大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)

大學(xué)文科數(shù)學(xué)

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)北京師范大學(xué)珠海分校國(guó)際特許經(jīng)營(yíng)學(xué)院與不動(dòng)產(chǎn)學(xué)院2004-2005學(xué)年第二學(xué)期歐陽(yáng)順湘2005.5.11

大學(xué)文科數(shù)學(xué)

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)1正態(tài)分布

或高斯分布NormalDistributionGaussDistribution正態(tài)分布

或高斯分布NormalDistribu2大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)3

一、正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.一、正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)若r.vX的概率密度4設(shè)X~,X的分布函數(shù)是設(shè)X~,X的5大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)6正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.正態(tài)分布的圖形7大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)8隨機(jī)變量取值于處的概率較大

隨機(jī)變量取值于處的概率較大9大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)10先證：作變量代換即證可以證明證明思路：轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)：先證：作變量代換即證可以證明證明思路：轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)：11大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)12對(duì)稱性的應(yīng)用一對(duì)稱性的應(yīng)用一13對(duì)稱性的應(yīng)用二對(duì)稱性的應(yīng)用二14小大小大小大小大15大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)16大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)17決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.18大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)19二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布20它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.,則Y

~N(0,1)

設(shè)定理1它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何21書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.三、正態(tài)分布表表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.當(dāng)-x<0時(shí)書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正22若~N(0,1)

若X～N(0,1),若~N(0,1)若X～N(0,1),23SupposethatXisanormallydistributedrandomvariablewithparametersμ=10and

=3.FindtheprobabilitythatXisbetween4and16.Example＝.9772－.0228＝.9544SupposethatXisanormallyd24由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974四、3準(zhǔn)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集25將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎26大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)27例

質(zhì)量控制的3

準(zhǔn)則

設(shè)在正常生產(chǎn)條件下某軸承的直徑X~

N(μ,^2

).為在生產(chǎn)過(guò)程中能及時(shí)了解生產(chǎn)是否正常,每隔一定時(shí)間抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),并將測(cè)得的直徑數(shù)據(jù)作于一張質(zhì)量控制圖例質(zhì)量控制的3準(zhǔn)則設(shè)在正常生產(chǎn)條件下某軸承的28如果作出的點(diǎn)超出了控制線,則很有可能是生產(chǎn)出現(xiàn)了異常,應(yīng)該暫停生產(chǎn)進(jìn)行檢查.當(dāng)然,在實(shí)際應(yīng)用時(shí),還考慮其它細(xì)節(jié),如常一次檢測(cè)幾個(gè)產(chǎn)品,用它們的平均值來(lái)作控制圖等.

如果作出的點(diǎn)超出了控制線,則很有可能是生產(chǎn)出現(xiàn)了異常,應(yīng)29例12已知某區(qū)5000名初二學(xué)生，數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績(jī)

服從正態(tài)分布N(65,15*15)，求50分至80之間的學(xué)生人數(shù)。P(5080)=F

(80)-F

(50)標(biāo)準(zhǔn)化=(-65)/15~N(0,1)P(50

80)=P((50-65)/15

(-65)/15

(80-65)/15)=P(－1

1)=(1)-(－1)=2(1)-1=2×0.8413－1＝0.682650分至80分之間的人數(shù)為5000×0.6826=3413例12已知某區(qū)5000名初二學(xué)生，數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績(jī)服30使用Excel進(jìn)行計(jì)算

服從N(65,15*15)P(5080)=F

(80)-F

(50)F

(80)=normdist(80,65,15,true)P(50

80)=P((50-65)/15

(-65)/15

(80-65)/15)=P(－1

1)=(1)-(－1)=2(1)-1(1)=normdist(1,0,1,true)normdist(1)使用Excel進(jìn)行計(jì)算服從N(65,15*15)31某區(qū)參加高考預(yù)選的考生8000人的成績(jī)

