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第二十七章相似27.3位似第1課時位似圖形的概念及畫法1.生活中我們經(jīng)常把照片放大或縮小,由于沒有改變圖形的形狀,我們得到的照片是真實(shí)的.2.如圖,多邊形ABCDE,把它放大為原來的2倍,即新圖與原圖的相似比為2.應(yīng)該怎樣做?你能說出畫相似圖形的一種方法嗎?活動1:探究圖形的位似觀察下圖,圖中有多邊形相似嗎?如果有,那么這種相似有什么共同的特征?對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)對應(yīng)邊互相平行概念:如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點(diǎn)叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比.練一練在下圖中,(1),(3)中的兩個圖形是位似圖形,(2)中的兩個圖形不是位似圖形.分別指出圖(1),(3)各自的位似中心.(1)(2)(3)O(1)點(diǎn)O,(3)點(diǎn)P1.在如圖中任取一對對應(yīng)點(diǎn),度量這兩個點(diǎn)到位似中心的距離,它們的比與位似比有什么關(guān)系?活動2:探究位似的性質(zhì)2.在下圖中再試一試,還有類似的規(guī)律嗎?位似圖形還有哪些性質(zhì)?歸納:位似圖形的性質(zhì):1.位似圖形是一種特殊的相似圖形,它具有相似圖形的所有性質(zhì),即對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等.2.位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.(位似圖形的相似比也叫做位似比)3.位似圖形對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上4.對應(yīng)線段平行或者在一條直線上.活動3:位似的畫法把圖中的四邊形ABCD縮小到原來的.提示:使新圖形上各頂點(diǎn)到位似中心的距離與原圖形各對應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比為1∶2.作法1:(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O;(2)過點(diǎn)O分別作射線OA,OB,OC,OD;(3)分別在射線OA,OB,OC,OD上取點(diǎn)A′,B′,C′,D′,使得;(4)順次連接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形.作法2:(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)O;(2)過點(diǎn)O分別作射線OA,OB,OC,OD;(3)分別在射線OA,OB,OC,OD反向延長線上取點(diǎn)A′,B′,C′,D′,使得;(4)順次連接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形.作法3:(1)在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O;(2)過點(diǎn)O分別作射線OA,OB,OC,OD;(3)分別在射線OA,OB,OC,OD上取點(diǎn)A′,B′,C′,D′,使得;(4)順次連接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,所得四邊形A′B′C′D′就是所要求作的圖形.歸納:作位似圖形的基本步驟:(1)確定位似中心;(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心;(3)在連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的直線上按相似比進(jìn)行取點(diǎn);(4)順次連接各點(diǎn),所得圖形就是所求的圖形;(5)有時符合條件的位似圖形不止一個,有時需要根據(jù)題意進(jìn)行取舍.1.在下列圖形中,不是位似圖形的是()D2.如圖,點(diǎn)F在BD上,BC,AD相交于點(diǎn)E,且AB∥CD∥EF.圖中的位似三角形有
,
,
.
