線性系統(tǒng)分析

§1.6線性系統(tǒng)(LinearSystem)分析系統(tǒng)：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述：系統(tǒng)的作用可以用一個(gè)算符來(lái)表示從廣義講——運(yùn)算過(guò)程系統(tǒng)輸出g輸入f(表示系統(tǒng)的作用、某種變換處理)S{

}ExcitationResponse嚴(yán)格講，光學(xué)系統(tǒng)是非線性的，但大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng),可近似為線性系統(tǒng)來(lái)處理，可得到與實(shí)際相符的結(jié)果。

線性系統(tǒng)可用FT、卷積運(yùn)算來(lái)描述。輸入,如圖像輸出（響應(yīng)）,如圖像、頻譜等（如成像、FT等）光學(xué)系統(tǒng)1.6.1線性系統(tǒng)1疊加性：

若則稱該系統(tǒng)具有疊加性。疊加性：系統(tǒng)中的一個(gè)輸入不影響系統(tǒng)對(duì)其它輸入的響應(yīng)。2均勻性：對(duì)任意常數(shù)a有下式成立：則稱該系統(tǒng)具有均勻性。若均勻性：系統(tǒng)能夠保持對(duì)輸入信號(hào)的縮放因子不變。3線性系統(tǒng)：則稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。若一個(gè)系統(tǒng)同時(shí)具有疊加性和均勻性，即有：4線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)-

ImpulseResponseFunctionorPointSpreadFunction)線性系統(tǒng)分析的基本思想：一個(gè)復(fù)雜的輸入信號(hào)（函數(shù)）f(x,y)，它可以分解成某些簡(jiǎn)單函數(shù)（也稱為基元函數(shù)）的線性疊加。若系統(tǒng)對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出已知（易求得），那么，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)f(x,y)的輸出響應(yīng)就等于系統(tǒng)對(duì)這些簡(jiǎn)單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出響應(yīng)的線性疊加。可為積分把輸入函數(shù)進(jìn)行分解時(shí),選擇的簡(jiǎn)單函數(shù)(基元函數(shù)),應(yīng)滿足：

(1)對(duì)所有線性系統(tǒng)都適用,(2)對(duì)所有輸入函數(shù)都適應(yīng),(3)盡量簡(jiǎn)單。在信息光學(xué)中,常用的基元函數(shù)一般有兩種：

(1)一種是點(diǎn)基元函數(shù),也叫脈沖函數(shù),即δ函數(shù)，(在空域中);(2)另一種是復(fù)指數(shù)基元函數(shù),即平面波波函數(shù),(在頻域中)。二者構(gòu)成FT對(duì)。輸入函數(shù)f(x,y)可以看成是無(wú)窮多個(gè)不同位置(

,

)的δ函數(shù)—δ(x-

,y-

)以f(

,

)為權(quán)重的線性疊加。輸入函數(shù)f(x,y)可以看成是許多個(gè)不同空間頻率(u,v)的簡(jiǎn)諧波成分—exp[j2(ux+vy)

以F(u,v)為權(quán)重的線性疊加。5線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PointSpreadFunction）設(shè)輸入函數(shù)為f(x1,y1),應(yīng)用δ函數(shù)的卷積性質(zhì)，它可以分解成δ函數(shù)的線性疊加:即：輸入函數(shù)f(x1,y1)可以看成是無(wú)窮多個(gè)不同位置(

,

)的δ函數(shù)以f(

,

)為權(quán)重的線性疊加。由線性系統(tǒng)的疊加性和均勻性，可知，線性系統(tǒng)對(duì)輸入函數(shù)f(x1,y1)的輸出響應(yīng)為：δ(x1-

,y1-

)是輸入面上位于(

,

)的一個(gè)單位脈沖,系統(tǒng)對(duì)它的輸出響應(yīng)是S{δ(x1-

,y1-

)}

。

此式說(shuō)明：系統(tǒng)對(duì)f(x1,y1)的輸出響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)基元函數(shù)輸出響應(yīng)的線性疊加。

系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)基元函數(shù)的輸出響應(yīng)叫做系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，用表示h(x2,y2;

,

)

，即：(1)

它僅由線性系統(tǒng)自身的性質(zhì)決定.(2)

一般情況下，它與點(diǎn)脈沖的輸入位置(

,

)有關(guān).因此，輸出g(x2,y2)可表示為：

此式表示：線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的線性疊加。線性系統(tǒng)的性質(zhì)或作用完全可由它的脈沖響應(yīng)來(lái)表征、來(lái)決定。換句話說(shuō)，就是:只要知道了系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),對(duì)任何輸入函數(shù)，其輸出都可由上式確定。例如：對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)。若輸入面上是一個(gè)脈沖（點(diǎn)基元函數(shù)，也就是一個(gè)物點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)光源）；其輸出響應(yīng)就是一個(gè)像點(diǎn)或一個(gè)像斑（幾何光學(xué)觀點(diǎn),物理光學(xué)觀點(diǎn)）。只要知道了物面上各個(gè)物點(diǎn)的成像情況，整個(gè)成像情況就確定了。信息處理系統(tǒng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)

