課時(shí)4 貝葉斯公式 解析版

.1課時(shí)4貝葉斯公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解貝葉斯公式.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用貝葉斯公式求相應(yīng)事件的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)【自主預(yù)習(xí)】1.如何求在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率?【答案】利用條件概率公式P(B|A)=n(AB)n(A)=P(AB)2.公式P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai【答案】設(shè)Ai(i=1,2,…,n)為n個(gè)事件,Ω為樣本空間,公式成立的條件如下:(1)AiAj=?(i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.3.全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么?【答案】?jī)烧咦畲蟮牟煌翘幚淼膶?duì)象不同,其中全概率公式用來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件的概率,而貝葉斯公式用來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件的概率,也就是說(shuō),全概率公式是計(jì)算普通概率的,貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算條件概率的.1.已知甲盒里有3個(gè)黃球,2個(gè)藍(lán)球;乙盒里有4個(gè)黃球,1個(gè)藍(lán)球.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子并從中摸出了一個(gè)黃球,若此人選擇甲盒或乙盒的概率相等,則這個(gè)黃球來(lái)自乙盒的概率為().A.12 B.25 C.37【答案】D【解析】記事件A表示“摸出黃球”,事件B表示“摸出的球來(lái)自乙盒”,則P(A)=710P(AB)=P(B)P(A|B)=12×45=25,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=252.某人從甲地到乙地,乘火車(chē)、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2,0.4,0.4,乘火車(chē)遲到的概率為0.5,乘輪船遲到的概率為0.2,乘飛機(jī)不會(huì)遲到,則這個(gè)人遲到的概率是;如果這個(gè)人遲到了,他乘輪船遲到的概率是.

