多元函數(shù)-習(xí)題

第八章多元函數(shù)微分學(xué)小結(jié)1.第八章多元函數(shù)微分學(xué)小結(jié)1.一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會(huì)求定義域.2了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念.3理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.4掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法.5了解全微分形式的不變性.6掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法.2.一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會(huì)求定義域.2.7會(huì)求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線.8了解方向?qū)?shù)的概念和計(jì)算公式.9了解梯度的概念和計(jì)算方法以及梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系.10掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值的求法及最大（?。┲档那蠓?3.7會(huì)求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線.3.二要點(diǎn)提示（一）函數(shù)的概念設(shè)是一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每一點(diǎn)變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z是點(diǎn)P的函數(shù)，記為注意

1.從一元函數(shù)推廣2.多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別1.點(diǎn)函數(shù)的定義：4.二要點(diǎn)提示（一）函數(shù)的概念設(shè)是一個(gè)點(diǎn)集當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為n元函數(shù).為三元函數(shù)；……當(dāng)時(shí)，為二元函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為一元函數(shù)；5.當(dāng)時(shí)，當(dāng)

2.多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成，可用一個(gè)式子所表示的函數(shù)，稱為多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.

6.2.多元初等函數(shù)：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連1．偏導(dǎo)數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分（1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增量與自變量增量之比的極限.7.1．偏導(dǎo)數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分（1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增（2）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)

求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的微分法問題，對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)，暫時(shí)將其余變量看作常數(shù).8.（2）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的2．全微分全微分公式：全微分定義：的線性部分？9.2．全微分全微分公式：全微分定義：的線性部分？9.可導(dǎo)連續(xù)一元函數(shù)：可導(dǎo)函數(shù)可微多元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在（三）多元函數(shù)連續(xù)﹑偏導(dǎo)存在與可微之間的關(guān)系多元函數(shù)：函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微10.可導(dǎo)連續(xù)一元函數(shù)：可導(dǎo)函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)11.多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函（四）多元函數(shù)微分法（1）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t的實(shí)質(zhì)是函數(shù)必須對(duì)中間變量求導(dǎo)。依據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可按照“連線相乘，分線相加”的原則來進(jìn)行.1．多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法12.（四）多元函數(shù)微分法（1）鏈?zhǔn)椒▌t1．多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法12則是x,y的復(fù)合函數(shù).設(shè)13.則是x稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu),它可用“樹形圖”來表示.14.稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清14.注意：

15.注意：15.2．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則方法2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：方法1對(duì)方程兩端求(偏)導(dǎo)數(shù)，然后解出所求(偏)導(dǎo)數(shù).16.2．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點(diǎn)處切向量為是曲線上一點(diǎn)，其相應(yīng)的參數(shù)為（1）設(shè)空間曲線：1．空間曲線的切線及法平面17.（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點(diǎn)處切向量為是曲曲線在點(diǎn)處的切線方程為曲線在點(diǎn)處的法平面方程為18.曲線在點(diǎn)處的切線方程為曲線在點(diǎn)處的法平面

若曲線的方程表示為則在點(diǎn)處切向量為19.若曲線的方程表示為則在點(diǎn)處切向量為19.2．曲面的切平面及法線為曲面上一點(diǎn),則曲面在點(diǎn)處的法向量為（1）設(shè)曲面方程為（隱函數(shù)形式）20.2．曲面的切平面及法線為曲面上一點(diǎn),則曲面在點(diǎn)處的切平面方程為法線方程為21.切平面方程為法線方程為21.（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點(diǎn)的法向量為則可寫為隱函數(shù)形式22.（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點(diǎn)的法向量為則（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計(jì)算公式：若可微，則其中為軸正向到方向的轉(zhuǎn)角方向?qū)?shù)的定義23.（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計(jì)算公式：若注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在

若可微,則其中為方向的方向角.24.注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在若3.梯度：設(shè)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，向量稱為在點(diǎn)的梯度.

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.25.3.梯度：設(shè)（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時(shí)稱為駐點(diǎn)。若在點(diǎn)處有極值，則駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)1．極值的必要條件：26.（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時(shí)稱為駐點(diǎn)是極小值；2．充分條件：設(shè)在駐點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記(2)當(dāng)時(shí)，不是極值；(1)當(dāng)時(shí)，是極值;(3)當(dāng)時(shí)，不能確定.

是極大值；27.是極小值；2．充分條件：設(shè)3．條件極值：求拉格朗日函數(shù)

求條件極值的方法：的極值.如函數(shù)下的極值稱為條件極值.在條件(2)用拉格朗日乘數(shù)法：(1)將條件代入函數(shù),轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；28.3．條件極值：求拉格朗日函數(shù)求條件極值的方法：的極值.如4．函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的方法:

1.求出該函數(shù)在內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值;2.求出在的邊界上可能的最大值﹑最小值;3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.29.4．函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定駐點(diǎn)是否是最值點(diǎn).唯一駐點(diǎn)，最大（?。┲当卮嬖?30.在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)唯一駐點(diǎn)，最大（?。┲当兀ㄒ唬┣笃珜?dǎo)數(shù)和全微分:1.求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分.典型例題31.（一）求偏導(dǎo)數(shù)和全微分:1.解32.解32.可導(dǎo),求解33.可導(dǎo),求解33.34.34.35.35.5.設(shè)的二階偏導(dǎo)連續(xù)，求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解令由隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有故36.5.設(shè)的二階偏導(dǎo)連續(xù)，求由方程所確定的隱函數(shù)而是由方程6.設(shè)所確定的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明解1函數(shù)y對(duì)x求導(dǎo)：？37.而是由方程6.設(shè)所確定的隱函數(shù)由確定解出即得.38.隱函數(shù)由解2由確定，隱函數(shù)求兩邊求全微分：從式解出代入式,得出6.39.解2由確定，隱函數(shù)即曲線，法平面方程：切線方程：其切向量為解方程組確定隱函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程.7.求曲線（二）微分學(xué)的應(yīng)用40.即曲線所圍成的四面體的體積為常數(shù).8.證明：曲面解曲面在它上面任意一點(diǎn)處法向量為于是，曲面在它上面任意一點(diǎn)切平面方程為：即的切平面與坐標(biāo)面處的41.所圍成的四面體的體積為常數(shù).8.證明：曲面解曲面在它上面任易知，該切平面在軸上的截距分別為：則切平面與坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積為切平面方程為：42.易知，該切平面在軸上的截距分別為：則切平面與坐標(biāo)面所圍成的四9.求在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)解向量的方向即是l的方向.于是,

與l同向的單位向量的方向的方向?qū)?shù).43.9.求在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)解向量的方向即是l的方向.于是,44.44.

10.求在點(diǎn)解由已知,有而函數(shù)在