可以用FT分析方法來(lái)描述（FourierSeries,FourierIntegral,FourierTransform）除一些特例外，沒(méi)有統(tǒng)一的理論來(lái)描述物理上,實(shí)際應(yīng)用中,大多數(shù)系統(tǒng)不是嚴(yán)格的線性系統(tǒng)，但在某些條件或一定近似下可以作為線性系統(tǒng)來(lái)處理。許多光學(xué)系統(tǒng)就是如此。1.6.2線性平移不變系統(tǒng)

平移不變性:

若則稱該系統(tǒng)具有平移不變性。

所謂平移不變性就是當(dāng)輸入產(chǎn)生平移時(shí)，輸出也僅發(fā)生平移，形式不變。對(duì)于空間函數(shù)來(lái)講，也稱之為空間平移不變性。線性平移不變系統(tǒng):既具有線性又具有平移不變性的系統(tǒng)稱為線性平移不變系統(tǒng)。1定義

對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)而言，理想成像情況下，平移不變性是指：當(dāng)物在物面發(fā)生平移時(shí)，它的像在像面上也僅發(fā)生相應(yīng)平移，其中的M是垂軸放大率。

實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)，總有一定的孔徑大小，總存在一定的像差，不是嚴(yán)格的線性平移不變系統(tǒng)，但在一定條件下，可近似為線性平移不變系統(tǒng)。2線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）為:對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)處有：如果對(duì)輸入、輸出的坐標(biāo)取適當(dāng)?shù)臉?biāo)度，可使M=1，則有有平移時(shí)h(x2-

,y2-

)稱為線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。其中h(x2,y2)是系統(tǒng)對(duì)位于輸入面坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)脈沖

(x1,y1

)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出:上式表明：對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，其性質(zhì)完全可以由位于坐標(biāo)原點(diǎn)的脈沖響應(yīng)h(x2,y2)決定。即對(duì)于任意輸入函數(shù)，其輸出就等于該函數(shù)與h(x2,y2)的卷積。3物理意義

對(duì)于理想光學(xué)系統(tǒng),上式表明:系統(tǒng)對(duì)物點(diǎn)的成像性質(zhì)與物點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).空間平移不變性就是指,像點(diǎn)分布形式不隨物點(diǎn)空間位置的變化而變化.

實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中,由于像差大小與物點(diǎn)位置有關(guān),所以一般不是嚴(yán)格的線性空間平移不變系統(tǒng).然而大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)的像差大小隨物點(diǎn)位置的變化是緩慢的,因此即使空間平移不變性不能在整個(gè)視場(chǎng)內(nèi)成立,我們也可以把視場(chǎng)分成若干個(gè)區(qū)域,在每個(gè)區(qū)域內(nèi)使空間平移不變性近似成立.

實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中,物面上的一個(gè)物點(diǎn)(點(diǎn)光源,

函數(shù))通過(guò)成像系統(tǒng)后得到一個(gè)彌散像點(diǎn)分布(h函數(shù)),這種彌散作用像日暈,日暈現(xiàn)象;稱為日暈性.1.6.3線性平移不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1線性平移不變系統(tǒng)的空域描述2線性平移不變系統(tǒng)的頻域描述

其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分別是g(x,y)、f(x,y)

和h(x,y)的頻譜。（卷積定理）該式在頻域中描述了線性平移不變系統(tǒng)的性質(zhì)和作用。3討論由上式可知：

該式表明：對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出的頻譜與系統(tǒng)輸入的頻譜的比值恰好等于系統(tǒng)原點(diǎn)脈沖響應(yīng)的頻譜。也就是說(shuō)：H(u,v)表征了線性平移不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特征，即系統(tǒng)對(duì)輸入函數(shù)中不同頻率基元成分的傳遞能力。H(u,v)稱為線性平移不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。一般是復(fù)函數(shù)：傳遞函數(shù)模A(u,v)的作用是改變輸入信號(hào)中各頻率基元成分的模；輻角

(u,v)的作用是改變這些頻率基元成分的初相位；輸入函數(shù)中任意頻率的基元成分就是通過(guò)模與相位的變化，形成系統(tǒng)輸出信號(hào)中同一頻率的基元成分；這些基元成分的線性疊加即合成輸出信號(hào)。4FT關(guān)系

線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(x,y)與傳遞函數(shù)H(u,v)構(gòu)成一對(duì)對(duì)：

其根源在于：脈沖信號(hào)是在空域中描述系統(tǒng)的性質(zhì)，在空域中對(duì)輸入函數(shù)進(jìn)行分解，選用的基元函數(shù)是

(x,y);而傳遞函數(shù)是在頻域中描述系統(tǒng)的性質(zhì)，在頻域中對(duì)輸入函數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，選用的基元函數(shù)是復(fù)指函數(shù)基元函數(shù)exp[j2

