2023-2024學(xué)年四川省巴中市高三年級(jí)上冊(cè)“零診”考試數(shù)學(xué)試題（理科）（附答案）

o

20232024學(xué)年四川省巴中市高三上冊(cè)“零診”考試數(shù)學(xué)試題（理科）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置.

2.答選擇題時(shí)請(qǐng)使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題答題時(shí)必須用

0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)定的答題區(qū)域以外答題無(wú)效,

在試題卷上答題無(wú)效.

O

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

而

抑

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（T/），則z5+z=（）

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

2.已知集合—{小+2叫］邛/<9},則/得（）

O

{r|0<x<3}{x|0<x<3}

/A.?D?

C{x|-2<x<3}D{x|-2<xW3}

S-9=2ji

教3.已知等差數(shù)列{°」的前〃項(xiàng)和為”7一2,則數(shù)列如〃）的公差為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知向量'=（l/），=（xT）,則“x=-l”是“（a+小人，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

OC.充要條件D.非充分非必要條件

X22一

~~y=1

5.雙曲線(xiàn)4的兩條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x=2圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組

是（）

x-2y>0x-2y>0

K

<x+2y<0<x+2y>0

0<x<2口0<x<2

A.JD.L

O

01/29

2x-y>02x-y<0

2x+y>02x+y>0

0<x<20<x<2

c.D.

6.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為（）

口（5+省〉

A.7兀B.8兀C.9兀

7.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)以“綠色、智慧、活力、共享”為理念，向全世界送出來(lái)自

中國(guó)的美好祝愿.某高校田徑組擬從甲、乙兩名女同學(xué)中選一人參加本屆大運(yùn)會(huì)，已知甲、

乙兩名同學(xué)近五次800米訓(xùn)練成績(jī)（單位：秒）如下面的莖葉圖所示.根據(jù)兩人訓(xùn)練成績(jī)的

平均值及方差，現(xiàn)有下列4種推薦意見(jiàn).

甲乙

8119

4712565

10130

①甲成績(jī)的平均值低于乙成績(jī)的平均值，推薦甲參加大運(yùn)會(huì).

②甲成績(jī)的平均值高于乙成績(jī)的平均值，推薦乙參加大運(yùn)會(huì).

③甲成績(jī)的方差大于乙成績(jī)的方差，推薦乙參加大運(yùn)會(huì).

④甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差，推薦甲參加大運(yùn)會(huì).

其中合理推薦意見(jiàn)的編號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

571

/(x)=2sin+(p\^y>0,|^|<—12

8.已知函數(shù)I2的部分圖象如下圖所示，則

02/29

A.&B."C.1D.-1

2

、2y3

9.已知雙曲線(xiàn)c：/一記的左、右焦點(diǎn)分別為耳外，過(guò)耳斜率為a的直線(xiàn)與

c的右支交于點(diǎn)尸，若線(xiàn)段尸片恰被）軸平分，則C的離心率為（）

I2V3

A.2B.3C.2D.3

10.已知正數(shù)滿(mǎn)足eo+a=b+lnb=2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正確的

是（）

A.b/=金B(yǎng).a+b=2

C.e"+lna=2D.e"+Inb=2

12

-------------1-------------

11.己知x>V>°且4x+3y=l,則2x-y的最小值為（）

A.10B.9C.8D.7

12.已知/（x）=ei+ei+2x2-4x,則不等式/口+》/⑴的解集為（）

C[-0°'￡|U（1'+GO）D（—C°'T）u[g'+00]

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知（1+"）2（1+X），的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為6,則"=.

14.拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后得到的光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

軸；反之，平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的入射光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).已知拋物線(xiàn)

03/29

V=4x的焦點(diǎn)為尸，一條平行于x軸的光線(xiàn)從點(diǎn)“（5,4）射出，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)8反射后，

再經(jīng)拋物線(xiàn)上的另一點(diǎn)C射出，則忸0卜.

15.己知數(shù)列伯”｝的前〃項(xiàng)和為"，S"=2a“-1,則?！?.

16.在三棱錐尸一N3C中，AB=PC=2V3,BC=PA=2,AP1PC,AB±BC,E,F,Gt

H，M,N分別為棱AB,PC,AC,PB,BC,P4的中點(diǎn).現(xiàn)有以下4個(gè)結(jié)論：

①三棱錐PTBC的外接球表面積為167t；

（2）EFLMN.

