新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元二次方程解法導(dǎo)學(xué)案

九年級(jí)數(shù)學(xué)第一章22.2.1直接開平方法解一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1、理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題．2、提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a〔ex+f〕2+c=0型的一元二次方程．重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．難點(diǎn)：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程．【課前預(yù)習(xí)】導(dǎo)學(xué)過程閱讀教材第30頁至第31頁的局部，完成以下問題一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？我們知道x2=25，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±5，如果x換元為2t+1，即〔2t+1〕2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？計(jì)算：用直接開平方法解以下方程：〔1〕x2=8〔2〕(2x-1)2=5〔3〕x2+6x+9=2〔4〕4m2-9=0〔5〕x2+4x+4=1〔6〕3(x-1)2-9=108解一元二次方程的實(shí)質(zhì)是:把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．歸納：如果方程能化成的形式，那么可得【課堂活動(dòng)】活動(dòng)1、預(yù)習(xí)反應(yīng)活動(dòng)2、例習(xí)題分析例1用直接開平方法解以下方程：〔1〕(3x+1)2=7〔2〕y2+2y+1=24〔3〕9n2-24n+16=11練習(xí)：〔1〕2x2-8=0〔2〕9x2-5=3〔3〕(x+6)2-9=0【課堂練習(xí)】：活動(dòng)3、知識(shí)運(yùn)用1、用直接開平方法解以下方程：〔1〕3(x-1)2-6=0〔2〕x2-4x+4=5〔3〕9x2+6x+1=4〔4〕36x2-1=0〔5〕4x2=81〔6〕(x+5)2=25〔7〕x2+2x+1=4歸納小結(jié)應(yīng)用直接開平方法解形如，那么可得到達(dá)降次轉(zhuǎn)化之目的．【課后穩(wěn)固】一、選擇題1．假設(shè)x2-4x+p=〔x+q〕2，那么p、q的值分別是〔〕．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根為〔〕．A．3B．-3C．±3D．無實(shí)數(shù)根3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是〔〕．A．〔x-〕2=，x=±B．〔x-〕2=-，原方程無解C．〔x-〕2=，x1=+，x2=D．〔x-〕2=1，x1=，x2=-二、填空題1．假設(shè)8x2-16=0，那么x的值是_________．2．如果方程2〔x-3〕2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是________．3．如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接開平方法解以下方程：〔1〕〔2-x〕2-81＝0〔2〕2〔1-x〕2-18＝0〔3〕〔2-x〕2＝45．解關(guān)于x的方程〔x+m〕2=n．6、某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻〔墻長(zhǎng)25m〕，另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m．〔1〕雞場(chǎng)的面積能到達(dá)180m2嗎？能到達(dá)200m嗎？〔2〕雞場(chǎng)的面積能到達(dá)210m2嗎？配方法解一元二次方程〔1〕教學(xué)目標(biāo)1、理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題．2、通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p〔p≥0〕或〔mx+n〕2=p〔p≥0〕的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟．重點(diǎn)：講清“直接降次有困難”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟．難點(diǎn)：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．【課前預(yù)習(xí)】導(dǎo)學(xué)過程閱讀教材第31頁至第34頁的局部，完成以下問題解以下方程〔1〕3x2-1=5〔2〕4〔x-1〕2-9=0〔3〕4x2+16x+16=9填空：〔1〕x2+6x+______=〔x+______〕2；〔2〕x2-x+_____=〔x-_____〕2〔3〕4x2+4x+_____=〔2x+______〕2．〔4〕x2-x+_____=〔x-_____〕2問題：要使一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6cm，并且面積為16cm2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少？思考？1、以上解法中，為什么在方程x2+6x=16兩邊加9？加其他數(shù)行嗎？2、什么叫配方法？3、配方法的目的是什么？這也是配方法的根本4、配方法的關(guān)鍵是什么？用配方法解以下關(guān)于x的方程〔1〕2x2-4x-8=0〔2〕x2-4x+2=0〔3〕x2-x-1=0〔4〕2x2+2=5總結(jié)：用配方法解一元二次方程的步驟：【課堂活動(dòng)】活動(dòng)1、預(yù)習(xí)反應(yīng)活動(dòng)2、例習(xí)題分析例1用配方法解以下關(guān)于x的方程：〔1〕x2-8x+1=0〔2〕2x2+1=3x〔3〕3x2-6x+4=0練習(xí)：〔1〕x2+10x+9=0〔2〕x2-x-=0〔3〕3x2+6x-4=0〔4〕4x2-6x-3=0〔5〕x24x-9=2x-11〔6〕x(x+4)=8x+12【課堂練習(xí)】：活動(dòng)3、知識(shí)運(yùn)用填空：〔1〕x2+10x+______=〔x+______〕2；〔2〕x2-12x+_____=〔x-_____〕2〔3〕x2+5x+_____=〔x+______〕2．