專題4.3 正弦定理和余弦定理【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁專題4.3正弦定理和余弦定理【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】 3【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】 5【題型3正弦定理判定三角形解的個數(shù)】 7【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】 9【題型5求三角形（四邊形）的面積】 13【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 16【題型7距離、高度、角度測量問題】 20【題型8正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用】 241、正弦定理、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理解三角形是高考的熱點內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理在選擇題、填空題中考查較多，也會出現(xiàn)在解答題中，在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為較易題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合命題，需要學(xué)生靈活求解.【知識點1解三角形幾類問題的解題思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.2.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.3.對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時需進(jìn)行討論.4.與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.【知識點2測量問題的基本類型和解決思路】1．測量問題1.測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計算方法A,B間不可達(dá)也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點A可視但不可達(dá)測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點A,B均可視不可達(dá)測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部

可達(dá)測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.測量角度問題的解決方案測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】【例1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C的角平分線交AB于點D，∠B=π6，BC=33，AB=3，則CD=（

）A．362 B．32 C．3【解題思路】先在△ABC中，由余弦定理求得AC=3，即可知△ABC為等腰三角形，再解出∠C和∠A，然后在△ACD中，由正弦定理求解CD即可.【解答過程】如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得AC∴AC=3=AB，∴△ABC為等腰三角形，∠ACB=∠B=π6，又∵CD為角平分線，∴∠ACD=π∴在△ACD中，∠ADC=π由正弦定理得ACsinCD=AC?故選：A．【變式1-1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）在△ABC中，若2cos2A?cosA=2A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】根據(jù)平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式、余弦兩角和差角關(guān)系式化簡已知等式為sin2B+sin【解答過程】因為2cos所以21則2?2整理得：sin由正弦定理可得：b2+c因為A∈0,π，故故選：B.【變式1-2】（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3A．37 B．217 C．2112【解題思路】利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得tanB=33，可得出B=π6【解答過程】∵bsin即sinAsinB=∵sinA>0，∴3sinB=3cosB由余弦定理得b=a由正弦定理csinC=故選：B.【變式1-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）△ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+b2?A．2 B．22 C．3 【解題思路】根據(jù)給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化簡給定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【解答過程】在△ABC中，由已知及余弦定理得2abcosC=4a由正弦定理邊化角得：2sin而0<A<π，即sinA>0，則cosA=12，即有A=所以a=2Rsin故選：C.【題型2\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問題"】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，若a=2bcosC，則△ABC一定是（A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【解題思路】由余弦定理化簡計算即可.【解答過程】由a=2bcosC及余弦定理得：a=2b×a故選：D.【變式2-1】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解題思路】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得a2?b【解答過程】由正弦定理，余弦定理及a2cos∴a2b則a2+∴a=b或a2故選：D.【變式2-2】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點，且AB=3，AC=2，AD=3，則△ABC的形狀為（

