數(shù)學競賽專題講座七年級第5講-計算-工具與算法的變遷(含答案)

第五講計算——工具與算法的變遷研究數(shù)學、學習數(shù)學總離不開計算，隨著時代的變遷，計算工具在不斷地改變，從中國古老的算盤、紙筆運算開展到利用計算器、計算機運算．初中代數(shù)中運算貫穿于始終，運算能力是運算技能與邏輯能力的結(jié)合，它表達在對算理算律的理解與使用，綜合運算的能力及選擇簡捷合理的運算路徑上，這要求我們要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，靈活選用算法和技巧，有理數(shù)的計算常用的方法與技巧有：1．巧用運算律；2．用字母代數(shù)；3．分解相約；4．裂項相消；5．利用公式；6．加強估算等．“當今科學活動可以分成理論、實驗和計算三大類，科學計算已經(jīng)與理論研究、科學實驗一起，成為第三種科學方法．——威爾遜注：威爾遜，著名計算物理學家，20世紀80年代諾貝爾獎獲得者．【例1】現(xiàn)有四個有理數(shù)3，4，，l0，將這4個數(shù)(每個數(shù)用且只用一次)進行加、減、乘、除四那么運算，使其結(jié)果等于24，其三種本質(zhì)不同的運算式有：(1)；(2)；(3)．(浙江省杭州市中考題)思路點撥從24最簡單的不同表達式人手，逆推，拼湊．鏈接：今天，計算機泛應(yīng)用于社會生活各個方面，計算機技術(shù)在數(shù)學上的應(yīng)用，不但使許多繁難計算變得簡單程序化，而且還日益改變著我們的觀念與思維．著名的計算機專家沃斯說過：“程序=算法十數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”．有理數(shù)的計算與算術(shù)的計算有很大的不同，主要表達在：(1)有理數(shù)的計算每一步要確定符號；〔2〕有理數(shù)計算常常是符號演算；(3)運算的觀念得以改變，如兩個有理數(shù)相加，其和不一定大于任一加數(shù)；兩個有理數(shù)相減，其差不一定小于被減數(shù)．程序框圖是一種用規(guī)定、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形，能清晰地展現(xiàn)算法的邏輯結(jié)構(gòu)，常見的邏輯結(jié)構(gòu)有：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．【例2】如果4個不同的正整數(shù)滿足，那么，等于()．A．10B．2lC．24D．26E．28(新加坡數(shù)學競賽題)思路點撥解題的關(guān)鍵是把4表示成4個不同整數(shù)的形式．【例3】計算：(1)；(“祖沖之杯”邀請賽試題)(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市競賽題)(3)5+52+53+…十52002．思路點撥對于(1)，首先計算每個分母值，那么易掩蓋問題的實質(zhì)，不妨先從考察一般情形人手；(2)式使人易聯(lián)想到平方差公式，對于(3)，由于相鄰的后一項與前一項的比都是5，可從用字母表示和式著手．鏈接：裂項常用到以下關(guān)系式：〔1〕；〔2〕；〔3〕．運用某些公式，能使計算獲得巧解，常用的公式有：〔1〕；〔2〕．錯位相減、倒序相加也是計算中常用的技巧．【例4】(1)假設(shè)按奇偶分類，那么22004+32004+72004+92004是數(shù)；(2)設(shè)，，，那么的大小關(guān)系是(用“>”號連接)；(3)求證：32002+42002是5的倍數(shù)．思路點撥乘方運算是一種特殊的乘法運算，解與乘方運算相關(guān)問題常用到以下知識：①乘方意義；②乘方法那么；③；④與的奇偶性相同；⑤在中(，r為非負整數(shù)，，0≤r<4)，當r=0時，的個位數(shù)字與n4的個位數(shù)字相同；當時，?的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同．【例5】有人編了一個程序：從1開始，交替地做加法或乘法〔第一次可以是加法，也可以是乘法〕，每次加法，將上次運算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次運算結(jié)果乘2或乘3，例如，30可以這樣得到：〔1〕證明：可以得到22；〔2〕證明；可以得到．思路點撥〔1〕試值可以得到22，從計算中觀察得數(shù)的規(guī)律性，為〔2〕做準備；〔2〕連續(xù)地運用同一種運算以獲得高次，在進行適當?shù)淖儞Q可以求解．【例6】〔1〕、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，且，那么的值為__________．(第19屆江蘇省競賽題)〔2〕，那么小于的最大整數(shù)是______．〔第11屆“華杯賽“試題〕思路點撥對于〔1〕從倒數(shù)、相反數(shù)的概念入手；〔2〕通過對數(shù)式的分組，估算的值的范圍．【例7】按下面的程序計算，假設(shè)開始輸入的值為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，那么滿足條件的的不同值最多有〔〕．A．2個B．3個C．4個D．5個〔義烏市中考題〕思路點撥看懂程序圖，循環(huán)運算是解此題的關(guān)鍵．【例8】如下圖是一的幻方，當空格填上適當?shù)臄?shù)后，每行、每列及對角線上的和都是相等的，求的值．〔兩岸四地少年數(shù)學邀請賽試題〕思路點撥為充分利用條件，需增設(shè)字母，運用關(guān)系式求出的值．K=231

