2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)試題解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學(xué)

]設(shè)全集0=Z集合〃="1x=3Z+1,左EZ},N={x|x=34+2,左￡Z},3u(MuN)=()

A.{x|x=34,4EZ}B.{X|X=3左一1,左EZ}

C.{X|X=3女一2,%EZ}D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出.

【詳解】因為整數(shù)集Z={x|x=3攵，左cZ}U{x|x=3左+l#wZ}U{x|x=3k+2#EZ},U=Z,所

以，為(MUN)={x|x=3左，攵EZ}.

故選：A.

2.設(shè)a￡R,(a+i)(l-ai)=2,,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【詳解】因為(4+1)(1—0)=。一4勺+1+4=24+(1—〃2]=2,

"2〃=2

所以＜2八，解得：＜7=1.

1-a=0

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的8=()

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出.

【詳解】當(dāng)％=1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，〃=1+2=3,8=3+2=5,%=1+1=2；

當(dāng)左=2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，4=3+5=8，8=8+5=13，左=2+1=3；

當(dāng)％=3時;判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,3=21+13=34,左=3+1=4；

當(dāng)*=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

故選：B.

4.已知向量萬,5*滿足同=歸卜1,同=收，且5+5=0，則cos〈萬一c,B-c〉=()

4224

A.--B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為i+B+/=0,所以才+力=-c,

即青+廬+2展6=52,即1+1+25)=2，所以萬石=().

如圖，設(shè)而=萬，歷=瓦玩=1,

c

由題知,04=OB=1,。。=?gOAB是等腰直角三角形,

AB邊上的高OD=也，AD=也,

22

所以8=。。+。。=拒+也=還,

22

tanN4CD==工,cosN4CD=-^=

CD3V10'

cos(5-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-\

故選:D.

5.設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的各項均為正數(shù)，前”項和S“，若％=1,S5=5S3-4,則S4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，計算出/即可求出54.

【詳解】由題知1+4+/+夕3+44=5(1+4+/)-4,

2

即/+/=4g+4g2,即+?-47-4=O,BP-2)(^+l)(7+2)=0.

由題知q〉0,所以q=2.

所以$4=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該

地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【分析】先算出同時愛好兩項的概率，利用條件概率的知識求解.

【詳解】同時愛好兩項的概率為0.5+0.6-0.7=0.4,

記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件A,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件B,

則尸(Z)=0.5,P(Z8)=0.4,

所以P①/)=生"="=0.8.

P(A)0.5

故選:A.

7.設(shè)甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos4=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B,甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

7T

【詳解】當(dāng)sin2a+sin2，=l時，例如a=萬,夕=0但sina+cos。。。，

即sin2a+sin2p=1推不出sina+cos夕=0；

當(dāng)sina+cos￡=0時，sin2<z+sin2(3=(一cos/?)2+sin2/3,

即sina+cos￡=0能推出sin2a+sin20=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

8.已知雙曲線。：工一==1(4〉0力>0)的離心率為石，C的一條漸近線與圓(8一2)2+3-3)2=1交

ab

于4B兩點,則()

AV5R25/5「3指門4石

A.15.----I.----D.----

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由《=右，則二=1+1=5,

aaa

解得。=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取歹=2x,

|2x2-3|_V5

則圓心(2,3)到漸近線的距離d

VF+T5

所以弦長|48|=2，,—儲

故選：D

9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加

公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A；=12

種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

10.函數(shù)y=/'(x)的圖象由函數(shù)y=cos(2x+.J的圖象向左平移今個單位長度得到,則^=/(X)的圖

象與直線丁=3》一3的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/(x)=—sin2x,再作出/(x)與y=—；的部分大致圖像,

考慮特殊點處/(x)與y=；的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

【詳解】因為_y=cos[2x+^兀J向左平移￡個單位所得函數(shù)為

6

71cos12x+^1=-sin2%,所以/(x)=-sin2x,

ycos2x+—+

I66

0,-；)與(1,0)兩點,

顯然過

,的大小關(guān)系,

2

當(dāng)、=把3兀時，f3兀.3兀113兀13?1-4,

sin—=1,y=-X------—-------—<1；

4422428

當(dāng)戶與時，//7兀.7兀［17兀17K-4

-sin—=1,V=—X-------------->1；

42-2428

所以由圖可知，/卜)與歹=3'—；的交點個數(shù)為3.

故選：C.

