2023-2024學(xué)年安徽省阜陽市高二年級上冊1月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年安徽省阜陽市高二上冊1月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.過點4-2,2)和點8(4,-1)的直線在了上的截距為()

A.1B.2C.-1D.-2

【正確答案】A

【分析】求出直線Z8的方程，解出直線在)上的截距

【詳解】過點4-2,2)和點8(4,7)的直線方程為二=-1二即y=-Lx+\,

x-4-2-42

故直線在V上的截距為1,

故選：A

2.在等差數(shù)列｛4,｝中，若4=6,%=1，則％=()

A.8B.9C.10D.11

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式列方程組即可求得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為&。4=。|+34=6,。9=%+&/=1,解得.卬=9

故選：B

3.拋物線y=2pf的焦點坐標(0,5)，則P=()

A.-B.-C.1D.2

42

【正確答案】D

【分析】由拋物線的標準方程求焦點坐標，可解得答案.

【詳解】歹=2px?.二/=二乂.,.「=%■,解得：p=2.

2p8P16

故選：D

4.已知/(%)=tanx,則/(令=()

14

A.-BC3D.4

4-1

【正確答案】C

【分析】由題意可知，/(x)=tanx=—,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算即可求出/'(x),代入數(shù)

COSX

值即可求得結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=tanx,所以/口)=他!!4=(嗎，=四立要上=—!一，所以

cosxcosXcosX

故選：C.

5.《萊因德紙草書》(RhindPapyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的

題目：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數(shù)成等差數(shù)列，則最大一份與最小一份

和為()

A.30B.35C.40D.60

【正確答案】C

【分析】設(shè)5人所得面包個數(shù)依次為％,出外，4嗎，由等差數(shù)列的前〃項和公式可得6+%?

【詳解】設(shè)5人所得面包個數(shù)依次為％，生,4,4,《，它們成等差數(shù)列，由題意

5(0+/)

at+a2+a}+a4+as=-------—=100,%+牝=40,

故選：C.

1_1_Y

6.函數(shù)的增區(qū)間是()

1-x

A.s一￥),(*,+wB.(-￥，*)

C.(—72,1),(l,+oo)D.,(-^,1),(l,+oo)

【正確答案】D

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，注意原函數(shù)的定義域.

【詳解】由題意可知：函數(shù)/(》)=手?"4,的定義域為{x|xwl},

1—X

______-(4x+3)(l-x)e*+(l+x)e-2(2f-1”以

*/W=W=(J.，

令八x)>0,則J"一7°,解得x>@或x<-變，且x",

1-xwO22

二函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(-co,-與)吟,D，(l,+功,

故選：D.

7.乒乓球(TableTennis),被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育比賽項目.假

設(shè)一個質(zhì)量合格的乒乓球，從1m高的高度自由下落，每次下落后反彈的高度都是原來高度

3

的“則至少經(jīng)過幾次著地后，它經(jīng)過的路程能超過5。。.（）

（參考數(shù)據(jù)：log34=1.262,log43?0.792）

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】C

【分析】第一次著地后，小球每次著地經(jīng)過的路程成等比數(shù)列，求和得總路程，建立不等式,

兩邊取對數(shù)得〃的范圍.

【詳解】經(jīng)過〃次著地后,經(jīng)過的路程

3

s=l+2x-+2xf->|++MJL+24=7一6圖>5

4⑷1.2

4

,31111

.七）

<-,n>l+log3-=log3-=-

43,3J4log|2-l-log430208,

Z4

:.n>5.