〔4〕x2-x+_____=〔x-_____〕22．用配方法解以下關(guān)于x的方程〔1〕x2-36x+70=0．〔2〕x2+2x-35=0〔3〕2x2-4x-1=0〔4〕x2-8x+7=0〔5〕x2+4x+1=0〔6〕x2+6x+5=0〔7〕2x2+6x-2=0〔8〕9y2-18y-4=0〔9〕x2+3=2x歸納小結(jié)：用配方法解一元二次方程的步驟：【課后穩(wěn)固】一、選擇題1．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得〔〕．A．〔x-2〕2+3B．〔x-2〕2-3C．〔x+2〕2+3D．〔x+2〕2-32．x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的選項(xiàng)是〔〕．A．x2-8x+〔-4〕2=31B．x2-8x+〔-4〕2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2〔3-2m〕x+3m-2=0〔m≠0〕的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，那么m等于〔〕．A．1B．-1C．1或9D．-1或9二、填空題

1．〔1〕x2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x2+12x+_____=〔3x+_____〕2〔3〕x2+px+_____=〔x+______〕2．2、方程x2+4x-5=0的解是________．3．代數(shù)式的值為0，那么x的值為________．三、計(jì)算：〔1〕x2+10x+16=0〔2〕x2-x-=0〔3〕3x2+6x-5=0〔4〕4x2-x-9=0四、綜合提高題1．三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求〔xy〕z的值．公式法解一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1、理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．2、復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程．重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．難點(diǎn)：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)．【課前預(yù)習(xí)】導(dǎo)學(xué)過程閱讀教材第34頁至第37頁的局部，完成以下問題1、用配方法解以下方程〔1〕6x2-7x+1=0〔2〕4x2-3x=52總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟：2、如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？問題：ax2+bx+c=0〔a≠0〕試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1=x2=分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．解：移項(xiàng)，得：，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三種情況：b2-4ac＞0，那么＞0直接開平方，得：即x=∴x1=，x2=b2-4ac=0，那么=0此時(shí)方程的根為即一元二次程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有兩個(gè)的實(shí)根。b2-4ac＜0，那么＜0，此時(shí)〔x+〕2＜0，而x取任何實(shí)數(shù)都不能使〔x+〕2＜0，因此方程實(shí)數(shù)根。由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：〔1〕解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根，當(dāng)b2-4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根。〔2〕x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式．〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．〔4〕由求根公式可知，一元二次方程最多有實(shí)數(shù)根，也可能有實(shí)根或者實(shí)根?！?〕一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判別式，通常用希臘字Δ表示它，即Δ=b2-4ac用公式法解以下方程．〔1〕2x2-4x-1=0〔2〕5x+2=3x2〔3〕〔x-2〕〔3x-5〕=0〔4〕4x2-3x+1=0【課堂活動(dòng)】活動(dòng)1、預(yù)習(xí)反應(yīng)活動(dòng)2、例習(xí)題分析例2、用公式法解以下方程．x2-4x-7=0〔2〕2x2-x+1=0〔3〕5x2-3x=x+1〔4〕x2+17=8x練習(xí)：1、在什么情況下，一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？2、寫出一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，b2-4ac≥0〕的求根公式。3、方程x2-4x+4=0的根的情況是〔〕A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C有一個(gè)實(shí)數(shù)根D沒有實(shí)數(shù)根4、用公式法解以下方程．〔1〕2x2-4x-1=0〔2〕5x+2=3x2〔3〕〔x-2〕〔3x-5〕=0〔4〕4x2-3x+1=0〔5〕x2+x-6=0〔6〕x2-x-=0〔7〕3x2-6x-2=0〔8〕4x2-6=0〔9〕x2+4x+8=4x+11(10)x〔2x-4〕=5-8x【課堂練習(xí)】：活動(dòng)3、知識(shí)運(yùn)用1、利用判別式判定以下方程的根的情況：〔1〕2x2-3x-=0〔2〕16x2-24x+9=0〔3〕x2-x+9=0〔4〕3x2+10x=2x2+8x2、用公式法解以下方程．