt=x有意義，所以vt圖線與橫軸所圍“面積”表示位移，xt圖象與橫軸所圍“面積"無意義。

5.五看“截段”，截距一般表示物理過程的初始情況，例如t=0時的位移或速度。6.六看“特殊點”，例如交點、拐點，例如xt圖像的交點表示兩個質(zhì)點相遇，vt圖像的交點表示速度相等。二、追及與相遇問題

1.分析追及問題的方法技巧可概括為“一個臨界條件”、“兩個等量關(guān)系".

(1)一個臨界條件:速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問題的切入點:

(2)兩個等量關(guān)系:時間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找出兩物體的時間關(guān)系和位移關(guān)系是解題的突破口.

2.主要方法

(1)臨界條件法:當(dāng)二者速度相等時，二者相距最遠(最近).

(3)數(shù)學(xué)判別式法:設(shè)相遇時間為1,根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的元二次方程，用判別式進行討論，者s>0,即有兩個解，說明可以相遇兩次:若0=0,說明剛好追上或相遇;若A<0,說明追不上或不能相遇.

3.能否追上的判斷方法

物體B追趕物體A:開始時，兩個物體相距知若vr=vg時，xu+xo<xy,

則能追上;若vu=ve時，xs+xo=xu.

則恰好不相撞:若v.=vg時，xs+xo>xp,

則不能追上.