故選：C

8.已知圓C:x2+j?=4,點p在圓C上,點4（0,4）,直線/P與圓C的另一交點為0,且

。為/尸的中點，則直線/P的斜率為（）

A.±-B.±-C.D.士^1

-15995

【正確答案】D

【分析】先設(shè)出點戶的坐標，利用中點坐標表示點。的坐標，分別將P,。代入到圓的方程,

可以解出P,。坐標，再利用兩點求斜率即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)點尸的坐標為（為,%）,因為。是4P中點，所以2M）,

X；+N：=4

又因為產(chǎn),。均在圓上，所以代入得＜或

（羅+必和=4I

"="2

岳

%=一

2即P（理,-；）,°（半小或正乎,=）,°（一坐/）,

J_

%=一

2

7171

,4+23岳,4+23亞

則直線AP的斜率心=叵近~丁或加=?姮+叵=—'

故選：D

二、多選題

9.已知數(shù)列｛%｝,其前〃項和為S..則下列結(jié)論正確的是()

A.若數(shù)列SJ是等差數(shù)列，貝!|｛。,,+。田｝是等差數(shù)列

B.若數(shù)列S,,｝是等比數(shù)列，則｛%+4"是等比數(shù)列

C.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則&，Sn-Sk,S“-S”是等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則S&,S2k-Sk,S3*-%是等比數(shù)列

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義等差中項的性質(zhì)判斷AC,結(jié)合等比數(shù)列的定義舉例說明判斷

BD.

【詳解】對于A,若數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則a?+l+an+2-(an+%)=an+2-an=2d

為常數(shù)，因此｛。"+。向｝是等差數(shù)列，A正確；

對于C,Sk=G|+a2++ak,Slk—Sk=^+]+at+2+L+a2t,

S”-S*=a2*+i+&*+2+L+aj*，

顯然有4+a2m=24+i，a2+a2M=2aM,ak+aik=2a,

所以工+(S*F)=2(邑*一&)，即Sk,S”-既，S3k-S2k是等差數(shù)列，C正確；

對于B,a?=(-1)",則｛%｝是等比數(shù)列，但%+%*=0,｛4+%”｝不是等比數(shù)歹U,B錯誤,

對于D,當人=2,其=。，S4-S2-0,S6-S4=0,則S?,52A.-Sk,羸-之不

是等比數(shù)列，D錯誤.

故選：AC.

10.下列不等式成立的是()

A.sinx<xB.ev>ex

I-1—X

C.lnx<VxD.Inx>----

x

【正確答案】BC

【分析】對于A,取x=0進行驗證；

對于B,令"x)=e=ex,xeR,利用導(dǎo)數(shù)求出/⑴的最小值即可判斷；

對于C,令〃(x)=lnx-4,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求出抑x)的最大值即可判斷；

對于D,令g(x)=lnx—3,利用導(dǎo)數(shù)得g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又g(l)=0,從而得當

X

X21時，Inx》上三，即可判斷.

X

【詳解】解：對于A,當x=0時，sinx=0,此時sinx=x,故錯誤；

對于B,令/(x)=e*-ex,xeR,則有/<x)=e*-e,令f'(x)=0,得x=l,

當x<l時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;當x>l時,f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

所以f(x)mM=/(l)=e-e=0,

即/(x)N0,所以e*—exNO，

所以e'2ex，故正確：

對于C,令〃(x)=lnx-4,x>0,

則l(x)」--廠=與五

X2Vx2x

所以當0<x<4時，l(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增;當x>4時，h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減,

所以“(x)max=4(4)=ln4-2=ln4-lne2<o,

所以lnx-4<0,BPInx<\[x?故正確；

l-x1

對于D,令g(x)=lnR-----=Inx——+l,x>0,

xx

所以g'(x)=-+4>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

XX

又g⑴=0-1+1=0,

所以當時，g(x)>0,即Inx》上三，故錯誤.

X

故選：BC.

11.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若首項4=1,且滿足。向+%=3-2",則下列說法正確

的是()

A.?！?叫是等比數(shù)列B.0+2"｝是等比數(shù)列

C.a.=2"+(-l)"D.S“=2"i+(T?-5

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合條件可判斷AC,根據(jù)數(shù)列的前3項可判斷B,根據(jù)等比

數(shù)列的求和公式可判斷D.