③平面EMFN；

④當(dāng)尸2=20時(shí)，平面平面P3C.

則其中正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17—21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.中央電視臺(tái)“國(guó)家品牌計(jì)劃”欄目組為了做好新能源汽車(chē)的品牌推介，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)對(duì)年

齡（單位：歲）在［2°，6。］內(nèi)的人群進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出600人，把這

600人分為對(duì)新能源汽車(chē)比較關(guān)注和不太關(guān)注兩類(lèi)，制成如下表格：

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人數(shù)4012016080

男性

比較關(guān)注人數(shù)87211248

人數(shù)107010020

女性

比較關(guān)注人數(shù)5498016

（1）完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別

與對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注有關(guān)；

比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)

04/29

男性

女性

總計(jì)

(2)為了進(jìn)一步了解不同性別的消費(fèi)者對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注情況，采用分層抽樣的方法從這

600人中選出6人進(jìn)行訪(fǎng)談，最后從這6人中隨機(jī)選出3人參與電視直播節(jié)目，記其中男性

的人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

K?_n(ad-be)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)0+d),其中”=a+6+c+".

P(K2>Q0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

18.在中，角4B，C的對(duì)邊分別為a,Cc,已知4a=36,2=2/.

⑴求cosB；

⑵若。=9,求的面積.

19.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面N2CD,

AD//BC,AB1AD,PA=AD=4,AB=BC=2,E,F分別為CD,P/的中點(diǎn)

p

(1)證明：瓦■〃平面尸3C；

(2)求二面角尸一°-尸的余弦值.

0：=+4=1(。>6>0),4

20.已知橢圓a6的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)〔2J在橢圓C上，且

—?——>3

1幻4.

⑴求橢圓°的方程；

05/29

（2）設(shè)橢圓c的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸斜率不為o的直線(xiàn)/交橢圓c于尸，°兩點(diǎn)，記直線(xiàn)"尸與

直線(xiàn)版的斜率分別為勺芯，當(dāng)左+左2=o時(shí)，求AMPQ的面積.

/（x）=x--^--（l+tz）ln（x+l）

21.己知x+1

（1）討論函數(shù),（X）的單調(diào)性；

⑵設(shè)"x）一—+1,若函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）

22.在直角坐標(biāo)系xQv中，圓°的圓心為點(diǎn)（22）,且半徑長(zhǎng)為2,直線(xiàn)/的參數(shù)方程為

fx=tcosa

〔y=/sina（'為參數(shù)，0<?<7i）,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系.

（1）求圓c的極坐標(biāo)方程；

⑵已知直線(xiàn)/與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且|O"『+|ON「=16,求a.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知/3=2卜+2|-|同.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/（"）>2的解集；

⑵若對(duì)任意xe（T』），不等式，（x）>x+l恒成立，求。的取值范圍.

06/29

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可得

答案.

【詳解】由題意知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(T/)，故z=-l+i,

所以總+z=(T+i)(-l-i)+(-l+i)=2+(-l+i)=l+i,

故選：A

2.C

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合4B,再利用交集的定義求解作答.

【詳解】解不等式/<9,得-3<x<3,即8={x1-3<x<3},而集合/={x|x2-2},

所以"c8={x|-2Wx<3}.

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件，列式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{""}的公差為d,

3x2

S3—3%~\------d—34+3",S2=2%+d

則2,

邑_邑=2—=2

故由32~可得萬(wàn)一,即"=4,

故選：D

4.A

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出9+"),'對(duì)應(yīng)的X的值，再根據(jù)充分必要條件

的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)％=T時(shí)，"=(1/)，"=(T，T),則5+3=(。,。)，

所以("33(-1)+。*(-1)=。，故有(+

當(dāng)@+)3時(shí),因?yàn)閕+B=(i+x,o),

所以G+3=(l+"+Ox(-1)=。，即8=。，解得x=0或—1,

故“X=-1"是"("+不.”的充分不必要條件.

01/29

故選：A

5.B

【分析】求出漸近線(xiàn)方程，再同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出三條直線(xiàn)，得到表示三角形區(qū)域的不等式組.

-2?

—y=]

【詳解】4■的漸近線(xiàn)方程為x-2了=°和x+2y=°,

畫(huà)出x=2,x_2y=0和x+2y=0,如下：

x-2y>0

<x+2y>0

故表示三角形區(qū)域的不等式組為10'X'2

故選：B

6.A

【分析】根據(jù)給定的三視圖還原幾何體，再按圓錐及圓柱表面積公式計(jì)算求解.