11.已知四棱錐尸-Z8GD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,NPCA=45°,則^PBC的面積為

()

A.272B.34C.472D.672

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得&PDO泮PCO,APDB上PCA,從而得到PA=PB,

再在AQ4c中利用余弦定理求得尸/=JF7,從而求得尸8=舊，由此在APBC中利用余弦定理與三角

形面積公式即可得解;

法二：先在△P4C中利用余弦定理求得P4=J萬，cosNPCB=；,從而求得強.定=_3,再利用空

間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于PB,NBPD的方程組，從而求得P8=如，由此在APBC中利用

余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)交于0,連結(jié)尸0,則。為NC,8。的中點，如圖，

因為底面Z8CD為正方形，48=4,所以4。=60=40，則。0=。。=20，

又PC=PD=3,P0=0P,所以AP。。三APCO,則/尸￡>O=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4也,所以△尸三AP。，則尸/=P8,

在中，PC=3,AC=472,ZPCA=45°,

則由余弦定理可得尸片=/c2+pc2-2/c.pccos/PC4=32+9—2乂4近、3、顯=17，

2

故尸N=則

故在APBC中，PC=3,PB=y/17,BC=4,

PC2+BC--PB29+16-171

所以cos/PCB

2PC-BC2x3x4-3

又0<APCB<n,所以sinNPCB=71-cos2ZPC5=2&

3

—x3x4x2逝,=4逝.

所以APBC的面積為S=-PCBCsinNPCB

223

法二:

連結(jié)交于。，連結(jié)PO,則。為4C,8。的中點，如圖,

因為底面/8CZ）為正方形，=4）所以ZC=8D=4jI，

在中，PC=3,ZPCA=45°,

22

則由余弦定理可得尸/2=AC+PC-2AC-PCcosZPCA^32+9-2x4yj2x3x—=17，故

2

PA=y[H，

PA?+PC?-AC）17+9-32

所以cos//PC=則

2PA-PC2xV17x317

不妨記PB=m,/BPD=0,

因為的=；（蘇+斤）=；（而+蘇），所以（蘇+正『=（而+而丁，

nn----->2------>2,■,2,2,,

即尸〃+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

則17+9+2x（-3）=w2+9+2x3xmcos6,整理得加2+6/^05。-11=0①,

又在△尸8。中，BD2=PB'+PD--2PB-PDcosZBPD-即32=/??+9—6加cos6，則

m2-6mcos。-23=0②,

兩式相加得2〃/-34=0，故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,P8=JI7,8C=4,

PC2+BC2-PB29+16-171

所以cos/尸C8=

2PCBC2x3x4

2立

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=-cos2ZPCB=

3

所以APBC的面積為s=-PC-BCsinNPCB=-x3x4x打2=46.

223

故選：C.

223

12.設(shè)O為坐標(biāo)原點，耳為橢圓C：Lx+2v_=1的兩個焦點，點尸在C上，COSN片產(chǎn)g=3,則

965

()

A12回14后

5252

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出《用的面積，即可得到點尸的坐標(biāo)，從而得出|0尸|的

值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|「用|尸圖「用？+|尸￡『，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積

即可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出歸用2+儼￡『，即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一：設(shè)/大尸工=2仇0＜。＜5,所以府=/tan幺產(chǎn)=/tan。,

cos2^-sin201-ta"3

由cosZFPF=cos26二解得:tan?！?/p>

[2cos29+sin261+tan2052

由橢圓方程可知，Q2=9/2=6,C2=Q2—62=3,

所以，邑叼2=夫忻丹岡以=，2百'卜卜6'；,解得：#=3,

即片=9x(1—胃=?，因此|0尸|=粵.

故選：B.

方法二：因為|尸制+|尸周=2a=6①，|尸耳『+|尸gf—2p用儼周/月產(chǎn)工=歸月『,

即歸耳『+|尸尸2『一§尸耳||「周=12②，聯(lián)立①②，

解得：閥II尸用=答附『+歸用2=21,

而方=；(所+庵)，所以10Pl=|所卜J西+成

即匹馬西+叫同+礪短+阿=畀21+2乂^*=孚.

故選：B.

方法三：因為忸耳|+|「用=2a=6①，|尸用2十|尸用2一2儼用伊周/片尸后二困7^,

即|尸用R尸工『一(儼曰留切=12②，聯(lián)立①②，解得：|尸娟2+仍用2=2],

由中線定理可知，(2|0「『+館用2=2(|尸片「+歸用2)=42,易知閨用=2退，解得：[0耳=呼.

故選：B.

【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

二、填空題

13,若/(x)=(%一1『+ax+sin卜+!")為偶函數(shù)，則。=________.

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到-從而求得4=2,再檢驗即可得解.

-ox+sin(x+])=(x-1)2+QX+COSX為偶函數(shù)，

【詳解】因為歹=/(X)=(X—IF-

所以/卜升?哈-丫兀(7c\f7CY71兀

——Q+S——=——+—Q+—,

)21.2；U)22

則?！?[囚+1-f--1=2兀，

故Q=2,

[2)[2)

此時f(X)=(X-1)24-2x+cosx=x2+l+cosx,

所以/(-x)=(-x)24-1+COS(-x)=x2+1+COSX=/(x),

又定義域為R,故/(%)為偶函數(shù),

所以。=2.