【詳解】因為4=1,且滿足。向+&=32,

所以g=5,+

所以"z+a向=黑1=2,又%+%=6,

所以｛。用+4｝是首項為6,公比為2的等比數(shù)列，故A正確；

由凡+1+。,=3-2"，％=1,可得。2=5,%=7，

所以“I+2=3,4+2。=9,為+2,=15,(q+2乂%+2，片區(qū)+2°)~，

所以｛%+2"｝不是等比數(shù)列，故B錯誤；

由凡T+4“=3-2"，可得%-2e=2"-2"),又q-21-l，

所以口,-2"｝是首項為T,公比為-1的等比數(shù)列，

所以%-2"=(-1)",即勺=2"+(-1)",故C正確；

因為勺=2"+(_])",

所以S,=2'+22++2-+[-1+1++(-1)"]

=上空+—(-廠=2叫LD士,故D正確.

1-21+12

故選：ACD.

12.雙曲線《一己=1的左、右焦點分別是6,入，PG。/。)是雙曲線第一象限上的一點(不

927

包括軸上的點)，且pd：2G5，/月”的角平分線交x軸于點M(機,0),下列說法正確的有

()

A.G的軌跡是雙曲線的一部分B.GO的最小值是1

C.晨■取值范圍是(1,3)D.嘰=9

【正確答案】ACD

【分析】利用相關(guān)點法可明確G的軌跡，利用G的軌跡可知0G的長度的范圍，利用內(nèi)角

平分線定理與雙曲線定義可得警取值范圍，利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式可得

MF2

叫=9.

【詳解】設(shè)G(xj),又尸(%,%),((-6,0),瑪(6,0),PG=2Go\

x=3x

.1.(x-x0,^-70)=(-2x,-2y),即｛“；,又口毛,比)是雙曲線上一點，

1%=3.

.?.幽__包匚=[,即*2一片故A正確；

9273

???G的軌跡是雙曲線/一]=1">0/>0)的一部分，實半軸長為1,故B錯

誤；

\MFt\_\PFt\6+^F2|_6

根據(jù)內(nèi)角平分線定理可知,

\MF2\~\PF2\~\PF2\一陶|

4

又忸瑪|G(3,+8),?.耐一141，3),故C正確:

同樣利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式，由需=解可知,m+62玉）+3

6—m2%-3

/.mx0=9,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.設(shè)曲線y=*-x-l在點(0,0)處的切線與直線x+2y+l=0垂直，則。=

【正確答案】3

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得.

【詳解】由y=e"-x-l,可得y=ae"-l,

所以y'L=o="l,

由題意知，(a-l>

所以a=3.

故3.

14.雙曲線Y+仁=1的離心率ee(l,2),則實數(shù)人的取值范圍是

4k

【正確答案】(72,0)

【分析】由已知可得〃2=4,/=—42=4一幺6=￡=巫三，再由ee(l,2),解不等式可得

a2

發(fā)的取值范圍

【詳解】雙曲線方程可變形為《-二=1,則/=4萬=北c2=4T,e=￡=3^1.

4-ka2

又因為ee(l,2),即i(更三<2,解得-12<%<0.

2

故(-12,0)

此題考查由雙曲線的離心率的范圍求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題

15.設(shè)等比數(shù)列應(yīng)｝的前〃項積為若7；=243,則卅2%=.

【正確答案】27

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得。3=3,進而%。2%=媛，即得.

【詳解】設(shè)｛〃“｝的公比為夕，因為4=4的。3aM=d=243,

所以=3,ata2a6=%q-丫=a；=27.

故27.

16.設(shè)曲線y=d(x20),直線，=0及x=/(z>0)圍成封閉圖形的面積為S。)，貝IJ

S'(t)=.

【正確答案】?(/>0)

【分析】利用定積分可得S"),在對函數(shù)S(f)求導(dǎo)即可求解.