【詳解】由給定的三視圖知，這個(gè)幾何體是底面直徑為2,高為2的圓柱，上接一個(gè)底面直

徑為2,

高為6的圓錐構(gòu)成的組合體，如圖,

則有圓錐的母線(xiàn)為‘『+。3-=2,圓錐的側(cè)面積兀*1x2=2兀，圓柱的側(cè)面積

S2=2兀x1x2=4兀

圓柱下底面圓面積$3=兀1=",

這個(gè)幾何體的表面是圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面、圓柱的下底面組成，

02/29

所以這個(gè)幾何體的表面積為S=E+5+邑=7上

故選：A

7.C

【分析】由莖葉圖分別求出甲乙成績(jī)的平均值和方差，比較后得到結(jié)論，求出答案.

118+124+127+130+131?

---------------------------------=126

【詳解】對(duì)于①②，甲的成績(jī)平均值為5,

119+125+126+125+130

----------------------------------=125

乙的成績(jī)平均值為5,

甲的成績(jī)的平均值大于乙的成績(jī)的平均值，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)，①錯(cuò)誤，②正確；

對(duì)于③④，甲的成績(jī)的方差為

(118-126)2+(124-126)2+(127-126)2+(130-126)2+(131-126)2

5",

(119-125)2+(125-125)2+(126-125)2+(125-125)2+(130-125)2

乙的成績(jī)的方差為5",

因?yàn)?2.4<22,所以甲成績(jī)的方差大于乙成績(jī)的方差，推薦乙參加大運(yùn)會(huì)，③正確，④錯(cuò)誤.

故選：C

8.B

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)的圖象，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得/=2,。=2,在結(jié)合題意和

=2(p=-

，求得6,即可求解.

3T_117T71_3K

【詳解】由函數(shù)/(X)的圖象，可得/=2,又由4_126-4,可得？=無(wú)，所以

2兀_

①=——=2

T.

7TJT

sin(2x—+0)=sin(—+0)=1

所以/(x)=2sin(2x+0,因?yàn)椋?3

故選：B

9.C

03/29

【分析】設(shè)必交y軸與/,可推出/°〃至，從而刊辦人內(nèi)，結(jié)合出的斜率，設(shè)

1%1=3/可推出見(jiàn)，之間的關(guān)系，即可求得答案.

【詳解】如圖，設(shè)尸片交y軸與4N為尸片的中點(diǎn)，

因?yàn)?。?用的中點(diǎn)，故/°為△尸￡鳥(niǎo)的中位線(xiàn)，

則A?！ㄊB(niǎo)，而月片，則尸耳，片片，

33

因?yàn)橹本€(xiàn)尸片的斜率為W,故Rt^PF?片中，tan/期/-a,

故設(shè)10“六方，則■尸片|=5f,

結(jié)合雙曲線(xiàn)定義以及P在雙曲線(xiàn)右支上，即有"二2%|尸片|-1尸月|=2。=2%,

2o〃=c,...e=—c=2

貝Ua,

故選：C

10.C

【分析】構(gòu)造/（x）=x+lnx,由函數(shù)單調(diào)性得到e"=6,通過(guò)變換可得到ABD正確，C錯(cuò)

誤.

【詳解】由題意得e“+lne〃=8+lnZ）=2,

令"x）=x+lnx,》＞0,則‘a(chǎn)""了。恒成立，

所以/&）=》+為了在（0,+s）上單調(diào)遞增，

故e"=b,

所以e"+a=6+a=2,g正確,

加'=口小=町』2,A正確，

e"+lnb=b+lnb=2,D正確,

04/29

/(s/2)=V2+lnV2=V2+-ln2<V2+-<2

C選項(xiàng),22

9|=V3+lnV3=V3+1ln3>V3+1>2

又/(x)=x+Inx在(0,+e)上單調(diào)遞增，［0)=2,

"<6<5所以"2,(2一百,2一行)

故e"+lna>e。+山&一百)二e?一InQ+VJ)

心二1H(x+5)(x-1)

設(shè)g()一n-4-2,xe(0,+oo).