A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定【解題思路】分別在△ABD和△ACD中，利用余弦定理得到兩個等式，然后兩式相加，得到BC，然后在△ABC中，由余弦定理判斷.【解答過程】解：在△ABD中，由余弦定理得AB在△ACD中，由余弦定理得AC兩式相加得BD2+DC2在△ABC中，由余弦定理得cosA=所以△ABC是鈍角三角形，故選：C.【變式2-3】（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在△ABC和△A1B1C1中，若cosA=A．△ABC與△AB．△ABC與△AC．△ABC是鈍角三角形，△AD．△ABC是銳角三角形，△A【解題思路】根據(jù)題意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判斷△ABC是銳角三角形，然后再由sinA1>0【解答過程】在△ABC和△A1B所以A,B,C均為銳角，即△ABC為銳角三角形.另一方面sinA1=cos即A1所以A1同理可得B1但是A1,B故選:D.【題型3\t"/gzsx/zj168410/_blank"\o"正弦定理判定三角形解的個數(shù)"正弦定理判定三角形解的個數(shù)】【例3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若角C有唯一解，則實數(shù)A．513,1 B．513,1 C．【解題思路】由cosA=1213，得到ab=sinA【解答過程】在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若設(shè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，由cosA=1213，則A為一確定的銳角且sin如圖以C為圓心，a為半徑畫圓弧，當(dāng)圓弧與邊AB有1個交點時滿足條件，如圖示：即圓弧與邊AB相切或與圓弧與邊AB相交有2個交點，其中一個交點在線段AB的反向延長線上（或在點A處），故a=bsinA=5由ab=513m，即a=5解得m=1或0<m≤5故選：D．【變式3-1】（2023下·河南開封·高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=22,b=4,A=πA．無解 B．有一解C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定【解題思路】利用正弦定理解出sinB,再根據(jù)a<b，得到A<B，可得角B【解答過程】由正弦定理asinA=bsin因為a<b，所以A<B.又因為B∈0,π，所以B=π4故選：C.【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，不解三角形，確定下列判斷正確的是（

）A．B=60°，c=4，b=5，有兩解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，無解【解題思路】已知B=60°，c=4的前提下，利用直角△ADB構(gòu)造出關(guān)于b的不等式，即可得出三角形的個數(shù)解.【解答過程】因為B=60°，c=4，如圖AD⊥BD于D，由直角△ADB可得AD=c×sin當(dāng)b=23或b≥4當(dāng)b<23當(dāng)23結(jié)合四個選項，可知，選項A，B，C三項錯誤.故選：D.【變式3-3】（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，A=60°，a=3.若這個三角形有兩解，則b的取值范圍是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【解題思路】由正弦定理結(jié)合已知，可推得b=2sinB.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得【解答過程】由正弦定理asinA=要使△ABC有兩解，即B有兩解，則應(yīng)有A<B，且sinB<1所以32所以3<b<2故選：B．【題型4\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"證明三角形中的恒等式或不等式"證明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，23(1)求B的大?。?2)若3a+c=2b，證明：【解題思路】(1)利用降冪公式化簡已知條件，求出tanB即可求出B；(2)結(jié)合余弦定理和已知條件即可證明．【解答過程】（1）在△ABC中，∵23∴23∴3cos∴tanB=?∵B∈0,∴B=2（2）∵B=2π3由余弦定理得b2∵3a+c=2b，∴將②代入①，得34整理得(a?c)2=0，∴【變式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c?ba(1)求角C的大?。?2)CD為△ACB的內(nèi)角平分線，且CD與直線AB交于點D.（i）求證:ADBD（ii）若a=2，c=19，求CD【解題思路】（1）由正弦邊角關(guān)系得a2+b（2）（i）由角平分線兩側(cè)三角形面積比，結(jié)合等面積法及三角形面積公式證明結(jié)論；（ii）由正弦定理可得sinA=319，進(jìn)而得cosA=419，設(shè)ADBD【解答過程】（1）由題設(shè)c?ba=a+bc+b，則所以cosC=a2+b（2）（i）由題設(shè)∠ACD=∠BCD，若AB上的高為?，又S△ACDS△BCD所以S△ACDS△BCD（ii）由csin∠ACB=asinA，則若ADBD=ACBC=k，則AC=2k由余弦定理知：cosA=所以4k2?16k+15=(2k?3)(2k?5)=0，可得k=當(dāng)k=32，則AC=3<19，AD=319當(dāng)k=52，則AC=5>19綜上，CD=6【變式4-2】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)證明：PBsin(2)若∠ABC=90°，AB=BC=1，求【解題思路】（1）由正弦定理得PBsinα=ABsin（2）由題意求得PB=sinα，繼而求得PC=2sinα【解答過程】（1）證明：在△ABP中，由正弦定理得PBsin即PBsin要證明PBsin∠ABC=ABsin在△ABP中，∠APB=π?α+∠ABP在△ABC中，∠ABC=α+∠ABP，所以∠APB=π?∠ABC，所以sin∠APB=所以PBsin（2）由（1）知PBsin∠ABC=ABsinα，又因為所以PB=sin由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以∠BCA=∠CAB=π則∠BCP=π所以在△PBC中，∠BPC=π?π由正弦定理得BCsin即1sin即PC=2由余弦定理得sin2由題意知sinα>0故解得sinα=所以PC=10【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的外心為O，M,N為線段AB,AC上的兩點，且O恰為MN中點.