4.若被追趕的物體做勻減速直線運動，

定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運動.【模型訓(xùn)練】【例1】在水平地面上M點的正上方某一高度處，將S1球以初速度水平向右拋出，同時在M點右方地面上N點處，將S2球以初速度斜向左上方拋出，兩球恰在M、N連線的中點正上方相遇，不計空氣阻力，若兩球質(zhì)量相等，從拋出到相遇過程中（）A．初速度大小關(guān)系為B．小球受到的沖量相等C．水平位移相同D．都不是勻變速運動【答案】B【詳解】AC．根據(jù)題意可知兩個小球水平方向位移大小相等，方向相反，根據(jù)可知水平方向分速度大小相等，根據(jù)運動的分解可知故AC錯誤；BD．兩個小球都只受重力，加速度為重力加速度不變，做勻變速運動，兩個小球所受的沖量相等，相等，可知小球受到的沖量相等，故B正確，D錯誤。故選B變式1.1從高處以水平速度平拋小球，同時從地面以初速度豎直上拋小球，兩球在空中相遇，如圖所示。下列說法中正確的是（）A．從拋出到相遇所用的時間為B．從拋出到相遇所用的時間為C．兩球拋出時的水平距離為D．兩球拋出時的水平距離為【答案】C【詳解】AB．小球在水平方向為勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，小球做豎直上拋運動，則相遇時，兩球在豎直方向的位移大小之和等于高度，即解得此過程中的時間也等于小球在水平方向的位移與初速度的比值。故AB錯誤；CD．兩球之間的水平距離為故C正確，D錯誤。故選C。變式1.2如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經(jīng)過時間t在空中相遇，兩球從拋出到相遇下落的高度為h，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇下落的高度為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】兩球同時拋出，豎直方向均做自由落體運動，相等時間內(nèi)下降的高度相同，兩球始終在同一水平面上，相遇時水平方向滿足x＝vAt+vBt再次相遇時x不變，兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間變?yōu)椋鶕?jù)可知兩球下落的高度是故選B。【例2】a、b兩車在同一平直公路上行駛，a做勻速直線運動，兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是（）A．b車運動方向始終不變B．a(chǎn)、b兩車相遇一次C．到時間內(nèi)，a車的平均速度小于b車的平均速度D．到時間內(nèi)，某時刻a車的速度可能等于b車的速度【答案】D【詳解】A．圖線的斜率表示車的速度，斜率的正負表示速度方向，則b先沿正向運動后沿負向運動，故選項A錯誤；B．兩條圖線有兩個交點，說明a、b兩車相遇兩次，故選項B錯誤；C．車的位移大小等于縱坐標(biāo)的變化量，根據(jù)題圖可知到時間內(nèi)，兩車通過的位移相同，時間也相等，所以平均速度相等，故C錯誤；D．到時間內(nèi)，存在a車圖線切線斜率等于b車斜率的時刻，某時刻a車的速度可能等于b車的速度，故選項D正確。故選D。變式2.1甲、乙兩物體在同一地點同時開始做直線運動的圖像如圖所示。根據(jù)圖像提供的信息可知（）A．6s末乙追上甲B．在乙追上甲之前，甲乙相距最遠為8mC．8s末甲、乙兩物體相遇，且離出發(fā)點有32mD．在0～4s內(nèi)與4～6s內(nèi)甲的平均速度相等【答案】C【詳解】A．圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移，在0～6s內(nèi)，甲的位移乙的位移因此6s末乙未追上甲，故A錯誤；B．當(dāng)兩者速度相等時，距離最遠，即5s末距離最遠，此時則最遠距離故B錯誤；C．6s以后，甲物體停止運動，因此相遇時，距離出發(fā)點32m，乙所用時間故C正確；D．根據(jù)圖像可知，在0～4s內(nèi)甲的平均速度在4～6s內(nèi)甲的平均速度故D錯誤。故選C。變式2.2如圖所示是A、B兩物體沿同一直線運動過程所對應(yīng)的位移—時間（）圖像。則（）A．時A、B兩物體相遇 B．時A物體運動速度為零C．內(nèi)B物體速度逐漸減小 D．內(nèi)A、B兩物體平均速度大小相等【答案】A【詳解】A．由圖像可知，時A、B處于同一位置，即兩物體相遇，故A正確；B．根據(jù)圖像的切線斜率表示速度，可知時A物體運動速度不為零，故B錯誤；C．根據(jù)圖像的切線斜率表示速度，可知內(nèi)B物體速度逐漸增加，故C錯誤；根據(jù)D．由圖像可知，內(nèi)A、B兩物體通過的位移大小不相等，則兩物體平均速度大小不相等，故D錯誤。故選A?！纠?】我國首顆超百容量高通量地球靜止軌道通信衛(wèi)星中星號衛(wèi)星，于北京時間2023年2月23日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，該衛(wèi)星主要用于為固定端及車、船、機載終端提供高速寬帶接入服務(wù)。如圖中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運行周期都為，兩星軌道相交于兩點，連線過地心，點為遠地點。下列說法正確的是（）A．中星26在點線速度與偵察衛(wèi)星在點線速度相等B．中星26與偵察衛(wèi)星可能相遇C．相等時間內(nèi)中星26與地球的連線掃過的面積大于偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過的面積D．相等時間內(nèi)中星26及偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過的面積相等【答案】C【詳解】A．由開普勒第二定律可知，偵察衛(wèi)星在點速度最小，由于中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運行周期都為，則中星26在點線速度大于偵察衛(wèi)星在點線速度，故A錯誤；B．根據(jù)題意，由于中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運行周期都為，由圖可知，中星26在下半周轉(zhuǎn)動時，偵察衛(wèi)星在上半周轉(zhuǎn)動，中星26在上半周轉(zhuǎn)動時，偵察衛(wèi)星在下半周轉(zhuǎn)動，則中星26與偵察衛(wèi)星不可能相遇，故B錯誤；CD．根據(jù)題意可知，中星26與橢圓軌道偵察衛(wèi)星的運行周期都為，由開普勒第三定律可知，中星26的軌道半徑等于偵察衛(wèi)星的半長軸，令相等時間為周期，則中星26與地球的連線掃過的面積為圓的面積，偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過的面積為橢圓面積，由于圓的面積大于橢圓面積可知，相等時間內(nèi)中星26與地球的連線掃過的面積大于偵察衛(wèi)星與地球的連線掃過的面積，故D錯誤，C正確。故選C。變式3.1三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，B的運行周期為T2，則下列說法正確的是（）A．A加速可直接追上同一軌道上的CB．經(jīng)過時間，A、B第一次相距最遠C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．在相同時間內(nèi)，C與地心連線掃過的面積等于B與地心連線掃過的面積【答案】B【詳解】A．A加速將做離心運動脫離原軌道，則不能追上同一軌道上的C，選項A錯誤；B．A、B第一次相距最遠時經(jīng)過時間選項B正確；C．根據(jù)可得A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，選項C錯誤；D．衛(wèi)星B和衛(wèi)星C不在同一軌道上，則在相同時間內(nèi)，C與地心連線掃過的面積不等于B與地心連線掃過的面積，選項D錯誤。故選B。變式3.2如圖所示，有A、B兩個行星繞同一恒星O做勻速圓周運動，運轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為TA，B行星的周期為TB，在某一時刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（

