簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度

關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度§10-1諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simpleharmonicmotion,SHM）：一、諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式受力特點(diǎn)：線性回復(fù)力

動(dòng)力學(xué)特征

物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。第2頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天其解為令簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式第3頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天vm=A

稱為速度幅值

；am=

2A

稱為加速度幅值

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度：第4頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征方程

第5頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天由初始條件(x0，

v0)求解振幅和初相位：設(shè)t=0時(shí)，振動(dòng)位移：x=x0振動(dòng)速度：v=v0第6頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、描述諧振動(dòng)的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角頻率（或稱圓頻率）

：頻率(frequency)

:單位時(shí)間內(nèi)完成完全振動(dòng)的次數(shù)。

=1/TAxtOT第7頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天相位差：

=(

2

t+

20

)-(

1t+

10)對(duì)兩同頻率的諧振動(dòng)

=

20-

10初相差

當(dāng)

=

2k

，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相。初相位（initialphase）

：

0

（

t+

0

）——描述振動(dòng)狀態(tài)3.相位（phase）：

當(dāng)

=

(2k+1)

，

(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相。

若0<

20-

10<

，則x2比x1較早達(dá)到正最大，稱x2比x1超前

(或x1比x2落后)。第8頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1第9頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天速度相位比位移相位超前/2。加速度與位移反相位。第10頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

投影點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xP

旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)P的位移：O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)第11頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天周期：

旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅。

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度

即為振動(dòng)的角頻率。

旋轉(zhuǎn)矢量與

x軸的夾角(

t+

0

)，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位。

t=0時(shí)，與x軸的夾角

0即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。

旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次完全振動(dòng)xP

O第12頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天Oxva第13頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10-1

一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x

軸正向運(yùn)動(dòng)。求：(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解：(1)設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為由初始條件：第15頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式：(2)或第16頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)在某一時(shí)刻t1，x=-0.06m(3)且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。第17頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)t2時(shí)刻第一次回到平衡位置第18頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)1.單擺重物所受合外力矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律令(q很小時(shí))第19頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天振動(dòng)表達(dá)式為角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期T與角振幅的關(guān)系為

T0為很小時(shí)單擺的周期。當(dāng)q不是很小時(shí)：第20頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.復(fù)擺q很小時(shí)一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。第21頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10-2

一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。船靜止時(shí)浮力與重力平衡，

船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下的坐標(biāo)軸為y

軸，船的位移用y

表示。解：第22頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天船的位移為y

時(shí)船所受合力為船在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為第23頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、諧振動(dòng)的能量

勢(shì)能

機(jī)械能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒!以水平彈簧振子為例動(dòng)能第24頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天六、用能量法解諧振動(dòng)問(wèn)題以水平彈簧振子為例系統(tǒng)機(jī)械能守恒：第26頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天第27頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10-3

勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為

的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m(>)的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。解：彈簧、物體的動(dòng)能分別為當(dāng)物體處于位移x

速度為v時(shí)，彈簧元dl的質(zhì)量為位移為速度為第28頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，常量常量仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)第29頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天§10-2阻尼振動(dòng)

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動(dòng)，稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對(duì)在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)第30頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天阻尼振動(dòng)方程：引入阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為其中

和為積分常數(shù)，由初始條件決定。第31頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；——減幅振動(dòng)反映了阻尼對(duì)振幅的影響。阻尼振動(dòng)的周期：第32頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天阻尼振動(dòng)的三種情形：

欠阻尼

過(guò)阻尼

臨界阻尼第33頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天§10-3受迫振動(dòng)共振一、受迫振動(dòng)

物體在周期性外力（驅(qū)動(dòng)力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)（forcedvibration）。驅(qū)動(dòng)力：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)第34頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)阻尼較小,

＜

0時(shí),方程的解：暫態(tài)項(xiàng)穩(wěn)定項(xiàng)穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)：第35頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率。第36頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：

在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。第37頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、共振

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacementresonance）。第38頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天

受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。第39頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天§10-4電磁振蕩一、LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路

向左合上開(kāi)關(guān)，使電源給電容器充電，然后將開(kāi)關(guān)接通LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。第40頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天

電荷與電流（電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量）隨時(shí)間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，稱為(無(wú)阻尼)自由振蕩。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振蕩過(guò)程II第41頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)t

時(shí)刻電容器極板上電荷量為q，電路中電流為i，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡?，振蕩角頻率（無(wú)阻尼）自由振蕩的定量分析CLiQ0是電荷量振幅，

0是振蕩初相。第42頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天電荷和電流都做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，電流的振動(dòng)超前電荷

/2。第43頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天電場(chǎng)能量為磁場(chǎng)能量為電磁場(chǎng)總能量守恒第44頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、受迫振蕩電共振

LRC

電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。對(duì)受迫振蕩：電動(dòng)勢(shì)：穩(wěn)態(tài)解：第45頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中

當(dāng)電路滿足

時(shí)，電流振幅最大，稱為電共振。電流振幅最大值為即第46頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、力電類比機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度v質(zhì)量m勁度系數(shù)k阻力系數(shù)

驅(qū)動(dòng)力F彈性勢(shì)能kx2/2動(dòng)能mv2/2電荷q電流

i電感L電容的倒數(shù)1/C電阻R電動(dòng)勢(shì)

電場(chǎng)能量q2/2C磁場(chǎng)能量Li2/2第47頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天§10-5一維諧振動(dòng)的合成一、同一直線上兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的合成

某一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的、同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)位移分別為合振動(dòng)：

合振動(dòng)仍為同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（由振動(dòng)的疊加原理）第48頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天合振動(dòng)：（1）若則（2）若則第49頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天求合振動(dòng)。例10-3解：第50頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天討論第51頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、同一直線上兩個(gè)不同頻率諧振動(dòng)的合成拍

設(shè)同方向、角頻率分別為和的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)（>），它們所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為和

相對(duì)于的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：第52頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天振幅：隨時(shí)間緩慢變化拍：合振動(dòng)的振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象(|

2-

1|<<

2,

1時(shí))拍的周期：拍的頻率：諧振因子：第53頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天第54頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天§10-6二維諧振動(dòng)的合成

兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,其振動(dòng)軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。

同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成消去t

，得第55頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天yx討論幾種特殊情形：1.質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng)s第56頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天yx質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng)合振動(dòng)的振幅：第57頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天yx質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為右旋正橢圓。特別當(dāng)A1=A2時(shí)，合成為右旋圓軌跡。2.y方向振動(dòng)超前于x方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為左旋正橢圓。第58頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)在不同相位差時(shí)的合成第59頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天

不同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2.當(dāng)兩振動(dòng)頻率恰成整數(shù)比時(shí)，得封閉穩(wěn)定軌道，稱為李薩如(Lissajous)圖。

看成，但相位差緩慢變化。合運(yùn)動(dòng)軌跡將按不同相位差的合成圖形依次緩慢變化。第60頁(yè),共67頁(yè)，2024年2月25日，星期天ωx:ωy李薩如圖