17.1 第1課時(shí) 勾股定理 課件 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下

17.1勾股定理第十七章勾股定理第1課時(shí)勾股定理

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：一、勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證問題1

圖中有哪些幾何圖形？三角形，正方形

等課本23頁A的面積(單位長(zhǎng)度)B的面積(單位長(zhǎng)度)C的面積(單位長(zhǎng)度)圖1圖2A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系491392534sA+sB=sC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為

a，b，斜邊長(zhǎng)為

c，那么

a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：abc下面的動(dòng)圖形象的說明了命題1的正確性，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？abbcabca23--24頁

證法1讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖，再用所拼的圖形證明命題吧.邊長(zhǎng)為，a，b的正方形分割4個(gè)全等的三角形和1個(gè)正方形abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-

a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.等面積法證明勾股定理aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，30頁證法2

畢達(dá)哥拉斯證法等面積法證明勾股定理aabbcc∴a2+b2=c2.30頁證法3

美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.等面積法證明勾股定理在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達(dá)哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c為正數(shù)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為

a，b，斜邊長(zhǎng)為

c，那么

a2

+b2=c2.公式變形：勾股定理bac歸納總結(jié)24頁

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2小貼士

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若

a=b=5，求

c；(2)若

a=1，c=2，求

b.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得(2)

在Rt△ABC中，由勾股定理得

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算CAB課本24頁(1)若

a∶b=1∶2，c=5，求

a;(2)若

b=15，∠A=30°，求

a，c.【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)

a=x，b=2x，由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)

a=x，c=2x，由勾股定理得(2x)2-

x2=152，解得例2已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.

求

CD的長(zhǎng).解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．歸納練一練求下列圖中未知數(shù)

x、y的值：解：由勾股定理得81+144=x2，解得

x=15.解：由勾股定理得

y2+144=169，

解得

y=5.新知導(dǎo)入cab勾股定理及其數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。CAB新知導(dǎo)入1.在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=_______；②若a=15，c=25，則b=______；③若c=61，b=60，則a=__________；2.一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比其中的一條直角邊長(zhǎng)大2，另一條直角邊長(zhǎng)為6，求斜邊長(zhǎng)為。新知導(dǎo)入3、在直角三角形中,如果有兩邊為3，4，那么另一邊為________。5或要考慮哪個(gè)長(zhǎng)度為斜邊新知講解例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長(zhǎng)度是斜著能通過的最大長(zhǎng)度，只要AC的長(zhǎng)大于木板的寬就能通過.新知講解ABDCO解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖，一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?新知講解思考在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求證：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′′′新知講解證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據(jù)勾股定理得ABCABC′′′新知講解A21-4-3-2-1-123145例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點(diǎn)間的距離.yOx3BC解：如圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線,過點(diǎn)B作x,y軸的垂線.相交于點(diǎn)C,連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點(diǎn)間的距離為5.方法總結(jié)：兩點(diǎn)之間的距離公式：一般地，設(shè)平面上任意兩點(diǎn)新知講解利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實(shí)際問題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實(shí)際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用解決課堂練習(xí)1、已知如圖所示，池塘邊有兩點(diǎn)A，B,點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得CB=60m，AC=20m，你能求出A，B兩點(diǎn)間的距離嗎（結(jié)果保留整數(shù)）？解：在RtΔABC中，根據(jù)勾股定理：AB2＝BC2-AC2＝602-202＝3200所以，AC＝≈57A，B兩點(diǎn)間的距離約為57課堂練習(xí)1.從電桿上離地面5m的C處向地面拉一條長(zhǎng)為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（）A.24mB.12mC.mD.cmD拓展提高1、一個(gè)長(zhǎng)方形零件（如圖）,根據(jù)所給的尺寸(單位：