）A．經(jīng)過時間t=TA+TB，兩行星第二次相遇B．經(jīng)過時間，兩行星第二次相遇C．經(jīng)過時間，兩行星第一次相距最遠D．經(jīng)過時間，兩行星第一次相距最遠【答案】BD【詳解】AB．衛(wèi)星A的周期較小，當(dāng)衛(wèi)星A比B多轉(zhuǎn)動一圈時，第二次追上，有解得故A錯誤，B正確；CD．衛(wèi)星A比B多轉(zhuǎn)動半圈時，第一次相距最遠，有解得故C錯誤，D正確；【例4】如圖所示，傾角=30°的光滑斜面固定在水平地面上，a滑塊從斜面項端由靜止釋放，同時b滑塊從斜面底端以初速度v0=5m/s沿斜面向上滑出，兩滑塊在斜面中點相遇，重力加速度g=10m/s，兩滑塊均可視為質(zhì)點。則斜面的長度為（）A．1m B．2m C．5m D．10m【答案】C【詳解】兩滑塊均在光滑斜面上滑行，由牛頓第二定律可知，兩者的加速度都相同，有設(shè)相遇的時間為t，斜面長度為L，有聯(lián)立可得，故選C。變式4.1如圖，傾斜角度的固定軌道與下方水平地面平滑連接，它們的表面材質(zhì)和工藝完全相同，軌道頂端高度為H=9m，有兩個完全相同的小滑塊A和B分別處于傾斜軌道頂部與底部。某時刻突然給滑塊B一沿軌道向上的初速度使其上滑，并同時由靜止釋放滑塊A，當(dāng)B的速度減為0時恰好與A相遇。已知滑塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)為，sin37°=0.6，重力加速度g取。（1）求B剛上滑時的加速度大?。唬?）求B初速度大小v；（3）若B的初速度大小，其他條件不變，求從A由靜止釋放到A、B相遇經(jīng)歷的時間t。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）對B受力分析由牛頓第二定律有解得（2）設(shè)經(jīng)過時間相遇，由題意A、B的位移大小之和等于斜面長度，對A受力分析由牛頓第二定律得得由勻變速直線運動規(guī)律有，相遇時滿足聯(lián)立解得（3）結(jié)合第（2）問可知，初速度變小，B減為0時還未與A相遇有設(shè)此時A、B運動的距離為分別為、，由運動學(xué)公式可得此時A的速度大小為此時A、B間距為此后兩者加速度相同，A相對B以做勻速直線運動，設(shè)再經(jīng)時間相遇可得解得同時可得此時B下滑的距離為可得此時B仍在傾斜軌道上，符合條件，所以有變式4.2如圖，水平傳送帶以恒定速率向右運動。長度為。傳送帶右端平滑連接足夠長、傾角為的斜面?，F(xiàn)將滑塊A（看成質(zhì)點）無初速度地放在傳送帶的左端，已知滑塊A與傳送帶和斜面的動摩擦因數(shù)均為，重力加速度g取，求：(1)滑塊A在傳送帶上運動的時間和在斜面上運動的最大距離；(2)當(dāng)滑塊A返回到斜面底端時，在傳送帶左端無初速放上另一個相同的滑塊B，試通過計算判斷滑塊A第二次滑上斜面之前兩滑塊能否相遇?！敬鸢浮?1)0.75s；0.2m；(2)不能再返回斜面之前相遇?！驹斀狻?1)在傳送帶上，有得與帶共速時位移為故物塊能與帶共速。則在傳送帶上運動時間為物塊在斜面上滑的加速度大小為，則有得故滑塊上滑的最大距離為(2)滑塊下滑的加速度大小為，則有得滑塊從最高點滑至底端的速度為，則有設(shè)滑塊滑上傳送帶到減速為零所用時間為，則有解得因為，故不能再返回斜面之前相遇?！纠?】如圖所示，光滑的水平地面與傾角為的足夠長的光滑斜坡平滑相連，某時刻A球在斜坡底C位置，B球在A球左邊相距的地方，A球以的初速度滑上斜坡，B球以的速度向右勻速運動。