專題2.1 函數(shù)的解析式與定義域、值域【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學二輪復習

第第頁專題2.1函數(shù)的解析式與定義域、值域【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1具體函數(shù)的定義域的求解】 2【題型2抽象函數(shù)的定義域的求解】 3【題型3已知函數(shù)定義域求參數(shù)】 4【題型4已知函數(shù)類型求解析式】 6【題型5已知f(g(x))求解析式】 8【題型6函數(shù)值域的求解】 10【題型7根據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)】 121、函數(shù)的解析式與定義域、值域函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學的必考內(nèi)容。函數(shù)問題定義域優(yōu)先，在解答函數(shù)問題時首先要考慮定義域；函數(shù)的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現(xiàn)；函數(shù)的值域在整個高考范疇應用的非常廣泛，例如恒成立問題、有解問題、數(shù)形結合問題、實際應用問題；基本不等式問題；數(shù)列的最大項、最小項；向量與復數(shù)的四則運算及模的最值；解析幾何的函數(shù)性研究問題等；常常需要轉(zhuǎn)化為求最值問題。在二輪復習過程中，在熟練掌握基本的解題方法的同時，也要多訓練綜合性較強的題目.【知識點1函數(shù)的定義域的求法】1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.【知識點2函數(shù)解析式的四種求法】1.函數(shù)解析式的四種求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.(3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【知識點3求函數(shù)值域的一般方法】1．求函數(shù)值域的一般方法(1)分離常數(shù)法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)單調(diào)性法；(6)換元法；(7)數(shù)形結合法；(8)導數(shù)法.【題型1具體函數(shù)的定義域的求解】【例1】（2023上·江蘇南京·高一校考階段練習）函數(shù)fx=3?xx?1的定義域為（

）A．?∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解題思路】由函數(shù)形式得到不等式組，解出即可.【解答過程】由題意得3?xx?1≥0x?1≠0，解得1<x≤3故選：C.【變式1-1】（2023·海南·模擬預測）函數(shù)f(x)=A．?∞,1 B．1,2 C．?∞,2 D．?∞,1【解題思路】根據(jù)表達式有意義列出不等式組求解即可【解答過程】由題知2?x?0x?1≠0即函數(shù)f(x故選：D.【變式1-2】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)f(x)=x?30+A．?∞,1∪C．?∞,1∪【解題思路】根據(jù)題意可得，x?3≠03?x≥0【解答過程】根據(jù)題意可得，x?3≠03?x≥0x?1≠0，解得x<3且所以函數(shù)f(x)=x?30+故選：C.【變式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）已知函數(shù)y=fx的定義域為0,4，則函數(shù)y=f(x+1)x?1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【解題思路】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結合復合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式組作答.【解答過程】因為函數(shù)y=fx的定義域為0,4，又函數(shù)y=則有0≤x+1≤4x?1>0x?2≠0，解得1<x<2或所以函數(shù)y=f(x+1)x?1+故選：C.【題型2抽象函數(shù)的定義域的求解】【例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市校考模擬預測）若函數(shù)y=f2x的定義域為?2,4，則y=fx?fA．?2,2 B．?2,4C．?4,4 D．?8,8【解題思路】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)fx的定義域，對于函數(shù)y=fx?f?x，可列出關于【解答過程】因為函數(shù)y=f2x的定義域為?2,4，則?2≤x≤4，可得?4≤2x≤8所以，函數(shù)y=fx的定義域為?4,8對于函數(shù)y=fx?f?x，則有?4≤x≤8因此，函數(shù)y=fx?f?x故選：C.