(1)證明：|AM|?|MB|=|AN|?|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S【解題思路】（1）設(shè)AM=x1,?BM=y1,?AN=x（2）利用余弦定理求得cos∠AOM，cos∠AON，再根據(jù)cos∠AOM+cos∠AON=0結(jié)合（1）求得x【解答過程】（1）證明：設(shè)AM=x由余弦定理知：cos∠AMO=x1由O是△ABC外心知AO=BO=CO，而cos∠AMO+所以x1即(x而x1+y同理可知x2因此x1所以|AM|?|MB|=|AN|?|NC|；（2）解：由（1）知x1由余弦定理知：cos∠AOM=AO代入cos∠AOM+cos∠AON=0設(shè)μ=x1y因此S△AMN當(dāng)且僅當(dāng)μ=λ=2時取到等號，因此S△AMNS△ABC【題型5求三角形（四邊形）的面積】【例5】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，設(shè)A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足ccos(1)求角C；(2)若c=5,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=34，求【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得cosC（2）利用余弦定理得a2+b2=25?ab，配方得(a+b)2=25+ab【解答過程】（1）在△ABC中，由ccosA?acos即sinC故?2sinAcos故cosC=?12，而C∈(0,（2）由C=2π3可得c故a2+b由△ABC的內(nèi)切圓半徑r=34，可得即34(a+b+5)=3故(2ab?5)2=25+ab，解得故△ABC的面積S=1【變式5-1】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，其對邊分別為a、b、c，若2c?ab(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC面積S的最大值．【解題思路】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等變換可求得cosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B（2）利用余弦定理可求出ac的最大值，再利用三角形的面積公式可求得S的最大值.【解答過程】（1）解：因為2c?ab所以，2c?a=?cosB+Ccos由正弦定理可得2sin即2sin因為C∈0,π，則sinC>0又因為B∈0,π2（2）解：由余弦定理b2=a當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取得等號，所以ac≤4.所以，△ABC面積S=1所以，△ABC面積S的最大值為3．【變式5-2】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知sinA(1)求角C；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=2，求△ABC面積的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，余弦定理求解即可；（2）由題知π6<B<π【解答過程】（1）解：因為sin所以2?整理可得sin2所以，由正弦定理可得：a2由余弦定理知，cosC=因為C∈0,π（2）解：由（1）知，C=π3，所以又△ABC是銳角三角形，所以，0<B<π2且0<A=2π因為，由正弦定理知：bsinB=所以c=所以S因為π6所以tanB>3所以，△ABC面積的取值范圍為32【變式5-3】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2bcos

(1)求B；(2)如圖，D,B在AC的兩側(cè)，b2=ac且AD=CD=2，求四邊形【解題思路】（1）由余弦定理邊角關(guān)系可得b2（2）根據(jù)已知可得a=c，進(jìn)而有△ABC為等邊三角形，令a=b=c=2x且0<x<2，等腰△ACD的頂角為θ，且0<θ<π，且x2=2(1?【解答過程】（1）由題設(shè)及余弦定理2b×b由cosB=a2+c（2）由（1）及已知：b2=a所以△ABC為等邊三角形，令a=b=c=2x且0<x<2，而AD=CD=2，等腰△ACD的頂角為θ，且0<θ<π所以cosθ=1?x2所以四邊形ABCD面積S=1故S=23而?π3<θ?π3【題型6\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC為銳角三角形，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周長的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)△ABC為銳角三角形得到B=2A，并求出π6<A<π4，由正弦定理得到（2）由（1）知，b=2cosA，由正弦定理得到c=4cos2A?1，表達(dá)出△ABC【解答過程】（1）因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π2，0<B<π又因為cosB=cos2A由正弦定理得ba因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π20<B<解得π6所以22<cos所以ba的取值范圍為(（2）因為a=1，由（1）知，b=2cos由正弦定理asinA=sin故△ABC的周長a+b+c=4cos令t=cosA，由（1）知22因為函數(shù)y=4t2+2t=4所以△ABC周長的取值范圍為2+2【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【解題思路】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換整理得a+c2b【解答過程】（1）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R．由正弦定理asinA=bsinB=因為sin2A?2sin整理得a2由余弦定理b2=a2+又因為B∈0,π2，則sinB>0，可得（2）由正弦定理可得a+c2b則a+c因為△ABC是銳角三角形，則0<A<π2A+則π3<A+π所以a+c2b的取值范圍是3【變式6-2】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+csin(1)求角A的大??；(2)若△ABC的面積為43，求△ABC周長l【解題思路】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得cosA，進(jìn)而求得A（2）利用△ABC的面積求得bc，結(jié)合基本不等式求得△ABC周長l的最小值．