數(shù)學(xué)建模案例（一）最佳視角教案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊

《數(shù)學(xué)建模案例（一）最佳視角》教案課題6.3數(shù)學(xué)建模案例（一）最佳視角單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用具體事件理解數(shù)學(xué)建模的過程；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握數(shù)學(xué)建模的相關(guān)知識(shí)，為數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)的同時(shí)，也能學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題。4.直觀想象：了解數(shù)學(xué)建模案例的過程；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算數(shù)學(xué)建模；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：問題解析；模型建立與求解；模型的進(jìn)一步討論。難點(diǎn)：問題解析；模型建立與求解；模型的進(jìn)一步討論。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)新課導(dǎo)入情境導(dǎo)入：當(dāng)我們和朋友一起流連忘返于展覽大廳欣賞精美的藝術(shù)品，或在節(jié)假日陪伴家人沉醉于大自然美景時(shí)，可能常常不經(jīng)意地調(diào)整觀察路線，便于我們能夠?qū)Ω信d趣的目標(biāo)有一個(gè)最清晰的觀察。這種最清晰的觀察就可以通過建立最佳視角的數(shù)學(xué)模型來完成。從數(shù)學(xué)上看，對什么是最佳視角并沒有一個(gè)嚴(yán)格的定義，針對不同的問題，取佳視角的含義有所不同。例如，當(dāng)我們希望對物體的全貌進(jìn)行最清晰的觀察時(shí)，取佳視角是關(guān)于面積最大的問題，而在6.1節(jié)提出的足球運(yùn)動(dòng)員射門角度問題中，其最佳視角則對應(yīng)于球員與所對球門張成的最大角度。本節(jié)我們僅從觀察者與所觀察物體張成的最大角度出發(fā)，討論與之有關(guān)的最佳視角模型。新知探究新知探究（一）：問題解析最佳視角問題在我們的生活中還有很多，例如:(1)如圖，觀眾在觀看某美術(shù)館墻上懸掛的一幅畫作時(shí)，經(jīng)常會(huì)前、后左、右移動(dòng)，以使得觀看該畫最清晰，你能夠從最大視角的角度解釋他腳步移動(dòng)的原因嗎?(2)對于一座山或高大建筑物(不可及但高度知道)，且在平地上可以看見山或建筑物頂上有一個(gè)標(biāo)志性塔或旗桿，如何在平地上尋找位置，使在該位置觀塔或旗桿的視角最大?下面我們通過建立數(shù)學(xué)模型的方法來解決最佳視角問題。新知探究（二）：模型建立與求解最佳視角問題可以抽象成下面的數(shù)學(xué)模型：如圖，直線AB垂直于地面，垂足為O，設(shè)OA=a,OB=b(a>b>0)，過O點(diǎn)任作一條垂直于OA的直線l，問題:在直線l上找出點(diǎn)C,使得在這點(diǎn)的視角∠ACB最大。最大視角問題早期常見解法包括平面幾何法與三角函數(shù)法，下面我們用三角函數(shù)法討論其求解方法：設(shè)OC=x,∠ACO=β,∠BCO=α.利用差角的正切公式tan∠ACB=tan(β-α)=tanβ?tan當(dāng)且僅當(dāng)x=abx,即x=ab時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)tan∠ACB取最大值a?b由于y=tanx在(0,π2)上是增函數(shù)，且∠ACB∈(0,π2故當(dāng)x=ab時(shí)，tan∠ACB最大，此時(shí)視角∠ACB也最大。按照數(shù)學(xué)建模的流程，還需要對模型解的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)。以觀賞一幅懸掛在美術(shù)館墻面上的畫作為例，參觀者腳步的左右移動(dòng)和前后移動(dòng)分別對應(yīng)于通過腳步移動(dòng)尋找人眼與畫作在橫向以及縱向上的最大張角。你可以選擇模型所得到最佳視角的位置以及其他的位置，體驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果的合理性。(2)更一般的問題：當(dāng)人們眺望對面山頂景物(如巖崖畫、觀光塔)時(shí)，