(2、+4)(4X+2)—4(x+5)(l)-4.-3/+3x-1)_—4(1)3

(4x+2)2X(4X+2)2x(4x+2)2

則

當(dāng)0<x<1時(shí)，g〈x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在0,+8)上單調(diào)遞減,

x*,當(dāng)且僅當(dāng)Z時(shí),等號(hào)成立,

又g(l)=o,故g(x)4。，即

in2<(2+5)x(2-l)=2

故4x2+210,

V2>1.414>2x—>21n2

21n2

則10，所以e^>e=4,

又2+6<4<e2,故e"+lna>e—n(2+6)>4-2=2,?錯(cuò)誤.

故選：C

l/Jl

常見(jiàn)的不等式放縮有ex,e=x+1,lnxWx-l(x>0),n~~~

11(x+5)(x-l)

lnx<--------------

1+XXX4%+2等，常用來(lái)比較大小.

11.B

［分析］令Q=2x_y,6=x+2y,結(jié)合4x+3y=l可得4+26=1,由此即得

1212

-----1------=(—+—)(Q+26)

2x-yx+2yab,展開(kāi)后利用基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意%>歹>°得，2x-y>0,x+2y〉0,

^a=2x-y,b=x+2y貝?a+2b=4x+3歹

05/29

由4x+3y=1得Q+2b=1,

12A2、/A,、_2b2a

-------------1-------------=(—+—)(a+2b)=5H-----H-----

故2x—yx+2yabab'

———ci—b——

當(dāng)且僅當(dāng)。b,結(jié)合a+26=l,即3時(shí)取等號(hào),

c1cl11

2x-y=—,x+2y=—x=—,y=—

也即33,即515時(shí)，等號(hào)成立，

12

-------------1-------------

故2x-yx+2y的最小值為9,

故選：B

12.D

r?八*gg(x)=/(2x+l)=e"+e-2*+8尤2-2,,--/(2x+l)>f

【分析】記5''J'',從而s''J」'/化為

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=e*i+ej+2x2-4x,所以“2x+l)=e?*+e"+8--2,

g(x)=/(2x+1)=e2x+e~2x+8x2-2

i匚,

,2%2%

g(x)=2e-2e-+16x)

因?yàn)?gt;=262，/=_2片2，〃=16工在區(qū)上為增函數(shù)，

則g'(x)=2e2v-+16x在R上為增函數(shù)，

x=0時(shí)，g'(x)=°,x<0時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)gG)單調(diào)遞減；

x>0時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)且U)單調(diào)遞增；

又因?yàn)間(-x)=e-2'+e2T+8X2-2=g(x)且定義域?yàn)镽,所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

則不等式/(2x+l)>“x)等價(jià)于g(x)>g[2)等價(jià)于gM>g]21

IIX—12(X—1)1

\x\>-----X>-----x>一

所以2,所以I2J,化簡(jiǎn)得獷+2、—1〉0,解得x<-l或3,

06/29

即不等式/(2"+1)>/。)的解集為(叫1)七，+4.

故選：D

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及解不等式問(wèn)題，往往將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)

單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.1

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可確定(1+辦)2(1+幻4的展開(kāi)式中x的系數(shù)，可得方程，

即可求得答案.

［詳解］由題意得(1+0無(wú))2(1+X)，=(1+2G+a2x2)(1+X)\

而(l+x)4的通項(xiàng)公式為C*,(r=0,l,2,3,4),

故0+ax)?。+的展開(kāi)式中,x的系數(shù)為C；+2axC：=6,

解得。=1,

故1

25

14.4

【分析】由題意求出8點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，求得點(diǎn)C坐標(biāo),

即可求得答案.

【詳解】如圖，由題意可知/8〃x軸，'6,4),

將歹=4代入/=4x中得片4,即2(4,4),

\//

4-044

又尸(1,0),則L一口一故3c的方程為‘一§°T),聯(lián)立V=4x,

1

x=一

可得4%92—17%+4=0,解得4,或x=4(此時(shí)。與5關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，不合題意)，

07/29

C(1-1)\BC\=J(4-l)2+(4+l)2=當(dāng)

則4,故V44,

25

故答案為.彳

15.2"一

【詳解】分析：由5“=2%-1,當(dāng)〃=1時(shí)6=1,當(dāng)"1時(shí)，邑+1=2。”+「1相減可得

詳解：當(dāng)〃=1時(shí)％=1,

當(dāng)〃>1時(shí)由=2an-1可得S+i=2an+1-1

二式相減可得：%+i=2。用-2見(jiàn)

又,「％=1

二.%=2〃T

點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列遞推式，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)看到S",則用

S“一S,T即可算出?！埃枰⒁庥懻摗?1的情況.