【變式2-1】（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)f2x?1的定義域為?3,1，則y=f3?4xA．1 B．1,32 C．32【解題思路】根據(jù)題意先求得函數(shù)fx的定義域為?7,1，然后結合抽象函數(shù)定義域與x?1【解答過程】由題意可知?3≤x≤1，所以?7≤2x?1≤1，要使函數(shù)y=f3?4xx?1有意義，則?7≤3?4x≤1,故選：D.【變式2-2】（2022上·湖南衡陽·高一校考期中）已知函數(shù)fx+1的定義域為[1,7]，則函數(shù)?x=f(2x)+A．[4,16] B．(?∞,1]∪[3,+∞) C．【解題思路】根據(jù)給定條件，結合抽象函數(shù)定義域的意義，列出不等式求解作答.【解答過程】函數(shù)fx+1的定義域為[1,7]，則2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8函數(shù)?x=f(2x)+9?x2所以函數(shù)?(x)的定義域為[1,3].故選：C.【變式2-3】（2021·高一單元測試）已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)，若c∈(0,12)，則函數(shù)g(x)=f(x+c)+f(x?c)A．(?c,1?c) B．(c,1?c) C．(1?c,c) D．(c,1+c)【解題思路】由已知函數(shù)的定義域有{0<x+c<1【解答過程】由題意得：{0<x+c<10<x?c<1，即{?c<x<1?c∴c<x<1?c．故選：B.【題型3已知函數(shù)定義域求參數(shù)】【例3】（2023上·陜西西安·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(?∞,1]∪[9,+∞【解題思路】利用題給條件列出關于m的不等式，解之即可求得實數(shù)m的取值范圍.【解答過程】由題意得mx2+(m?3)x+1≥0當m=0時，不等式可化為?3x+1≥0，其解集不是R，不符合題意；當m≠0時，由該不等式恒成立可得m>0m?32?4m≤0綜上，實數(shù)m的取值范圍是1≤m≤9故選：A.【變式3-1】（2023上·高一課時練習）若函數(shù)y=ax+1在區(qū)間?2,?1A．1 B．2C．3 D．4【解題思路】分a<0，a=0，a>0，求出不等式ax【解答過程】當a<0時，由ax+1≥0可得，x≥?a或x<0，在區(qū)間當a=0時，函數(shù)y=1x≠0，顯然在區(qū)間?2,?1當a>0時，由ax+1≥0可得，x≤?a或要使函數(shù)在區(qū)間?2,?1上有意義，則應有?a≥?1，所以，a≤1，所以0<a≤1.綜上所述，a≤1.故選：A.【變式3-2】（2023上·遼寧鞍山·高一期中）已知函數(shù)f(x)=a2?1x2+(a+1)x+1的定義域為A．?1,53 C．53,+∞【解題思路】分a=1、a=?1、a≠±1三種情況，結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】當a=1時，f(x)=2x+1，則2x+1≥0，得x≥?12當a=?1時，f(x)=1，定義域為R，符合題意；當a≠±1時，由題意得關于x的不等式a2故a2?1>0Δ=(a+1)綜上，實數(shù)a的取值范圍是(?∞故選：D.【變式3-3】（2022上·江蘇蘇州·高一校考階段練習）已知函數(shù)f(x)=(1)若f(2)=2，求實數(shù)m及ff(2)若m=10，求fx(3)若fx的定義域為1,+∞，求實數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)f(2)=2求出m的值，然后即可求出ff（2）根據(jù)m=10可得出fx的解析式，讓解析式有意義即可求出f（3）根據(jù)fx的定義域可得出y=x2?3x?m的最小值【解答過程】（1）f(2)=?2?m=2，解得m=?6，所以f(x)=x所以ff（2）當m=10時，f(x)=x2?3x?10x?1，要使解得x≥5，所以fx的定義域為5,+（3）因為fx的定義域為1,+所以y=x2?3x?m=所以y=x2?3x?m的最小值y所以m的取值范圍為?∞,【題型4已知函數(shù)類型求解析式】【例4】（2023上·高一課時練習）圖象是以1,3為頂點且過原點的二次函數(shù)fx的解析式為（A．fx=?3xC．fx=3x【解題思路】由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題，根據(jù)題意可以設二次函數(shù)的頂點式，然后根據(jù)函數(shù)過原點，將0,0代入即可.【解答過程】設圖象是以1,3為頂點的二次函數(shù)fx=ax?1因為圖象過原點，所以0=a+3，a=?3，所以fx故選：A.【變式4-1】（2023上·浙江嘉興·高一校考階段練習）已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)?2x]=3，則f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．