121右邊的數(shù)為X

那么右上角=110+X

121的對角線和K的列相等去掉中心項121+110+X=K+X

所以K=231根底訓練一、根底夯實1.(1)計算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)假設(shè)a=-,b=-,c=-,那么a、b、c的大小關(guān)系是___________(用“〈”號連接〉.2.計算:(1)0.7×1+2×(-15)+0.7×+×(-15)=________;(第15屆江蘇省競賽題)(2)-=________.(第12屆“希望杯”邀請賽試題)(3)++…+=________;(天津市競賽題)(4)(13.672×125+136.72××1.875)÷17.09=________.(第14屆“五羊杯”競賽題)3.在下式的每個方框內(nèi)各填入一個四那么運算符號(不再添加括號),使得等式成立:6□3□2□12=24.(第17屆江蘇省競賽題)4.1999加上它的得到一個數(shù),再加上所得的數(shù)的又得到一個數(shù),再加上這次得數(shù)的又得到一個數(shù),……,依此類推,一直加到上一次得數(shù)的,那么最后得到的數(shù)是_________.5.根據(jù)圖所示的程序計算,假設(shè)輸入的x值為,那么輸出的結(jié)果為().A.B.C.D.(2002年北京市海淀區(qū)中考題)6.a=-,b=-,c=-,那么abc=().A.-1B.3C.-3D.1(第11屆“希望杯”邀請賽試題)7.如果有理數(shù)a、b、c滿足關(guān)系a<b<0<c,那么代數(shù)式的值().A.必為正數(shù)B.必為負數(shù)C.可正可負D.可能為08.將322、414、910、810由大到小的排序是().A.322、910、810、414B.322、910、414、810C.910、810、414、322D.322、414、910、810(美國猶他州競賽題)9.閱讀以下一段話,并解決后面的問題:觀察下面一列數(shù):1,2,4,8,…,我們發(fā)現(xiàn),這一列數(shù)從第2項起,每一項與它前一項的比都等于2.一般地,如果一列數(shù)從第二項起,每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù),這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.(1)等比數(shù)列5,-15,45,…的第4項是________;(2)如果一列數(shù)a1,a2,a3,a4,…是等比數(shù)列,且公比為q,那么根據(jù)上述的規(guī)定,有=q,=q,=q,…,所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=_______(用a1與q的代數(shù)式表示).(3)一個等比數(shù)列的第2項是10,第3項是20,求它的第1項與第4項.(2003年廣西省中考題)10.(1)a、b、c都不等于零,且+++的最大值是m,最小值為n,求的值.(2)求證:5353-3333是10的倍數(shù).二、能力拓展11.計算:(1)=_________.(第15屆“希望杯”邀請賽試題)(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;(3)=_______________.(4)98+998+9998+…+=_________.(2003年“信利杯”競賽題)12.(1)32001×72002×132003所得積的末位數(shù)字是________;(第17屆江蘇省競賽題)13.假設(shè)a、b、c、d是互不相等的整數(shù)(a<b<c<d),且abcd=121,那么ac+bd=________.14.你能比擬20012002與20022001的大小嗎?為了解決這個問題,我們先寫出它的一般形式,即比擬nn+1與(n+1)n的大小(n是自然數(shù)),然后,我們從分析n=1,n=2,n=3,……中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,經(jīng)歸納、猜測得出結(jié)論.(1)通過計算,比擬以下各組中兩數(shù)的大小(在空格中填寫“)”、“＝”、“〈”號〉.①12_____21;②23______32;③34______43;④45______54;⑤56_____65;……(2)從第(1)題的結(jié)果經(jīng)過歸納,可以猜測出nn+1和(n+1)n的大小關(guān)系是_______.(3)根據(jù)上面歸納猜測得到的一般結(jié)論,試比擬以下兩個數(shù)的大小20012002___20022001.(江蘇省常州市中考題)15.如果++=1,那么的值為().A.-1B.1C.±1D.不確定(2003河北省競賽題)16.