【答案】950【解析】設(shè)事件A表示“乘火車(chē)”,事件B表示“乘輪船”,事件C表示“乘飛機(jī)”,事件D表示“遲到”,則P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,故P(DA)=0.5,P(DB)=0.2,P(DC)=0,D=(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C),由全概率公式,可得這個(gè)人遲到的概率P(D)=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18=950如果這個(gè)人遲到了,由貝葉斯公式可得他乘輪船遲到的概率P(BD)=P(D?B)P(D)=0.4×0.20.18=3.在臨床上,經(jīng)常用某種試驗(yàn)來(lái)診斷試驗(yàn)者是否患有某種癌癥,設(shè)事件A=“試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”,事件B=“試驗(yàn)者患有此癌癥”,臨床數(shù)據(jù)顯示P(A|B)=0.99,P(A|B)=0.98.已知某地人群中患有此種癌癥的占比為11000,現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽取1人,其試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性,則此人患有此種癌癥的概率為【答案】11【解析】由題意可得,P(A|B)=1-P(A|B)=0.02,P(B)=0.001,P(B)=0.999,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A|B)P(B)P(AB)+P(AB)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B)【合作探究】探究1貝葉斯公式如圖,有三個(gè)外形相同的箱子,分別編號(hào)為1,2,3,其中1號(hào)箱裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球,3號(hào)箱裝有3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同.小明先從三個(gè)箱子中任取一箱,再?gòu)娜〕龅南渥又腥我饷鲆磺?記事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i號(hào)箱”,事件B表示“取得黑球”.問(wèn)題1:分別求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.【答案】由已知可得P(A1)=P(A2)=P(A3)=13P(B|A1)=14,P(B|A2)=12,P(B|A3)∴P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=13×14=P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=13×12=P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=13×1=1∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=112+16+13問(wèn)題2:若小明取出的球是黑球,問(wèn)該黑球來(lái)自幾號(hào)箱的概率最大?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】P(A1|B)=P(A1B)P(B)=112712=17,P(A2|B)=P(A2B)P(B)=167∴P(A3|B)最大,即若小明取出的球是黑球,該黑球來(lái)自3號(hào)箱的概率最大.問(wèn)題3:問(wèn)題2的解題思想是什么?【答案】執(zhí)果索因.問(wèn)題4:如果把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”,那么貝葉斯公式所要研究的問(wèn)題就是“已知結(jié)果求原因”,也就是說(shuō)貝葉斯公式的思想是什么?【答案】執(zhí)果索因,即在觀察到事件A已發(fā)生的條件下,尋求導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.新知生成1.貝葉斯公式公式P(B|A)=P(B)P(2.貝葉斯公式的推廣設(shè)Ai(i=1,2,…,n)滿足(1)AiAj=?(i≠j);(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.則對(duì)任一事件B(其中P(B)>0),由條件概率及全概率公式,有P(Ai|B)=P(AiB)P(B新知運(yùn)用例1在數(shù)字通信中,信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí),接收為0和1的概率分別為0.8和0.2;發(fā)送信號(hào)1時(shí),接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.若已知接收的信號(hào)為0,求發(fā)送的信號(hào)是1的概率.【解析】設(shè)事件A為“發(fā)送的信號(hào)為0”,事件B為“接收的信號(hào)為0”,則A-為“發(fā)送的信號(hào)為1”,B-為“接收的信號(hào)為由題意得,P(A)=P(A-)=0.5,P(B|A)=0.8,P(B-|A)=0.2,P(B|A-)=0.1,P(B-|A-)由貝葉斯公式有P(A-|B)=P(A-)P【方法總結(jié)】利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步,利用全概率公式計(jì)算P(A),即P(A)=∑i=1nP(Bi)·P(第二步,計(jì)算P(B),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;第三步,代入P(B|A)=P(AB已知某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2∶1,貨車(chē)和客車(chē)中途停車(chē)修理的概率分別為0.02,0.01,今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理,則該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為().A.0.2B.0.8C.0.3D.0.7【答案】B【解析】設(shè)事件B表示“汽車(chē)中途停車(chē)修理”,事件A1表示“公路上經(jīng)過(guò)的汽車(chē)是貨車(chē)”,事件A2表示“公路上經(jīng)過(guò)的汽車(chē)是客車(chē)”,則P(A1)=23,P(A2)=13,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0由貝葉斯公式,可知中途停車(chē)修理的是貨車(chē)的概率P(A1|B)=P(A1)P(B|探究2全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用例2同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知,三個(gè)廠的正品率分別為0.95,0.90,0.80,三個(gè)廠的產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5.現(xiàn)將所有產(chǎn)品混合在一起.(1)從中任取一件,求此產(chǎn)品為正品的概率;(2)現(xiàn)取到一件正品產(chǎn)品,則它由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大?【解析】(1)設(shè)事件A表示取到的產(chǎn)品為正品,B1,B2,B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn),則Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3兩兩互斥,由題意知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.由全概率公式得P(A)=∑i=13P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)=P(B1)P(P(B2|A)=P(B2)P(P(B3|A)=P(B3)P(通過(guò)比較可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大.【方法總結(jié)】P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對(duì)諸事件發(fā)生的可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息(知道事件B發(fā)生),人們對(duì)諸事件發(fā)生的可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì),貝葉斯公式從數(shù)量上描述了這種變化.一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議,他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車(chē)和非機(jī)動(dòng)車(chē)的概率分別為0.2,0.5,0.3,現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車(chē)和非機(jī)動(dòng)車(chē)遲到的概率分別為13,14,(1)求這位教授遲到的概率;(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了,求他乘坐的是飛機(jī)的概率.【解析】設(shè)A=“遲到”,B1=“乘飛機(jī)”,B2=“乘動(dòng)車(chē)”,B3=“乘非機(jī)動(dòng)車(chē)”.(1)所求概率為P(A),由全概率公式得,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=13×15+14×12+112(2)所求概率為P(B1|A),由貝葉斯公式得,P(B1|A)=P(AB1)P(A)=P(A|B【隨堂檢測(cè)】1.一道考題有4個(gè)選項(xiàng),正確【答案】只有一個(gè),要求學(xué)生將正確【答案】選擇出來(lái).某考生知道正確【答案】的概率為13,在亂猜時(shí),4個(gè)選項(xiàng)都有機(jī)會(huì)被他選擇,若他答對(duì)了,則他確實(shí)知道正確【答案】的概率是 ()A.13 B.23 C.34【答案】B【解析】設(shè)事件A表示“考生答對(duì)”,事件B表示“考生知道正確【答案】”,由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(B-)P(A|B-)=13×1+23×由貝葉斯公式得P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=13×12.某病毒存在人與人之間傳播的現(xiàn)象,即存在A傳B,B又傳C,C又傳D的傳染現(xiàn)象,那么A,B,C就依次被稱(chēng)為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個(gè)身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9,0.8,0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會(huì),參加宴會(huì)的人中有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者,若小明參加宴會(huì)僅和1名傳播者有所接觸,則他被感染的概率為;若小明被感染,則他是被第三代傳播者感染的概率為.

【答案】0.8314【解析】設(shè)事件E=“小明與第一代傳播者接觸”,事件F=“小明與第二代傳播者接觸”,事件G=“小明與第三代傳播者接觸”,事件D=“小明被感染”,則P(E)=0.5,P(F)=0.3,P(G)=0.2,P(D|E)=0.9,P(D|F)=0.8,P(D|G)=0.7,所以小明被感染的概率P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|F)·P(F)+P(D|G)P(G)=0.9×0.5+0.8×0.3+0.7×0.2=0.83.若小明被感染,則他是被第三代感染的概率P(G|D)=P(GD)P(D)=0.2×0.70.83=3.商店論箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,