5【解題思路】設fx=ax+ba≠0，根據(jù)f[f(x)?2x]=3恒成立可得a【解答過程】設fx則f[f(x)?2x]=fax+b?2x整理得a2所以a2?2a=0ab+b?3=0所以fx=2x+1，所以故選：A.【變式4-2】（2023上·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎猣(x)是二次函數(shù)，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當?1≤x≤1時，求二次函數(shù)的最大值與最小值．【解題思路】（1）設fx=ax（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過程】（1）設fx由f(0)=c=0，得c=0，所以fx由f(x+1)=f(x)+x+1，得ax+1即ax2+所以2a+b=b+1a+b=1，解得a=b=所以fx（2）函數(shù)fx=1所以fx【變式4-3】（2023上·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=xf(x)?1【解題思路】（1）直接由待定系數(shù)法列出方程組即可求解.（2）所求式子為對稱結構，通過驗證發(fā)現(xiàn)g(x)+g(1【解答過程】（1）設f(x)=ax+b(a≠0).則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a于是有a2=1ab+b=3，解得a=1b=3（2）由（1）知g(x)=xx+1，則g(1∴g(2)+g(12)=g(3)+g(∴g(1)+g(2)+?+g(2023)+g(1【題型5已知f(g(x))求解析式】【例5】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1x≠0 B．1x?12【解題思路】利用換元法令t=1?x，運算求解即可.【解答過程】令t=1?x，則x=1?t，且x≠0，則t≠1，可得ft所以fx故選：B.【變式5-1】（2023上·天津南開·高一南開中學?？计谥校┮阎猣x?1x=xA．fx+1=x+1C．fx+1=x【解題思路】利用配湊法先求出函數(shù)fx，再整體代入即可求出函數(shù)f【解答過程】因為f所以f所以fx+1=x+1故選：C.【變式5-2】（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx滿足f(1)求f2?x(2)求f1【解題思路】（1）代入求解即可；（2）利用fx【解答過程】（1）fx∴f2?x=1故f2?x（2）fx所以f1所以f1【變式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一?？计谥校┣笙铝泻瘮?shù)的解析式：(1)已知fx+2=2x+3，求(2)已知fx+1=x+2(3)已知fx是一次函數(shù)，且ffx(4)定義在區(qū)間?1,1上的函數(shù)fx滿足2fx?f【解題思路】（1）利用配湊法求解即可；（1）利用配湊法或換元法求解即可；（3）利用待定系數(shù)法求解即可；（4）利用方程組法求解即可.【解答過程】（1）因為fx+2所以fx（2）解法一（換元法）：令t=x+1，t≥1，則所以ft所以fx解法二（配湊法）：fx因為x+1≥1，所以f（3）設fx則ff所以k2=16kb+b=?25，解得k=4所以fx=4x?5或（4）對任意的x∈?1,1有?x∈由2fx得2f?x聯(lián)立①②解得，fx【題型6函數(shù)值域的求解】【例6】（2023上·福建廈門·高一校考期中）已知函數(shù)f(x)=x2?2x?2,x∈[?2,2]，函數(shù)f(x)A．[?3,6] B．[?2,6] C．[2,10] D．[1,10]【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域.【解答過程】f(x)=x因為x∈[?2,2]，所以fx的值域為f1,f故選：A.【變式6-1】（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州中學?？计谥校┖瘮?shù)y=1?x+1?2x的值域為（

A．?∞,12 B．0，+∞ 【解題思路】令1?2x=t，t≥0，可得y=【解答過程】令1?2x=t，t≥0，則x=所以函數(shù)y=1+t2?1t=0時，y有最小值12所以函數(shù)y=1?x+1?2x的值域為1故選：C.【變式6-2】（2023上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中與函數(shù)y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=?x2【解題思路】先得出函數(shù)y=x2【解答過程】函數(shù)y=x2=x對于A，函數(shù)y=x的值域為R，故A錯誤；對于B，函數(shù)y=1x的值域為y對于C，函數(shù)y=?x2≤0對于D，y=x2?2x+1=故選：D.【變式6-3】（2023上·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習）在實數(shù)集R中定義一種運算“?”