16.①③④.

【分析】利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理逐一判斷

即可.

【詳解】①：因?yàn)?3/3C,

所以/C=ylBC2+AB2=V4+12=4,

又因?yàn)镚是/C中點(diǎn),

GA=GC=GB=-AC=2

所以2

GA=GC=GP=-AC=2

同理由/「'PC和G是/C中點(diǎn)，可得2

因此G是三棱錐尸一43C的外接球的球心，半徑為2,

08/29

所以三棱錐尸一/8C的外接球表面積為4兀22=16兀,因此本結(jié)論正確;

z可,”NF//AC,NF=-AC

@：因?yàn)镹，尸分別是PD4PC的中點(diǎn)，所以2

一/°…巾EM//AC,EM=-AC

又因?yàn)橥吆臃謩e是848C的中點(diǎn)，所以2,

因此可得湎〃EM，N尸=9

所以四邊形NFEM是平行四邊形，

若EFLMN,此時(shí)平行四邊形防加以是菱形，則NE=NF,

NE=—PB

因?yàn)镹，E分別是尸4/8的中點(diǎn)，所以2,

因此尸B=/C,題中沒(méi)有給出P8的長(zhǎng)度，因此々,MN不一定成立，本結(jié)論不正確;

③：由①可知G8=GP,H是必的中點(diǎn)，所以G〃_LPB,

又因?yàn)橐驗(yàn)橐倚路謩e是尸C，8c的中點(diǎn)，所以FM//PB,

因此有G77LFN,

因?yàn)?8=PC,PA^BCBP=BP,

所以APB4%BPC,而”是尸5中點(diǎn)，

由全等三角形的性質(zhì)可知/〃=叱，

而G是/C中點(diǎn)，因此而及S///C,

所以有G8工EM,EMP|MF=M,EM,MFu平面EMFN,

所以平面EMFN,因此本結(jié)論正確；

④：當(dāng)尸3=20時(shí)，有PB?+CB2=PC2nPBLCB,

而4B上BC,PB^^4B=B,PB,4Bu平面p4B,

因此3C1平面P4B,而B(niǎo)Cu平面尸BC

所以平面尸平面尸3C,因此本結(jié)論正確，

故①③④

09/29

p

H

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于多次使用三角形中位線(xiàn)定理、球的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì).

17.(1)表格見(jiàn)解析，能；

(2)分布列見(jiàn)解析，2.

【分析】(1)根據(jù)給定的數(shù)表，完善列聯(lián)表，再求出K?的觀測(cè)值，并與臨界值表比對(duì)作答.

(2)求出抽取的6人中男女性人數(shù)，求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期

望作答.

【詳解】(1)由給定的數(shù)表知，男性總?cè)藬?shù)為400,其中比較關(guān)注的有240人，女性中比較

關(guān)注的有150人，列聯(lián)表如下：

比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)

男性240160400

女性15050200

總計(jì)390210600

^^600(240x50-160x150)：^1200>12>6635

則390x210x400x20091

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與對(duì)新能源汽車(chē)的關(guān)注有關(guān).

,2

6x—=4

(2)已知600人中男性與女性的比為2」，則所抽男性人數(shù)為3人,所抽女性人數(shù)為

6x-=2

3人，

尸(X=D=U^(I2,3)

依題意，X的可能值為1,2,3,,

1c2cxa03roi

因止尸"塞3PgA避——"A方^

10/29

所以X的分布列為:

1

18.（1）9

【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到4siM=6siiL4cos/,故3,求出cosB；

（2）法一：由。=9求出6=12,結(jié)合（1）中“SB9,由余弦定理得到c=7,結(jié)合（1）

..45

SIIL4-----

中所求得到3,利用三角形面積公式求出答案；

法二：由。=9求出6=12,結(jié)合（1）中所求得到siiL4,sinB,利用

,「_7右

sinC=sin（/+8）=siMcos8+co%sin^求出㈤聯(lián)一三，利用三角形面積公式求出答案;

,cosA=—

法三：由。=9求出6=12,結(jié)合（1）中3,由余弦定理得到。=7或9,排除。=9,

S1IL4=——

結(jié)合3,求出三角形面積.

【詳解】（1）由4。=36及正弦定理得：4sinA=3sinBf

由5=2/得：sin8=sin2/=2siib4cos4.

