一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練(含復(fù)習(xí)資料)

第頁(yè)一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式△＝時(shí)，其求根公式為：；若兩根為，當(dāng)△≥0時(shí)，則兩根的關(guān)系為：；，根及系數(shù)的這種關(guān)系又稱(chēng)為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是的兩根。一元二次方程的根及系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還經(jīng)常要求同學(xué)們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種狀況，以及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問(wèn)題舉例做些分析，盼望能給同學(xué)們帶來(lái)小小的幫忙。一,依據(jù)判別式，探討一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿意方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。

解：∵方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

解得；

∵方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

解得；

于是，同時(shí)滿意方程（1），（2）條件的的取值范圍是

其中，的整數(shù)值有或

當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無(wú)整數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。解得：

所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。說(shuō)明：熟識(shí)一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠嫻熟的解不等式的基本技能和肯定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。二,判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。分析：對(duì)于來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正負(fù)，則須要確定或的正負(fù)狀況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定或的正負(fù)狀況。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為，∵＜0∴原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。說(shuō)明：判別根的符號(hào)，須要把“根的判別式”和“根及系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，另外由于本題中＜0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘如＞0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。

三,已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。分析：此題通常有兩種解法：一是依據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過(guò)解方程方法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根及系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得當(dāng)時(shí)，原方程均可化為：解得：∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，依據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：即解得∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。說(shuō)明：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴△解這個(gè)不等式，得≤0

設(shè)方程兩根為

則，整理得：解得：又∵，∴說(shuō)明：當(dāng)求出后，還需留意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。四,運(yùn)用判別式及根及系數(shù)的關(guān)系解題。例5：已知,是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)和能否同號(hào)？若能同號(hào)，懇求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，∴則有又∵,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系，可得：

假設(shè),同號(hào)，則有兩種可能：

（1）

（2）若，則有：；即有：解這個(gè)不等式組，得∵時(shí)方程才有實(shí)樹(shù)根，∴此種狀況不成立。

若，

則有：即有：解這個(gè)不等式組，得；又∵，∴當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào)

說(shuō)明：一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根及系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析探討有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法敏捷多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新實(shí)力試題的良好載體，在中考中及此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六,運(yùn)用一元二次方程根的意義及根及系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根及系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。解法一：由于是方程的實(shí)數(shù)根，所以設(shè)，及相加，得：（變形目的是構(gòu)造和）依據(jù)根及系數(shù)的關(guān)系，有：于是，得：∴=0解法二：由于,是方程的實(shí)數(shù)根，

說(shuō)明：既要熟識(shí)問(wèn)題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特別的簡(jiǎn)捷解法，是解題實(shí)力提高的重要標(biāo)記，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將非常繁瑣，這時(shí)，假如方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根及系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易,化繁為簡(jiǎn)的作用。這類(lèi)問(wèn)題在解法上敏捷多變，式子的變形具有創(chuàng)建性，重在考查實(shí)力，多年來(lái)始終受到命題老師的青睞。七,運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，依據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根及系數(shù)的關(guān)系求值。解：設(shè)兩方程的相同根為，

依據(jù)根的意義，

有

兩式相減，得

當(dāng)時(shí)，，方程的判別式

方程無(wú)實(shí)數(shù)解

當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解

代入原方程，得，

所以

于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為說(shuō)明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽視對(duì)的探討和判別式的作用，經(jīng)常除了犯有默認(rèn)的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解：當(dāng)時(shí)，，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：；（2）既然本題是探討一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：且另外還應(yīng)留意：求得的的值必需滿意這兩個(gè)不等式才有意義?！境脽岽蜩F】一,填空題：1,假如關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么

。2,已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則

。3,已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則

。4,已知是方程的兩個(gè)根，那么：

；5,已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則

；

。6,假如關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是

，的值為

。7,已知是的一根，則另一根為

，的值為

。8,一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為：

。二,求值題：1,已知是方程的兩個(gè)根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。2,已知是方程的兩個(gè)根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。3,已知是方程的兩個(gè)根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。4,已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5,已知關(guān)于x的方程的兩根滿意關(guān)系式，求的值及方程的兩個(gè)根。6,已知方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。三,實(shí)力提升題：1,實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？2,已知關(guān)于的一元二次方程

（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,滿意，求的值。3,若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。4,是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿意，假如存在，試求出全部滿意條件的的值，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。5,已知關(guān)于的一元二次方程（）的兩實(shí)數(shù)根為，若，求的值。6,實(shí)數(shù),分別滿意方程和，求代數(shù)式的值。答案及提示：一,填空題：1,提示：，，，∴，∴，解得：2,提示：，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，∴。3,提示：由于韋達(dá)定理得：，，∵，∴，∴，解得：。4,提示：由韋達(dá)定理得：，，；；由，可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種狀況：①設(shè)＞0，＜0，則；②設(shè)＜0，＞0，則。5,提示：由韋達(dá)定理得：，，∵，∴，，∴，∴。6,提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，，即。7,提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，8,提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，，∴，即；；∴設(shè)所求的一元二次方程為：二,求值題：1,提示：由韋達(dá)定理得：，，∴2,提示：由韋達(dá)定理得：，，∴3,提示：由韋達(dá)定理得：，，4,提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，于是有，，因此可看作方程的兩根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是，。5,提示：由韋達(dá)定理得，，∵，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得：；解得：，；以下分兩種狀況：①當(dāng)時(shí)，，，組成方程組：；解這個(gè)方程組得：；②當(dāng)時(shí)，，，組成方程組：；解這個(gè)方程組得：6,提示：設(shè)和相同的根為，于是可得方程組：；①②得：，解這個(gè)方程得：；以下分兩種狀況：（1）當(dāng)時(shí)，代入①得；（2）當(dāng)時(shí)，代入①得。所以和相同的根為，的值分別為，。三,實(shí)力提升題：1,提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必需同時(shí)具備：①判別式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式組：解這個(gè)不等式組得：＞12,提示：（1）的判別式△＞0，所以無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并依據(jù)已知條件可得：解這個(gè)關(guān)于的方程組，可得到：，，由于，所以可得，解這個(gè)方程，可得