如果ac<0,那么下面的不等式<0,ac2<0,a2c<0,c3a<0,ca3<0中必定成立的有().A.1個B.2個C.3個D.4個17.設(shè)S=+++…,T=+++…,那么S-T=().A.B.1-C.-1D.+1(第14屆“五羊杯”競賽題)18.10個互不相等的有理數(shù),每9個的和都是“分母為22的既約真分數(shù)(分子與分母無公約數(shù)的真分數(shù))”，那么這10個有理數(shù)的和為().A.B.C.D.(第11屆江蘇省競賽題)19.圖中顯示的填數(shù)“魔方”只填了一局部,將以下9個數(shù):,,1,2,4,8,16,32,64填入方格中,使得所有行、列及對角線上各數(shù)相乘的積相等,求x的值.(上海市競賽題)20.設(shè)三個互不相等的有理數(shù),既可分別表示為1,a+b,a的形式,又可分別表示為0,,b的形式,求a2002+b2001的值.三、綜合創(chuàng)新21.(1)三個2,不用運算符號,寫出盡可能大的數(shù);(2)三個4,不用運算符號,寫出盡可能大的數(shù).(3)用相同的3個數(shù)字(1～9),不用運算符號,寫出最大的數(shù).22.如圖,是一個計算裝置示意圖,J1、J2是數(shù)據(jù)輸入口,C是計算輸出口,計算過程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n,經(jīng)計算后得自然數(shù)K由C輸出,此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質(zhì):(1)假設(shè)J1、J=2分別輸入1，那么輸出結(jié)果為1;(2)假設(shè)J=1輸入任何固定的自然數(shù)不變,J2輸入自然數(shù)增大1,那么輸出結(jié)果比原來增大2;(3)假設(shè)J2輸入1,J1輸入自然數(shù)增大1,那么輸出結(jié)果為原來的2倍.試問:(1)假設(shè)J1輸入1,J2輸入自然數(shù)n,輸出結(jié)果為多少?(2)假設(shè)J2輸入1,J1輸入自然數(shù)m,輸出結(jié)果為多少?(3)假設(shè)J1輸入自然數(shù)m,J2輸入自然數(shù)n,輸出的結(jié)果為多少?(2002年揚州中學招生試題)答案：1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-3;(3);(4)48,注意13672=8×1709.3.略4.1999000提示:原式=1999×(1+)(1+)×…×(1+)5.C6.A7.B8.A9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3)a1=5,a4=40.10.(1)-16提示:=±1,m=4,n=-4;(2)5353與3333的個位數(shù)字相同.11.(1);(2)6提示:2n+1-2n=2n;(3);(4)12.(1)9;(2)11520013.-1214.(1)略;(2)當n<3時,nn+1<(n+1)n;當n≥3時,nn+1>(n+1)n;(3)>.15.A16.C17.B提示:18.A19.這9個數(shù)的積為××1×2×4×8×16×32×64=643,所以,每行、每列、每條對角線上三個數(shù)字積為64,得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f分別為,,2,4中的某個數(shù),推得x=8.20.2提示:這兩個三數(shù)組在適當?shù)捻樞蛳聦?yīng)相等,于是可以斷定,a+b與a中有一個為0,與b中有一個為1,再討論得a=-1,b=1.21.(1)222;(2)444=4256>444;(3)設(shè)所用數(shù)字為a,可得下面4種寫法:①當a=1時,111最大;②當a=2時,222最大;③當a=3時,333最大;④當a≥4時,a最大.22.由題意設(shè)輸出數(shù),設(shè)C(m,n)為k,那么C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,1)=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…=C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1(2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.提高訓練1．假設(shè)，那么=______．〔“希望杯”邀請賽試題〕2．符號“”表示一種運算，他對一些數(shù)的運算結(jié)果是：〔1〕，，，，…〔2〕，，，，…利用以上規(guī)律計算：______．〔貴陽市中考題〕3．等于〔〕．A．B．C．D．〔“希望杯”邀請賽試題〕4．的值為〔〕．A．B．C．D．(江蘇省競賽題)5．自然數(shù)滿足，那么等于〔