/.4siib4=6siiL4cos/,

由0<4<兀矢口sinA>0,

,2

/.cosA=—

3,

21

/.cosB=cos2Z=2cosA-l=——

9.

（2）法一：當(dāng)。=9時(shí)，代入4a=3b得：6=12,

cosB=

由（1）知9,

由余弦定理〃=a2+c2-2accosB得：144=81+c2+2c,

11/29

整理得：c?+2c-63=0,解得：c=7,

siih4=Jl-cos2Z=

由(1)知：93

SAABC=gbcsitU=；x7xl2xt=1475

法二：當(dāng)。=9時(shí)，代入4。=36得：6=12,

siib4=J1一COS2A=二二"

由⑴得：93

sinS=sin2/=2x@x2=WI

339

由Z+8+C=7i得。=兀一("+8),

/.sinC=sin(4+5)=siib4cos5+cos^sin5=

S,=-absinC=-x9xl2x—=1475

△AARBC2227

法三：當(dāng)。=9時(shí)，代入4a=3b得：'=12,

cos//

由(1)得：3,

由余弦定理/=b2+c2一ZbccoM得：81=144+c2-16c,

整理得：C2-16C+63=0,解得：c=9或c=7,

若c=9,則O8C為等腰三角形，此時(shí)/=C,

71.2

A——cosZ=—

由2=2/及內(nèi)角和定理得：4,與3矛盾，不合題意,

c=7,

■.S..=-bcsinA=-x7xl2x—=1445

△4RBC223

19.(1)證明見(jiàn)解析

272

⑵3

【分析】方法一方法二，先構(gòu)造并證明面面平行，繼而利用面面平行的性質(zhì)定理證明結(jié)論;

方法三，連結(jié)/￡延長(zhǎng)交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,連結(jié)尸N,證明友7〃小，根據(jù)線(xiàn)面平行的判

12/29

定即可證明結(jié)論；

方法四，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明結(jié)論.

（2）方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CDP和平面的法向量,

利用空間角的向量求法即可求得答案；

方法二，作出二面角尸一°一尸的平面角，解三角形即可求得答案.

【詳解】（1）證明：

方法一：綜合法——平行平面的性質(zhì)

取的中點(diǎn)"，連結(jié)”瓦兒不（如下圖）

P

由瓦尸分別為的中點(diǎn)及中位線(xiàn)定理得九加〃苑，“/PB,

BC,PBuPBC.FM,EM2平面尸8C,

：.ME〃平面〃平面P3C,

又平面瓦7M,

故平面〃及加平面尸BC,

,/EFcz平面EFM,

.?.跖〃平面依。；

方法二：綜合法——平行平面的性質(zhì)

取尸。的中點(diǎn)°,連結(jié)。旦。尸（如下圖）

13/29

由E，尸分別為CD,"的中點(diǎn)及中位線(xiàn)定理得SQEPC

PCU平面PBC,QE(Z平面PBC,

???QE〃平面PBC,

VAD//RC,QFAD,QF//BC

■：5。匚平面尸8。,。尸0：平面尸8(7,

，。F〃平面PBC,

又0En。尸=Q,QE,QFu平面EFQ,

平面跖?！ㄆ矫媸?C,

?.?￡尸u平面EF。，

:.EF〃平面尸BC.

方法三：綜合法——直線(xiàn)與平面平行的判定

連結(jié)NE延長(zhǎng)交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,連結(jié)PN,

AD||BC；即AD〃CN,又CE=ED,

AE=EN,

又AF=FP,：.EF〃PN,

■：PNu平面PBC,EF<Z平面尸BC,

.?.E尸〃平面P2C.

方法四：空間向量方法

PA1底面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

:.PA1AB,PA±AD,

又ABL4D,

故居,4),4尸兩兩垂直，

14/29

以N為原點(diǎn)，刀，血，刀分別為x/，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系/一孫Z,如下圖:

由尸Z==4,N8=BC=2知：

（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,4,0）,P（0,0,4）；石（1,3,0）,尸（0,0,2）,

BC=（0,2,0）,5?=（-2,0,4）,EF=（-1,3,2）

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為“=（再，必，zJ

v-BC=QJ2%=0

由［?麗=0得］-2占+43=0,取11得E=（2,0,1）,

v-EF=-lx2+3x0+2xl=0,EF（Z平面PBC,

，斯〃平面尸8C.