服從正態(tài)分布，已知μ＝410分，

＝11分，要求預(yù)選5200名考生參加正式高考，問應(yīng)如何確定分?jǐn)?shù)線？任取一名學(xué)生，他應(yīng)選的可能性（概率）為5200/8000=0.65一名學(xué)生被選上是因?yàn)槠涑煽?jī)超過(guò)分?jǐn)?shù)線，因此，任取一名學(xué)生，其成績(jī)超過(guò)分?jǐn)?shù)線x_0的概率為0.65即分?jǐn)?shù)線x_0滿足P(>x_0)=0.65P(<x_0)=0.35某區(qū)參加高考預(yù)選的考生8000人的成績(jī)服從正態(tài)分布，已32大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)33

服從正態(tài)分布，μ＝410，

＝11P(<x_0)=0.35Excel應(yīng)用：x_0=

norminv(0.35,410,11)=405.7615標(biāo)準(zhǔn)化=(-410)/11~N(0,1)P(<x_0)=0.35P((-410)/11<(x_0-410)/11)=0.35z_0=(x_0-410)/11P(<z_0)=0.35z_0=norminv(0.35,0,1)=-0.38532（思考：為什么是負(fù)數(shù)?）或z_0=normsinv(0.35)服從正態(tài)分布，μ＝410，＝1134大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)35教材中的方法:查表表能告訴我們什么P(<z_0)=p例如：P(<1.96)=?P(<1.96)=0.975也可以近似地反查,即P(<？)=0.975局限點(diǎn):z_0>0p>0<z_0教材中的方法:查表表能告訴我們什么36大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)37正態(tài)分布為什么?正態(tài)分布為什么?38拉普拉斯證明了(早期特殊的)中心極限定理.一般的中心極限定理可以理解為:當(dāng)每一個(gè)小的誤差與總的誤差相比可以忽略不計(jì)時(shí),不管小的誤差的分布是什么,總的誤差將近似服從正態(tài)分布.這一著名的結(jié)果說(shuō)明了為什么現(xiàn)實(shí)中如此眾多的隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來(lái)描述其規(guī)律.拉普拉斯證明了(早期特殊的)中心極限定理.39例如,自動(dòng)火炮命中目標(biāo)的誤差一般認(rèn)為是服從正態(tài)分布的,這個(gè)誤差是風(fēng)速、射擊的方向和角度、重量、彈藥的質(zhì)量等許許多多的小因素共同影響的結(jié)果.其中每一種小因素,人們都努力去控制以至于都不能起主要作用;但這些微小的誤差數(shù)量之多,使得其總和仍起作用,最終造成了命中目標(biāo)的誤差.例如,自動(dòng)火炮命中目標(biāo)的誤差一般認(rèn)為是服從正態(tài)分布的,40正態(tài)分布的一個(gè)最早的應(yīng)用是用來(lái)分析天文觀測(cè)中的誤差.在17、18世紀(jì),由于不完善的儀器以及觀測(cè)人員的缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因,天文觀察誤差是一個(gè)重要的問題,有許多重要的科學(xué)家都進(jìn)行過(guò)研究.1809年,高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855,德國(guó))指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布.基于誤差分布服從正態(tài)分布的假設(shè),高斯奠定了他此前使用過(guò)的最小二乘法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).最小二乘法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)很重要的方法.為紀(jì)念他的貢獻(xiàn),正態(tài)分布也稱為高斯分布.正態(tài)分布的一個(gè)最早的應(yīng)用是用來(lái)分析天文觀測(cè)中的誤差.在1741正態(tài)分布正態(tài)分布42魁特奈特在19世紀(jì)前期測(cè)得的5738名蘇格蘭士兵的胸圍數(shù)據(jù).魁特奈特在19世紀(jì)前期測(cè)得的5738名蘇格蘭士兵的胸圍數(shù)43隨機(jī)地從這5738名士兵中找到