【解答過程】（1）由a+csin根據(jù)正弦定理，得a+ca?即b2+c由于0<A<π，所以A=（2）由題，S△ABC=1又由（1）知a2則△ABC周長l=a+b+c=b當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4取“=”，同時解得a=4，所以，△ABC周長l的最小值為12．【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）從①2sinB=2sinAcosC+sinC，②在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且______．(1)求角A的大??；(2)若4sinB=bsin注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解題思路】（1）選條件①：利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出b2+c2?a2選條件②：利用三角形的面積公式結(jié)合切化弦可求得cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A選條件③：利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A（2）利用余弦定理可得出16=b2+【解答過程】（1）解：選條件①：因為2sinB=2sinA由余弦定理得2b=2a?a2+b由余弦定理得cosA=b2+c選條件②：因為4Ssin由三角形的面積公式可得2absin因為A、C∈0,π，則sinA>0，sin因為A∈0,π，所以選條件③：因為bcos由正弦定理可得sinB所以，sinA+B所以，sinC=2因為A、C∈0,π，則sinC>0，所以cos（2）解：由4sinB=bsinA及正弦定理得4b=ab又由（1）知A=π3，所以由余弦定理得16=由基本不等式可得16=b+c即b+c≤8，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，又b+c>a=4，所以4<b+c≤8，所以b+c的取值范圍為4,8．【題型7距離、高度、角度測量問題】【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距6+2海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以22海里/小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解題思路】（1）在△ABC中，解三角形得BC=23，∠ABC=45°，在△BCD（2）在△BCD中，解三角形得∠BCD=60°，∠BDC=90°，得到∠CDE=135【解答過程】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時BD=3×1=3,AC=22由題意知∠BAC=在△ABC中，AB=由余弦定理得B=所以BC=2在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=所以sin∠ABC=22所在∠ACB=又∠CBD=在△BCD中，∠CBD=由余弦定理得C=∴CD=3故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距3海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過t小時經(jīng)CE方向在E處追上走私船，則CE=3在△BCD中，由正弦定理得：CD則3所以sin∠BCD=3在△CDE中，由正弦定理得：CE則sin∠DCE=3t?sin135°∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=故巡邏艇應(yīng)該北偏東75°【變式7-1】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）汾陽文峰塔建于明末清初，位于山西省汾陽市城區(qū)以東2公里的建昌村，該塔共十三層，雄偉挺拔，高度位于中國磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖，某測繪小組為了測量汾陽文峰塔的實際高度AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的三個測量基點C，D，E，現(xiàn)測得∠BCD=30°，∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在點C測得塔頂A的仰角為62°.參考數(shù)據(jù)：取tan62°=1.88，sin

(1)求BD；(2)求塔高AB（結(jié)果精確到1m）.【解題思路】（1）在△BDE中，由余弦定理即可得解；（2）在△BCD中，先利用正弦定理求出BC，再解Rt△ABC【解答過程】（1）在△BDE中，由余弦定理得BD則BD==579.8464（2）在△BCD中，由正弦定理得BDsin則BC=BD?在Rt△ABC中，∠ACB=62°所以AB=BC?tan故塔高AB為85m.【變式7-2】（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習(xí)）某海域的東西方向上分別有A，B兩個觀測點（如圖），它們相距256海里．現(xiàn)有一艘輪船在D點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知D點位于A點北偏東45°，B點北偏西75°，這時位于B點南偏西45°且與

(1)求B點到D點的距離BD；(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救，求該救援船到達(dá)D點需要的時間．【解題思路】（1）利用正弦定理解三角形計算即可；（2）利用余弦定理解三角形計算即可.【解答過程】（1）由題意知：AB=256，∠DBA=90°所以∠ADB=180在△ABD中，由正弦定理可得：BDsin∠DAB=所以BD=25（2）在△BCD中，∠CBD=180°?75°由余弦定理可得：C=6400+2500?2×80×50×1所以CD=70海里，所以需要的時間為7035【變式7-3】（2023下·上海寶山·高二?？计谥校┠承W(xué)生利用解三角形有關(guān)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動.A處有一棟大樓，某學(xué)生選（與A在同一水平面的）B?C兩處作為測量點，測得BC的距離為50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C處測得大樓樓頂D的仰角α