〔1〕x2+x-12=0〔2〕x2-x-=0〔3〕x2+4x+8=2x+11〔4〕x〔x-4〕=2-8x〔5〕x2+2x=0(6)x2+x+10=0歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：〔1〕求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；〔2〕公式法的概念；〔3〕應(yīng)用公式法解一元二次方程；〔4〕初步了解一元二次方程根的情況．【課后穩(wěn)固】一、選擇題1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到〔〕．A．x=B．x=C．x=D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是〔〕．A.x1=，x2=B.x1=6，x2=C.x1=2，x2=D.x1=x2=-3．〔m2-n2〕〔m2-n2-2〕-8=0，那么m2-n2的值是〔〕．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2二、填空題1．一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式是________，條件是________．2．當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4．3．假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，那么m的值是_____．三、綜合提高題1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的兩根，〔1〕試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；〔2〕求代數(shù)式a〔x13+x23〕+b〔x12+x22〕+c〔x1+x2〕的值．3、某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程〔m+1〕+〔m-2〕x-1=0提出了以下問題．〔1〕假設(shè)使方程為一元二次方程，m是否存在？假設(shè)存在，求出m并解此方程．〔2〕假設(shè)使方程為一元二次方程m是否存在？假設(shè)存在，請(qǐng)求出．你能解決這個(gè)問題嗎？學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．會(huì)用因式分解法〔提公因式法、公式法〕法解某些簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2．能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用分解因式法解一元二次方程難點(diǎn)：靈活應(yīng)用各種分解因式的方法解一元二次方程.【課前預(yù)習(xí)】閱讀教材P38—40,完成課前預(yù)習(xí)1：知識(shí)準(zhǔn)備將以下各題因式分解am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=因式分解的方法：解以下方程．〔1〕2x2+x=0〔用配方法〕〔2〕3x2+6x=0〔用公式法〕2：探究仔細(xì)觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？3、歸納：〔1〕對(duì)于一元二次方程，先因式分解使方程化為_________________的形式，再使_________________________，從而實(shí)現(xiàn)_________________，這種解法叫做__________________。〔2〕如果，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。如：如果，那么或_______，即或________。練習(xí)1、說出以下方程的根：〔1〕〔2〕練習(xí)2、用因式分解法解以下方程：(1)x2-4x=0(2)4x2-49=0(3)5x2-20x+20=0【課堂活動(dòng)】活動(dòng)1：預(yù)習(xí)反應(yīng)活動(dòng)2：典型例題用因式分解法解以下方程(1)(2)〔3〕(4)用因式分解法解以下方程〔1〕4x2-144=0〔2〕(2x-1)2=(3-x)2〔3〕〔4〕3x2-12x=-12活動(dòng)3：隨堂訓(xùn)練用因式分解法解以下方程〔1〕x2+x=0〔2〕x2-2x=0〔3〕3x2-6x=-3〔4〕4x2-121=0〔5〕3x(2x+1)=4x+2〔6〕(x-4)2=(5-2x)22、把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求小圓形場(chǎng)地的半徑?；顒?dòng)4：課堂小結(jié)因式分解法解一元二次方程的一般步驟將方程右邊化為將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的令每個(gè)因式分別為，得兩個(gè)一元一次方程解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解【課后穩(wěn)固】1．方程的根是2．方程的根是________________3．方程2x〔x-2〕=3〔x-2〕的解是_________4．方程〔x-1〕〔x-2〕=0的兩根為x1、x2，且x1>x2，那么x1-2x2的值等于___5．假設(shè)〔2x+3y〕2+4〔2x+3y〕+4=0，那么2x+3y的值為_________．6．y=x2-6x+9，當(dāng)x=______時(shí)，y的值為0；當(dāng)x=_____時(shí)，y的值等于9．7．方程x〔x+1〕〔x-2〕=0的根是〔〕A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，28．假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程的根分別為-5，7，那么該方程可以為〔〕A．〔x+5〕〔x-7〕=0B．〔x-5〕〔x+7〕=0C．〔x+5〕〔x+7〕=0D．〔x-5〕〔x-7〕=09．方程〔x+4〕〔x-5〕=1的根為〔〕A．x=-4B．x=5C．x1=-4，x2=5D．以上結(jié)論都不對(duì)10、用因式分解法解以下方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)3x(x-1)=2(x-1)(8)x2+x〔x-5〕=0學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解并掌握用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一