（2）方法一

由⑴方法四可得：/（0,0,0），°（2,2,0）,°（0,4,0）,尸（0,0,4）,尸（0,0,2）

CD=（-2,2,0）,DP=（0,-4,4）,而=（0,-4,2）

設(shè)平面8尸的一個(gè)法向量為加=（a/'C）,

m-CD=0j-2,a+2b=0

由［加麗=0,得j-46+4c=0,取0=1,得獲=（1，11），

設(shè)平面C。尸的一個(gè)法向量為5=GJ/）,

u-CD=0J—2x+2y=0

由①DF=0,得［-4y+2z=0,取》=］,得力=（1,1,2）,

/一八m-ulxl+lxl+lx22V2

/.cos（m.u）=-=；-----=------尸—產(chǎn)-------=--------

''|^||w|V3xV63

15/29

由幾何體的空間結(jié)構(gòu)知，二面角尸-8-尸為銳角,

2A/2

故二面角P-CD-F的余弦值為了.

方法二

連結(jié)/C,由/8_1/。,/。〃8。得：AB1BC,

AC=y]AB2+BC2=2A/2,NCAB=CAD=45°

在A/CZ)中，AD=4,由余弦定理得：CD=J/C'+AD?-2ADx/Cxcos45°=2后,

貝=16=/。2,.../c_La),

PA±底面4BCD,。u平面p/C,

PALCD,

...P/c/C=4尸4/Cu平面尸/c,

\CD人平面P/C.

又CF,CPu平面尸/C,:.CD1CF,CD1CP；

.?.乙FCP為二面角尸-CD_尸的平面角，

在直角三角形尸NC中，PC=\lAC2+AP2=V8+16=2瓜,

在直角三角形F/C中，F(xiàn)C=^AC2+AF-=26,

FC°+PC?-FP。12+24-4272

cosZFCP=

2x2百x2幾-

在三角形尸CP中,由余弦定理得:2xFCxPC"I

2拒

，二面角P-CD-F的余弦值為了

*+「一1

20.(1)43

16/29

975

⑵8

【分析】（1）利用點(diǎn)在橢圓上及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可；

（2）設(shè)直線(xiàn)聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，方法一：求出弦長(zhǎng)及三角形的高即可求出面積，方法二:

利用面積分割法求解面積即可.

【詳解】⑴由題意知4（一處°），卻3°）,

3

Q_1）（Q_］）+

4,解得。=2（負(fù)值舍去）,

3197

M\\,

由I在橢圓c上及口=2得彳+皿？一,解得/=3,

22

上+匕=1

，橢圓C的方程為43

右焦點(diǎn)為尸（1，°）,

（2）由（1）知,

據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)/的方程為“叩+1猴*°冊(cè)（孫+5）9（研+5）,

33

片」「2_21-36力一22%-3

2

則1myx2myxmy22my2,

2%—3?2%-3=0

于是由4+左2=0得2叼12町2,化簡(jiǎn)得4yly2=3（M+%）（*）

Ix=my+1,

由自2+4/_12=0消去工整理得（3病+4?2+6吵-9=0,

A=（6w）2+36（3機(jī)2+4）=144（m2+1）＞0

6m9

由根與系數(shù)的關(guān)系得：y'+）23m2+4，JlJ23/+4,

18m36

代入（*）式得：3加2+43療+4,解得必=2,

，直線(xiàn)/的方程為x-2y-l=0

29

,,A=144（2+1）=720,^+j；2

方法一：416

17/29

V5V72015

I聞=所百|(zhì)必為

由求根公式與弦長(zhǎng)公式得:16

1-2x「l

36

d=

J+(-2)25

設(shè)點(diǎn)”到直線(xiàn)’的距離為“，則

..S4MPQ沙。叫號(hào)哈竽

MPF+S2=；M1蚓+卜21)=+,21)

工-2〉-1=0代入3%2+4/-12=0消去歹得4/+2%-11=0,

A—2?—4x4x(-11)=180>0,Xp+XQ=—,XpXQ-.........<0

24.

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（斗%）（乙，%）;

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于X（或V）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+工2、再.（或%+%、y,y2）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

21.（1）答案見(jiàn)解析

⑵（ef+oo）

【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論研究函數(shù)的單調(diào)性；

（2）方法一：求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論研究單調(diào)性，利用函數(shù)8々）有兩個(gè)零點(diǎn)得函數(shù)最小值為

負(fù)數(shù)，解對(duì)數(shù)不等式即可；方法二：把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即x+lnO+GMa+lXx'T）有兩