(1)求A,C兩點間的距離；(2)求大樓的高度.（第（2）問不計測量儀的高度，計算結(jié)果精確到1m）【解題思路】（1）根據(jù)題意，先求出∠BAC，然后利用正弦定理計算即可求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）的結(jié)果可直接求出AD=502【解答過程】（1）由已知得∠BAC=180°?105°?45°=30°，在△ABC中，因為BCsin即50sin30°=所以A,C兩點間的距離為502（2）在△DCA中，因為∠DAC=90所以AD=ACtan又因為tan=所以AD=50≈141.4+122.45=263.85≈264，答：樓高約為264m【題型8\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用"正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用】【例8】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=3(1)求fx(2)若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=3，fA2=2，求【解題思路】（1）先利用降冪公式和輔助角公式可得fx=2sin2ωx?π6+1，再根據(jù)f（2）先根據(jù)fA2=2求出A【解答過程】（1）由題意可得fx因為fx在π所以12×2因為ω∈N所以ω=1，即3sin令2kπ解得kπ即fx的單調(diào)遞增區(qū)間是k（2）因為fA所以2sin所以sinA?因為0<A<π所以?π所以A=π由余弦定理可得a2即b2+c因為bc≤b+c22所以3b+c24則a+b+c≤9，即△ABC周長的最大值為9．【變式8-1】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=23(1)求函數(shù)y=log(2)已知銳角△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若fA2=0【解題思路】（1）先化簡f(x)，然后利用真數(shù)大于0可得sin2x?（2）先利用（1）可得A=π3，結(jié)合銳角三角形可得【解答過程】（1）f(x)=23sinx所以要使y=log只需2sin2x?π所以π6+2k所以函數(shù)y=log2f(x)由于0<2sin2x+π所以函數(shù)y=log2f(x)（2）由于fA2=2因為0<A<π2，所以?π6<A?由銳角△ABC可得0<B<π20<C=由正弦定理可得b+ca=sin因為π6<B<π2，所以所以b+ca【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2?b【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得y=fx（2）利用余弦定理求得A，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得fB【解答過程】（1）f令?π2所以，單調(diào)減區(qū)間是?2（2）由a2b2+c由于0<A<π，所以A=在△ABC中，0<B<2πfB于是π6<B+π6<12≤?sin【變式8-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinx?π6+m，將y=fx的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π（1）求m的值；（2）在銳角△ABC中，若gC2=【解題思路】（1）利用圖象變換求出函數(shù)gx的解析式，由x∈π4,π3求出（2）利用△ABC為銳角三角形求出角A的取值范圍，利用切化弦結(jié)合三角恒等變換思想得出tanA+tanB=22【解答過程】（1）將函數(shù)fx=sinx?π6+m則gx∵x∈π4,當(dāng)2x+π6=2π3，即x=π4（2）∵gC∵C∈0,π2，則π6<C+tan=sin∵△ABC是銳角三角形，由0<A<π20<B=所以，π3<2A?π3<1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．2π【解題思路】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【解答過程】因為(a+c)(sin所以由正弦定理得(a+c)(a?c)=b(a?b)，即a2則a2+b又0<C<π，所以C=故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若acosB?bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π10【解題思路】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A的值.【解答過程】由題意結(jié)合正弦定理可得sinA即sinA整理可得sinBcosA=0，由于B∈據(jù)此可得cosA=0,A=則B=π故選：C.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD=2【解題思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)等面積法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)正弦定理求出B,C，即可根據(jù)三角形的特征求出．【解答過程】如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22因為b>0，解得：b=1+3由S△ABC12解得：AD=3故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2?2×2×b×由正弦定理可得，6sin60°=b因為1+3>6>2又∠BAD=30°，所以∠ADB=75故答案為：2．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB?bcos【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA【解答過程】（1）因為a2=b2+（2）由正弦定理可得a=sin變形可得：sinA?B?sin而0<sinB≤1，所以cosA=?12故△ABC的面積為S△ABC5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D為BC上一點，且∠BAD=90°，求△ADC的面積.【解題思路】(1)首先由余弦定理求得邊長BC的值為BC=7，然后由余弦定理可得cosB=5(2)由題意可得S△ABDS△ACD=4，則【解答過程】（1）由余弦定理可得：B=4+1?2×2×1×cos則BC=7，cossin∠ABC=（2）由三角形面積公式可得S△ABD則S△ACD6．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角A,B,