△DFE與△DBA△BFE與△BDC△AEB與△DEC3.點(diǎn)A,B,C,D都在如圖所示的由正方形組成的網(wǎng)格圖中,且線段CD與線段AB成位似圖形,則位似中心為()A.點(diǎn)E B.點(diǎn)F C.點(diǎn)H D.點(diǎn)GB4.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,相似比是1∶2,已知DE=4,則AB的長是()A.2 B.4 C.8 D.1A5.如圖是△ABC位似圖形的幾種畫法,其中正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4D6.已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi),以點(diǎn)O為位似中心畫一個三角形,使它與△ABC位似,且位似比為1:2.ABCDEF解:畫射線OA,OB,OC;在射線OA,OB,OC上分別取點(diǎn)D,E,F,使OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF;順序連接D,E,F,使△DEF與△ABC位似,位似比為1:2.01.位似圖形的概念如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.2.位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形一定相似,位似比等于相似比;(2)位似圖形對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上;(3)任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比;(4)對應(yīng)線段平行或者在一條直線上.3.位似圖形的畫法(1)確定位似中心;(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心;(3)在連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的直線上按相似比進(jìn)行取點(diǎn);(4)順次連接各點(diǎn),所得圖形就是所求的圖形.知識回顧位似定義畫法性質(zhì)相似的性質(zhì)特有的性質(zhì)兩個相似圖形對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過同一點(diǎn)連中心、定比例、畫圖形ABCDEFODABCA'B'C'D'B'DABCOA'C'D'位似中心在圖形不同位置ODABCA'B'C'D'對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比(位似比).對應(yīng)線段平行或者在一條直線上位似的性質(zhì)12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-40-556xyO-6新知探究問題一:在直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)A(2,2),B(2,0),以O(shè)為位似中心,相似比為3,將線段AB擴(kuò)大,觀察對應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的變化,你發(fā)現(xiàn)了什么?6-6B(2,0)A(2,2)B'(6,0)A'(6,6)A''(-6,-6)B''(-6,0)對應(yīng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)是原坐標(biāo)橫、縱坐標(biāo)的±3倍12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-40-556xyO-6問題二:在直角坐標(biāo)系中,有△ABC以O(shè)為位似中心,相似比為2,將△ABC擴(kuò)大2倍,觀察對應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的變化,你發(fā)現(xiàn)了什么?6-6B(1,0)A(2,2)B'(2,0)C'(6,2)A''(-4,-4)B''(-2,0)對應(yīng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)是原坐標(biāo)橫、縱坐標(biāo)的±2倍C(3,1)C''(-6,-2)A'(4,4)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作出兩個.在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比(新圖與原圖的相似比)為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,則圖象上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).位似坐標(biāo)特征典例講解例1在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(-3,3).以原點(diǎn)O為位似中心,畫出四邊形OABC的位似圖形,使它與四邊形OABC的相似是2:3.
解:O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(-3,3)O'(0,0),A'(4,0),B'(2,4),C'(-2,2)O''(0,0),A''(-4,0),B''(-2,-4),C''(2,-2)例2如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0).(1)將△AOB沿x軸向左平移1個單位長度后得△A1O1B1則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為
,△A1O1B1的面積為
;(2,4)8(3)將△AOB繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△A2O2B2,則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為
;(-3,-4)4xyAB43O(2)將△AOB沿x軸翻折后得△A3O3B3,則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為
;(3,-4)(4)以O(shè)為位似中心,按比例尺1:2將△AOB放大后得△A4O4B4,若點(diǎn)B4
在x軸負(fù)半軸上,則點(diǎn)A4的坐標(biāo)為
,△A4O4B4的面積為
.(-6,-8)32例3
知識小結(jié)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作出兩個.在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比(新圖與原圖的相似比)為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,則圖象上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).位似坐標(biāo)特征12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-40-556xyO-66-6BA(x,y)B'C'A''(-kx,-ky)CA'(kx,ky)B''C''在原點(diǎn)同側(cè):P'(kx,ky)圖形變換平移中心對稱對稱左右平移
m后:P'(x±m(xù),y)上下平移
n后:P'(x,y±n)P'(-x,-y)位似P(x,y)關(guān)于
x軸:P'(-x,y)在原點(diǎn)異側(cè):P'(-kx,-ky)關(guān)于
y軸:P'(x,-y)圖形變化坐標(biāo)特征如圖,小朋在坐標(biāo)系中以
A
為位似中心畫了兩個位似的直角三角形,可不小心把E點(diǎn)弄臟了,則點(diǎn)
E坐標(biāo)為
()A.(4,-3)B.(4,-2)C.(4,-4) D.(4,-6)課堂練習(xí)A
DD如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(1.5,0),D(4.5,0),△ABC與△DEF位似,原點(diǎn)O是位似中心.若DE=7.5,則AB=_____.
原點(diǎn)O是△ABC和△A′B′C′的位似中心,點(diǎn)A(1,0)與點(diǎn)A′(-2,0)是對應(yīng)點(diǎn),△ABC的面積是3:2,則△A′B′C′的面積是
.6如圖,某學(xué)習(xí)小組在討論“變化的魚”時,知道大魚與小魚是位似圖形,則小魚上的點(diǎn)(a,b)對應(yīng)大魚上的點(diǎn)
.(-2a,-2b)
如圖,已知△ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原點(diǎn)O為位似中心,將這個三角形放大為原來的2倍.C246-4xyAB2
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