廣東省北京師范大學(xué)東莞石竹附屬學(xué)校高中數(shù)學(xué)選修4-1課件：131相似三角形的判定及性質(zhì)

1.3相似三角形的判定第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)相似三角形的定義:對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)).BACA

C

B

1.3相似三角形的判定第一講相似三角形的判定及有關(guān)性判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法(1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.BACA

C

B

判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法(1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則在△ABC中有：EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.AECBDEBACD預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相判定定理1

對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似.判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與CBA已知,如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求證:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DECBA已知,如圖,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A證明:

在△ABC的邊AB(或AB的延長(zhǎng)線)上,截取AD=A’B’,過點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E.由預(yù)備定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE證明:在△ABC的邊AB(或AB的延長(zhǎng)線)上,截例1

如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點(diǎn),

BD=BC.求證:BC2=AC

CD分析:

遇到線段的比例問題可以考慮三角形的相似證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA例1如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一

如圖,圓內(nèi)接△ABC角平分線CD延長(zhǎng)后交圓于一點(diǎn)E.分析:

遇到線段的比例問題可以考慮三角形的相似根據(jù)線段所在三角形考慮證△EBD∽△ECB例2DEABC證明：由已知條件，可得∠ACE=∠BCE?！摺螦CE與∠ABE是同弧上的圓周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB?！唷鱁BD∽△ECB∴如圖,圓內(nèi)接△ABC角平分線C判定定理2

對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.判定定理2對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩邊和另A

B

C

CBADE已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,求證:△ABC∽△A

B

C

△ADE≌△A

B

C

DE//BC△ABC∽△ADEABCCBADE已知:如圖,在△ABC和△ABCCBADE已知:如圖△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點(diǎn)E

重合即DE

與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.CBADE已知:如圖△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，例3

如圖,在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD和BD.點(diǎn)E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:很容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE例3如圖,在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD和BD.BAC判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)例4

如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC例4如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么它們相似;(2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們相似.直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊例5如圖，已知AD、BE分別是△ABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD、BE的交點(diǎn)求證：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH

HE分析:(1)只要證明Rt△ADC∽R(shí)t△