2024年高三數(shù)學(xué)極光杯線上測試(一) 參考答案

2024年“極光杯”線上測試（一）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A5．C

2．C6．A

3．D7．A

4．B8．D二、選擇題9．AD

10．ACD

11．BD

12．ABD三、填空題13．10

14．215．

12

16．1；(

102

,

105

4554四、解答題17．解：（1）由題設(shè)條件知f(x)的最小正周期T

2

2(

23

663

6

6令2k

2

2x

6

2k

2

36令2k

2

2x

6

2k

32

，得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k

6

,k

23

](kZ)．6

6

6666點(diǎn)，因此32

2a

6

52

，27362024年測試（一）參考答案第1頁（共4頁）)(,))，所以2．又因?yàn)閒()sin()1，0，所以，f(x)sin(2x)．)(,))，所以2．又因?yàn)閒()sin()1，0，所以，f(x)sin(2x)．，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k,k](kZ)，（2）由題可知g(x)sin(2ax)，所以當(dāng)x(0,)時(shí)，2ax(,2a)．若g(x)在區(qū)間(0,)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則ysinx在區(qū)間(,2a)恰有兩個(gè)極值解得a的取值范圍是(,]．18．解：（1）由題設(shè)知Y服從二項(xiàng)分布B(50,0.6)，所以E(Y)500.630，D(Y)500.60.412．（2）（i）統(tǒng)計(jì)量A反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：若患者i受益于新治療方案，則其指標(biāo)I的值x滿足f(x)0，否則|f(x)|1，會(huì)iii被統(tǒng)計(jì)量A計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量A的數(shù)值加1．統(tǒng)計(jì)量B反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者數(shù)量，理由如下：若患者i接受新治療方案后指標(biāo)I偏低或正常，則其指標(biāo)I的值x滿足if(x)[f(x)1]0，ii若指標(biāo)I偏高，則f(x)[f(x)1]2，ii

f(x)[f(x)1]ii2

1，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量B計(jì)入，且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)I偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量B的數(shù)值加1．（ii）由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中X的觀測值大于Y的觀測值．由（i）知Y的觀測值y50A，因此，當(dāng)50A30，即A20時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；當(dāng)50A30，即A20時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；當(dāng)50A30，即A20時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案．19．解：（1）取CF中點(diǎn)M，DE中點(diǎn)N，連結(jié)AM，BN，MN．因?yàn)榈酌鍯DEF是矩形，AB//底面CDEF，平面ABCD底面CDEFCD，所以AB//CD//EF，而MN//CD，所以A，B，M，N共面．由題設(shè)知△ACF，△BDE都是正三角形，所以CFAM，DEBN．因?yàn)榈酌鍯DEF是矩形，所以CF//DE，則CFBN，CF平面ABMN．記A在MN，CD，EF上的射影分別為A，A，A，則CFAA，且MNAA，12333所以AA1．而AAAAMCMF1，所以△AAA是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三1121323角形，AAAA．23又因?yàn)锳AEF，所以AACD，從而AA平面ABCD．222而AA平面ABEF，所以平面ABCD平面ABEF．22024年測試（一）參考答案第2頁（共4頁）（2）（i）因?yàn)镃F//DE，所以CF//平面BDE．由線面平行的性質(zhì)可知，CF//l，其中l(wèi)平面ACF平面BDE．而l底面CDEF，所以l//底面CDEF．（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交點(diǎn)，記為G．所以Gl，l到底面CDEF的距離等于G到底面CDEF的距離．因?yàn)锳MBN3，所以四邊形ABNM是等腰梯形，AMNBNM，因此

2dMN

AAMA1由幾何關(guān)系可知MAMA2AA22，MNAB2MA222，111代入計(jì)算得d120．解：

22

．（1）由題設(shè)知aa12a，即a(q1)21；daaa(q1)1321211

1q1

．因此當(dāng)q1時(shí)，qdq1

1q1

13，當(dāng)q1

1q1

，即q2時(shí)等號(hào)成立．所以qd的最小值為3．（2）aaq10111

q10(q1)2

，令f(q)

q5q1

，q1．f(q)

q4(4q5)(q1)2

，令f(q)0得q0

54

55445

11

54

．此時(shí)a16，a20，a25．a(chǎn)不是偶數(shù)，所以aA，aA(n5)．12334n所以當(dāng)a取最小值時(shí)，A中所有元素之和為16202561．1121．解：（1）設(shè)A(4t2,4t)，t0，則|AB|2(4t21)2(4t4)216t424t232t17．設(shè)f(t)16t424t232t17，f(t)16(4t33t2)16(2t1)(2t2t2)．14

158

0，所以令f(t)0得t0

12

1211222024年測試（一）參考答案第3頁（共4頁）1，其中d為G到底面CDEF的距離．1，其中d為G到底面CDEF的距離．，f(q)在(1,)單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)遞增，因此f(q)的最小值點(diǎn)是，af2(q)取最小值時(shí)，q4因?yàn)?t2t22(t)2，f(t)在(,)單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)遞增，故f(t)的最小值為f()8，|AB|的最小值為22．（2）由題可知tanOCB

43

，tanACO

|t|t21

12當(dāng)t0時(shí)，ACBOCBACO，所以tanACB

43tanACO34tanACO

．該式是關(guān)于tanACO的減函數(shù)，所以

12

tanACB

43

；當(dāng)t0時(shí)，ACBOCBACO，所以tanACB

43tanACO34tanACO

．該式是關(guān)于tanACO的增函數(shù)，所以

43

tanACB

112

；144112332

]．（3）由（2）知，tanACO所以ACOACB．22．解：

12

tanACB，且0ACO90，（1）f(x)

1xex

，則曲線yf(x)在點(diǎn)(t,f(t))處切線l的斜率為

1tet

．若l平行于直線yx2，則

1tt

1，即ett1．設(shè)(t)ett，(t)et10，所以(t)在(,)單調(diào)遞增．而(0)1，所以方程(t)1有唯一解t0．故曲線yf(x)平行于直線yx2的切線只有一條，即在(0,0)處的切線yx．（2）因?yàn)間(x)g(x2)，所以g(x)的一個(gè)周期是2．g(x)esinxcosxecosxsinx(

cosxcosx

sinxsinx

)esinxcosxesinxcosx[f(cosx)f(sinx)]，而esinxcosx0，因此g(x)的正負(fù)與f(cosx)f(sinx)的正負(fù)一致．由（1）知當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(cosx)f(sinx)等價(jià)于cosxsinx，f(cosx)f(sinx)等價(jià)于cosxsinx．由ysinx和ycosx的圖像知，當(dāng)x(2k

34

4當(dāng)x(2k

4

,2k

54

)(kZ)時(shí)，cosxsin