(ux+vy)](x,y)的頻譜為1，具有均勻譜密度，對(duì)輸入信號(hào)中的所有頻率基元成分exp[j2

(ux+vy)]都相同。1.6.4線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)1.本征函數(shù)

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若存在一個(gè)函數(shù)f(x,y)，滿足條件：則稱該函數(shù)為該系統(tǒng)的本征函數(shù)。也就是說(shuō)，當(dāng)把系統(tǒng)的本征函數(shù)作為輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的函數(shù)形式不變，只是幅值產(chǎn)生均勻變化，或相位產(chǎn)生均勻延遲，即此時(shí)輸出函數(shù)與輸入函數(shù)之比是一個(gè)復(fù)常數(shù)。2．線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)是復(fù)指數(shù)基元函數(shù)，即：

證明：輸入函數(shù)令

對(duì)于給定的(u,v)，H(u,v)是一個(gè)復(fù)常數(shù)?？梢奺xp[j2

(ux+vy)]是線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù),這也是把它作為基元函數(shù)的一個(gè)原因。3．脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的線性平移不變系統(tǒng),其本征函數(shù)是正、余

弦函數(shù)即：對(duì)于這類系統(tǒng)：輸入是實(shí)函數(shù)，輸出也是實(shí)函數(shù)。證明：若系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，即h(x,y)是實(shí)函數(shù)，則其傳遞函數(shù)H(u,v)是厄米對(duì)稱的，即：令A(yù)(u,v)：模，振幅傳遞函數(shù)。

(u,v)：幅角，相位傳遞函數(shù)。則：

振幅傳遞函數(shù)是偶函數(shù)相位傳遞函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)輸入函數(shù)為：則輸入函數(shù)的頻譜為：輸出函數(shù)的頻譜輸出的信號(hào)從而證明了：因輸入余弦函數(shù)的頻率可以是任意的，所以該式可寫成:（只是幅值的變化，相位移動(dòng)，形式不變）4級(jí)聯(lián)系統(tǒng)卷積結(jié)合律總響應(yīng)總傳遞函數(shù)輸出函數(shù)頻譜N個(gè)子系統(tǒng)的情況5線性平移不變系統(tǒng)的兩種描述方法：

Linearshift-invariantSystem(LSISystem)h(x,y)H(u,v)表面上看，頻域中進(jìn)行描述比在空域中進(jìn)行描述復(fù)雜；然而在實(shí)際應(yīng)用中，并非如此。原因是FT，IFT(FT-1)和乘積運(yùn)算，無(wú)論在數(shù)字圖像處理還是光學(xué)圖像處理中都比直接卷積運(yùn)算好實(shí)現(xiàn)。對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)：對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)：相干光學(xué)系統(tǒng)，非相干光學(xué)系統(tǒng)，部分相干光學(xué)系統(tǒng)。相干光學(xué)系統(tǒng)：理想情況下（或一定近似條件下），對(duì)光場(chǎng)復(fù)振幅分布是線性平移不變系統(tǒng)。上面的f(x,y)，g(x,y)是復(fù)振幅分布，h(x,y)是復(fù)函數(shù)。復(fù)指函數(shù)是它的本征函數(shù)。6總結(jié)：通過(guò)本節(jié)可知，對(duì)于線性系統(tǒng)LinearSystemS{·}h(x2,y2;

,

)（1）什么樣的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)？或者說(shuō)線性系統(tǒng)有何特點(diǎn)？（2）線性系統(tǒng)的基元函數(shù)如何選取？信息光學(xué)中一般采用哪兩種函數(shù)形式？

非相干光學(xué)系統(tǒng)：理想情況下（或一定近似條件下），對(duì)強(qiáng)度分布是LSIS，正、余弦函數(shù)是它的本征函數(shù)，f(x,y)，g(x,y)是光強(qiáng)分布，h(x,y)是實(shí)函數(shù)。對(duì)線性平移不變系統(tǒng)，其描述可采用兩種方法進(jìn)行：Linearshift-invariantSystem(LSISystem)h(x,y)H(u,v)（3）線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)），其物理意義。（4）線性分析的基本思想是什么？數(shù)學(xué)描述。（1）什么樣的系統(tǒng)是線性平移不變系統(tǒng)？或者說(shuō)線性平移不變系統(tǒng)有何特點(diǎn)？（2）線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）、傳遞函數(shù)。（3）線性平移不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。空域，頻域。（4）線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。從表面上看，在頻域中進(jìn)行描述比在空域中進(jìn)行描述復(fù)雜；然而在實(shí)際應(yīng)用中，并非如此。原因是FT，IFT(FT-1)和乘積運(yùn)算，無(wú)論在數(shù)字圖像處理還是光學(xué)圖像處理中都比直接卷積運(yùn)算好實(shí)現(xiàn)。對(duì)于線性平移不變系統(tǒng)：對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)：相干光學(xué)系統(tǒng)，非相