，具有下列性質(zhì)：①對任意a，b∈R，a?b=b?a；②對任意a∈R，a?0=a；③對任意a，b∈R，a?b?c=c?則函數(shù)fx=x?xA．?∞,5 B．?98,5 【解題思路】注意新定義的運算方式即可.【解答過程】在③中，令c=0，則a?b=ab+a+b，所以fx函數(shù)fx在x=?32時取最小值，最小值為?98；在x=2故選：B．【題型7根據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)】【例7】（2023上·吉林長春·高一校考階段練習）若函數(shù)fx=2a2A．a(chǎn)=?1或a=?32 C．a(chǎn)≠?1且a≠?32 【解題思路】根據(jù)題意f(x)表示一次函數(shù)，可得出系數(shù)的特征，即可求出結論.【解答過程】若2a2+5a+3≠0，f(x)所以f(x)為一次函數(shù)，2a2+5a+3=0故選:D.【變式7-1】（2023·全國·統(tǒng)考一模）函數(shù)f(x)=x2?4x?6的定義域為[0,m]，值域為[?10,?6]A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【解題思路】因為函數(shù)fx=x2?4x?6【解答過程】函數(shù)fx且以直線x=2為對稱軸的拋物線，故f0∵函數(shù)fx=x2?4x?6所以2≤m≤4，即m的取值范圍是2,4,故選D.【變式7-2】（2022上·浙江嘉興·高一?？茧A段練習）已知f((1)若a=4時，求f(2)函數(shù)g(x)=x2+1f【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，采用分離常數(shù)項的方法，結合不等式性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)二次根式的定義，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【解答過程】（1）由a=4，則f由不等式性質(zhì)，則x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈?2,4，即f（2）由題意，gx由函數(shù)?(x)=g(x)當a=0當a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得a其中a?42?2a≥0，a2?8a+16?2綜上，故a∈【變式7-3】（2023上·廣東廣州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)fx滿足f(1)求f1的值，并求出f(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?(2t?1)x，且g(x)在[4,5]的最大值與最小值的差值恒小于4，求實數(shù)t的取值范圍．【解題思路】（1）令x=0代入求f1；利用構造法求f（2）g(x)=x2?2tx+1，討論對稱軸與區(qū)間[4,5]【解答過程】（1）因為函數(shù)fx滿足所以令x=0得：f1=0由fx+1fx（2）函數(shù)g(x)=f(x)?(2t?1)x=x2?2tx+1，對稱軸為x當t≤4時，g(x)在[4,5]單調(diào)遞增，所以g(x)max=g(5)，g(x)min=g(4)，所以有g(5)?g(4)<4，即當4<t≤4.5時，g(x)在[4,t]單調(diào)遞減，在[t,5]單調(diào)遞增，且5?t≥t?4，所以g(x)max=g(5)=26?10t，g(x)min=g(t)=?t當4.5<t≤5時，g(x)在[4,t]單調(diào)遞減，在[t,5]單調(diào)遞增，且5?t<t?4，所以g(x)max=g(4)=17?8t，g(x)min=g(t)=?t當t>5時，g(x)在[4,5]單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(4)，g(x)min=g(5)，所以有g(4)?g(5)<4，即綜上所述：52即實數(shù)t的范圍是521．（2015·山東·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)y=x+1+1A．xx≥?1且x≠0 B．C．xx>?1且x≠0 D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.【解答過程】由函數(shù)解析式有意義可得x+1≥0且x≠0所以函數(shù)的定義域是xx≥?1且x≠0故選：A.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)f(x)=1x+1?x的定義域是【解題思路】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【解答過程】解：因為fx=1x+1?x，所以故函數(shù)的定義域為?∞故答案為：?∞3．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2?4,x>2x?3+a,x≤2,若f【解題思路】由題意結合函數(shù)的解析式得到關于a的方程，解方程可得