【詳解】因為曲線y=Y(x>0),直線，=0及x=f(?>0)圍成封閉圖形的面積為S(。為

S(f)=卜生

所以S")=R

故答案為/(f>0)

四、解答題

17.已知橢圓的焦點為片(-2,0),居(2,0),且該橢圓過點P(2,-JI).

(1)求橢圓的標準方程；

(2)橢圓上的點〃滿足吟，/鳴，求點”的坐標.

22

【正確答案】(1)二+2=1

84

(2)M(0,+2)

【分析】(1)利用兩點間距離公式求得尸到橢圓的左右焦點的距離，然后根據(jù)橢圓的定義

得到。的值，結(jié)合c的值，利用。也c的平方關(guān)系求得從的值，再結(jié)合焦點位置，寫出橢圓

的標準方程.

(2)利用向量的數(shù)量積二0,求得點M*。，")滿足的條件，再結(jié)合橢圓的方程，

解得吃,為的值.

【詳解】(1)設(shè)橢圓的長半軸長為。，短半軸長為6,半焦距為c,

因為|3|=^[2-(-2)]2+[(-\^)-0]2=旗=3]，

歸聞=，(2-2)2+[(-6-0『=也,

所以|P耳|+|P周=4痣=2,即承=2五，

又因為c=2,所以〃=02-°2=4，

又因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上,

22

所以該橢圓的標準方程為二十=1.

84

(2)設(shè)”(%,%),

煙=(-2-x0,-y0),MF2=(2-x0,-y0)

因為加，證，所以加萬欣10,即/2+%2=4,

又苣+竺=1,所以%2=4,即%=±2,4=0.

84

所以〃(0,±2)

18.已知函數(shù)屈x)=x3-然2-X,aeR,且/'⑴=0.

⑴求曲線〉=.f(x)在點(7處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值.

【正確答案】(l)y=4x+3

⑵15

【分析】(1)求導(dǎo)，利用/'(1)=0可求出。，進而可求出根據(jù)點斜式可得切

線方程；

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得最大值.

【詳解】(1)由/(x)=x3-or?-x得/''(》)=-2ax-l,

.?/⑴=3-2。-1=0,解得a=I

:.f(x)=x3-x2-x,f\x)=3>jC-2x-\

/(-l)=-l-l+l=-l,/,(-l)=3+2-l=4

曲線》=/(x)在點(-ij(-i))處的切線方程為N+1=4(X+1),

即y=4x+3；

(2)由(1),令/'(x)>0得x<-；或x>l,令/'*)<0得

.??函數(shù)〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

X/(0)=0,/(3)=35-32-3=15,

函數(shù)數(shù)x)在區(qū)間［0,3］上的最大值為/(3)=15

19.設(shè)S”是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，

（1）證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列;

⑵當邑=15,&=91,求數(shù)列｛2"也｝的前〃項和7；.

【正確答案】（1）證明見解析;

(2)[=6+(2〃-3>2"”.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛“,｝的首項為可，公差為d,寫出其前〃項和得到"，然后根據(jù)等

差數(shù)列的定義即得;

（2）由$=7,&=75,求得4”，進而得到〃,，然后利用錯位相減法即得.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項為卬，公差為d,

所以邑=〃4+若

Cn_1

貝!Ib=—=a(+—r-d,

nn2

所以黑-b“=；d,b,=at,

所以數(shù)列｛"｝是以q為首項，以￡為公差的等差數(shù)列;

(2)由S3=15,$7=91,

得3q+3"=15,7%+21"=91,

解得q=l,d=4,

所以數(shù)列｛々｝是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列,

所以2-.ft,,=(2M-1)-2",

所以Z,=1X2'+3X22+5X23++(2”-1>2”,

27；,=1X22+3X2?+5X24++(2n-l>2"+

所以+2"卜(2"-1)2",

=2+平二；」)-(2"-1>2"'=-6-p”-3)2"i

所以7；=6+(2〃-3)-2"M.