兩小球經(jīng)過C點時速度大小不變，已知A、B兩球沿斜坡上滑和下滑時加速度不變，兩球加速度大小均為，方向均沿斜坡向下，求：（1）A沿斜坡滑上的最大位移？（2）A返回C點時，B與A相距多遠？（3）A返回C點后經(jīng)過多長時間兩物塊相遇？【答案】（1）40m；（2）24m；（3）2.4s【詳解】（1）A沿斜坡滑上的最大位移為（2）A返回C點的時間為B勻速運動至C點的時間為B在斜坡上勻減速運動后反向勻加速運動，返回至C點的時間為則B在水平面向左勻速運動的時間為此時B與C點的距離為即B與A相距24m。（3）兩物塊相遇時得變式5.1貴州“村超”爆紅全網(wǎng)，足球比賽精彩紛呈。在某場比賽中，甚至出現(xiàn)了“巴西”式直塞傳球破門的精彩鏡頭。這一過程可簡化成：如圖1所示，甲球員在中場A處，發(fā)現(xiàn)己方乙球員在B處且無人防守，于是甲將足球以12m/s的初速度在水平地面上沿A、B連線傳出，在傳出球的同時，乙從B處由靜止開始沿A、B連線向遠離A的方向運動，從此刻開始計時，足球和乙球員運動過程的圖像如圖2所示。在時，乙與足球同時到達球門前方C處，乙飛腳射門成功。已知A、B、C三點連線與球門線垂直，C點到球門線的距離為7m。求：（1）A處到球門線的距離；（2）A、B間的距離：（3）甲傳球后，乙球員與足球在運動過程中有幾次相遇，且在何時相遇?！敬鸢浮浚?）；（2）15m；（3）兩次，2s，6s【詳解】（1）有圖像可知足球的加速度大小則AC的距離A處到球門線的距離（2）有圖像面積表示位移，可知乙從B到C的位移A、B間的距離（3）根據(jù)圖像面積，乙球員加速時位移設(shè)乙球員與足球在運動過程中t秒相遇，根據(jù)位移關(guān)系解得，故乙球員與足球在運動過程中有兩次相遇，分別是2s和6s。變式5.2在距離水平地面H處有甲、乙兩個小球，某人先靜止釋放甲小球，過了時間t后靜止釋放乙小球（甲，乙不會相撞），假設(shè)小球在與水平地面碰撞后，速度大小不變，方向反向。規(guī)定豎直向上為正方向，且不計空氣阻力，重力加速度為g。求：（1）兩小球到達地面前一瞬間的速度大?。唬?）若甲、乙兩小球第一次相遇在處，且此時甲僅落地一次，乙尚未落地，求t；（3）在（2）的前提下，求出兩小球相遇時各自的速度（用H和g表示）?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3），方向豎直向上；，方向豎直向下【詳解】（1）兩球均做自由落體運動，則解得（2）此時乙的位移大小為其中故而甲落地后又上升了的高度，其中則有故或（舍去）則（3）甲相遇時的速度大小為方向豎直向上。乙的速度大小為方向豎直向下?！纠?】甲、乙兩車在同一水平路面上做直線運動，某時刻乙車在前、甲車在后，相距，從此刻開始計時，乙車做勻減速直線運動直至停止，乙車第1s內(nèi)的位移為11.5m，停止運動前最后1s內(nèi)的位移為0.5m，甲車運動的圖像如圖所示（0～6s是開口向下的拋物線的一部分，是直線，兩部分平滑相連），求：（1）甲車在開始計時時刻的速度和加速度大?。唬?）乙車在開始計時時刻的速度和加速度大??；（3）以后的運動過程中，兩車何時相遇？【答案】（1），；（2）；；（3）2s，6s，10s相遇三次【詳解】（1）因開始階段st圖像的斜率逐漸減小，可知甲車做勻減速運動；由由圖像可知：時，，則6s末的速度則由可得聯(lián)立解得（2）乙車第1s內(nèi)的位移為11.5m，停止運動前最后1s內(nèi)的位移為0.5m，則將此運動看做逆向的勻加速直線運動，則解得根據(jù)運動學(xué)公式可得解得（3）若甲車在減速階段相遇，則帶入數(shù)據(jù)解得則時甲超過乙相遇一次，t2=6s時刻乙超過甲第二次相遇；因以后甲以速度做勻速運動，乙此時以的初速度做減速運動，則相遇時滿足解得即在10s時刻兩車第三次相遇。變式6.1甲、乙兩可視為質(zhì)點的玩具車在同一平直路面上，乙車在甲車前方s=17.5m，從t=0時刻兩車同時出發(fā)向前運動，兩車運動路程x隨時間t的變化圖像如圖所示，甲是過原點的直線，乙是以y軸為對稱軸的拋物線.兩車搭載有藍牙裝置，在間距達到某一范圍內(nèi)藍牙才接通，發(fā)現(xiàn)在3s末開始藍牙接通，求：（1）乙做勻加速直線運動的加速度大?。唬?）甲、乙相遇前兩車相距最近的距離；（3）藍牙接通持續(xù)的時間。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）根據(jù)題圖可知，甲做勻速直線運動乙做勻加速直線運動，由解得乙做勻加速直線運動的加速度大?。?）當(dāng)甲、乙速度相等時相距最近解得甲、乙相距最近的距離聯(lián)立解得（3）3s末開始藍牙接通，4s末甲、乙相距最近，根據(jù)對稱性可知，3s末與5s末甲、乙相距的距離相等，即5s末藍牙斷開，則連接上的時間變式6.2甲、乙兩車從相距的兩地相向運動，它們的圖象如圖所示，忽略車掉頭所需時間。（1）求時甲、乙兩車各自的位移大?。唬?）通過計算說明兩車是否相遇。如能相遇，則計算相遇點的位置；如不能相遇，則計算兩車間的最小距離?！敬鸢浮浚?）72m，60m；（2）不能相遇，2.5m【詳解】（1）由vt圖象可知，甲先做勻減速運動，加速度大小m/s2t=4s時，甲的位移大小為=72m根據(jù)圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積代表物體的位移可知乙的位移大小為m=60m（2）乙車t=4s時掉頭開始做與甲同向的初速度為零的勻加速運動，甲、乙兩車此時相距s=135ms1s2=3m甲的速度大小為6m/s假設(shè)兩車從t=4s時再經(jīng)t1時間能夠相遇，乙的加速度為乙的位移大小甲的位移大小兩車相遇應(yīng)滿足聯(lián)立解得由判別式可知方程無解，所以假設(shè)不成立，兩車不能相遇。設(shè)從t=4s時再經(jīng)t2時間兩車速度相等，則兩車相距最近，則有解得即兩車相距最小距離2.5m【例7】公路上因大霧導(dǎo)致車輛追尾的事故時有發(fā)生。一輛小汽車以30m/s的速度在公路上行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)前方同一車道上70m處有一輛重型大貨車正以10m/s同向行駛，為防止發(fā)生意外，司機立即采取制動措施。（1）若小汽車從30m/s緊急制動，可以滑行，求小汽車制動時的加速度大小為多少？（2）若滿足（1）條件下，小汽車發(fā)現(xiàn)大貨車后立即采取緊急制動，并從此時開始計時，則兩車何時相距最近？最近距離是多少米？（3）實際情況是小車司機發(fā)現(xiàn)貨車到采取制動措施有一定的反應(yīng)時間。則要想避免發(fā)生追尾，允許小汽車司機的反應(yīng)時間最長為多少？【答案】（1）4m/s2；（2）5s，20；（3）1s【詳解】（1）根據(jù)公式可得解得因此小汽車制動時的加速度大小