20.在平面直角坐標系xQr中，已知拋物線C：/=2px(p>0)與直線/：y=x-b(b>0)

相交于4,8兩點.

(1)若以48為直徑的圓過原點，證明：b=2p；

(2)若線段48中點的橫坐標為4,且拋物線C的焦點到直線/的距離為行，求P，分的值.

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)p=g/=g.

【分析】(1)設(shè)/(國,必),8(々,%)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去x,由韋達定理得

M+必，必為，代入壇=T可證得結(jié)論；

(2)由占+x2=必+%+加=8得p,b的一個方程，再由點到直線距離公式得p,6的一個方程,

聯(lián)立解之可得.

【詳解】⑴設(shè)洋演,1),5(孫力)，

由<:得/一2即一2Pb=°，則凹+%=2p，yxy2=-2pb,

[y=x-h

以為直徑的圓過原點，則。4。8斜率顯然存在，因此自//g=T，

所以2"四=一],即玉w+y[y2=0,

XlX2

22

所以占々+%為=(必+b)(y2+b)+y,y2=2y,y2+b(yt+y2)+b=-4pb+2pb+b=0,

又b>。,所以b=2p；

(2)由(1)XI+*2=%+%+2b=2p+2b=8,

,,E_Q_b

拋物線的焦點坐標為pg,0),因此工=&，即|p-2目=4,

6一

4

2p4-26=83

由加-2*4'又八0,解得‘

8.

3

21.如圖所示，一個倉庫設(shè)計由上部屋頂和下部主體兩部分組成，屋頂?shù)男螤钍撬睦忮F

P—ABCD,四邊形Z8CO是正方形，點。為正方形Z5C。的中心，尸01平面43C。；下

部的形狀是長方體-已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為

k{k>0）,下部主體造價與高度成正比，比例系數(shù)為4般現(xiàn)欲建造一個上、下總高度為12m,

（1）①若屋頂?shù)母逷O=x,請將總造價表示為x的函數(shù)；

②若屋頂側(cè)面與底面所成二面角角為。，請將總造價表示為。的函數(shù):

（2）選擇（1）中的一個方案，求出總造價的最小值.

【正確答案】（1）見解析

(2)(24五+48,

【分析】（1）①求出S/C得出上部屋頂造價，由/4=12-x得出下部主體造價，進而得出

總造價；②由二面角的定義結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系得出總造價；

（2）選擇①：令g（x）=3必3+12-x，利用導(dǎo)數(shù)得出總造價的最小值；選擇②：令

由導(dǎo)數(shù)得出總造價的最小值.

cos。V2）

【詳解】（1）①由題意可知/c=,6?+62=60，0c=3應(yīng)，則TC=Jx2+18.

所以S&pBc=sx6x>jx~+18—9—3dX。+9,

故上部屋頂造價為/x4x3G+9=12ky/x2+9-

因為N4=12-X,所以下部主體造價為4人（12-X）.

故總造價為y=12左，公+9+必（12-*）/?0,12）.

②如圖，設(shè)8c的中點為E,連接尸￡0E,則?！?3.

由于PO人平面/8CZ),則有POJ.OE；

在RtPOE中，由二面角的定義可知則NPEO=0,則有PO=3tanO,PE=--

cos，

所以上部屋頂面積為S—4s△尸BC-%,下部主體的高度為〃=12-3tan。,

cosU

.(3-sin。1..

所以倉庫的總造價為y=s/+加瞅=12^-------+4川o.

(cos6)

1

1

1

1

A：c

r1

(2)選擇①：總造價為y=4k(3jf+9+12-x),xe(0,12),

令g(x)=34+9+12-x，g'(x)=-73x

h"

當逑<x<12時，g'(x)>0；當0<

時，g'(x)<0.

44

即函數(shù)g(x)在0,羋上單調(diào)遞減，在(羋』2］上單調(diào)遞增.

故總造價取最小值為4hgf半卜240+48”.

選擇②：設(shè)/