故答案為：2.

3x-2y<3

14.若x,y滿足約束條件，-2x+3y<3,設(shè)z=3x+2y的最大值為

【答案】15

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【詳解】作出可行域，如圖,

3z

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-/x+5過點A時，z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由、c、可得」,即/(3,3),

3x-2y-3尸3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體力6CD—中，E,E分別為的中點，以瓦'為直徑的球的球面與該正方體

的棱共有個公共點.

【答案】12

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,ER中點為0,取。。，CG中點G,M,側(cè)面84G。的中心為N,連

接FG,EGQM,0N,MN,如圖,

由題意可知，O為球心，在正方體中，EF=1FG?+EG?=a+2?=2后，

即R=V2,

則球心O到cc,的距離為OM=^JON2+MN2=Vl2+12=JI，

所以球O與棱C￡相切，球面與棱CG只有i個交點，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在AASC中，ABAC=60°,AB=2,BC=46,/瓦1C的角平分線交8c于。，則〃0

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出ZC,再根據(jù)等面積法求出Z。；

方法二：利用余弦定理求出/C,再根據(jù)正弦定理求出8,。，即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記28=。,/。=6,8。=。,

方法一：由余弦定理可得，22+〃—2x2xbxcos60°=6,

因為b>0,解得：b-l+y/i>

由S.ABC~S.ABD+S'ACD可得,

—x2xZ)xsin60°=—x2xy4Z)xsin30°+—xADxbxsin30°,

222

限2百(1+石)

AD2

解得：=-『-3+石—-

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+b2-2x2xbxcos60°=6，因為6>0,解得：b=l+5,

由正弦定理可得，4—=_絲=?~,解得：sinB="+?，sinC=—)

sin60°sinBsinC42

因為1+百〉&＞拒，所以。=45°，5=180°-60°-45°=75°.

又NB4D=30"，所以408=75°，^AD=AB=2.

故答案為：2.

【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

三、解答題

17.設(shè)S“為數(shù)歹U｛?！埃那皀項和,已知a2=1,2Sn=nan.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛會｝的前〃項和

【答案】（1）an=n-\

⑵7>2-（2+〃）］￡|

5,〃=1

【分析】（1）根據(jù)q°c即可求出；

電-S,_”〃N2

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【小問1詳解】

因為2S“=nan,

當(dāng)〃=1時，2al=%,即6=0；

當(dāng)〃=3時,，2(1+%)=3%，即4=2,

當(dāng)〃之2時，2sl=（〃一1）%,所以2⑸-5〃_］）="一（〃一1）%=2%,

化簡得：（〃一2）%=（〃-,當(dāng)〃23時，-^―=a,l~x=--?=—=1,即?！ǘㄒ?,

n—\〃一22

當(dāng)〃=1,2,3時都滿足上式，所以

【小問2詳解】

因為黃等所以騫=呢）+2>0+3x］?+…+喂/

+…+("咱+〃x1)

兩式相減得,

1

-X1

2-〃瑞’

3"二口+出+出+-咱-〃心）

，即7；=2—(2+〃)(g),?eN*.

1-1+]

18.如圖，在三棱柱Z8C-48cl中，4。，底面/8C,ZACB=90°,=2,4到平面BCCR的距

離為1.

(1)證明：A,C=AC；

（2）已知與84的距離為2,求力片與平面8CG4所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）—

13

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4。工平面8CGA，再由勾股定理求出。為

中點，即可得證；

（2）利用直角三角形求出力片的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【小問1詳解】

如圖，

c,

工Bi

A

???4。，底面NBC,BCcz^ABC，

A^CVBC,又8C_LZC,4C,/Cu平面NCG4，AxCr>AC=C,

.?.5C_L平面ZCG4,又3Cu平面8CC蜴，

平面zee/，平面8CC4,

過4作40LCG交CG于。，又平面NCG4n平面BC￡4=C￡,4。匚平面/。64，

.-.4。_1_平面8。。的

V4到平面BCCB的距離為114。=1,

在Rt/\4CC]中，4。J_4cl,℃i=^4]=2,

設(shè)CO=x,則。|。=2—X,

?.-△4OC,A4OC,,A4CC,為直角三角形，且CG=2,

2CM2

co+/02=4c2,A02+OC2=；,4c2+4G2=c,c,

.-.l+x2+l+(2-x)2=4,解得x=l,

AC=A]C=4G=V2,

A}C=AC

【小問2詳解】

vAC=A}C1,BC±A}C,BC1AC,

Rt△力C8絲Rg4C8

BA=BA、,

過8作交/同于。，則。為中點,

由直線44與34距離為2,所以8。=2

vA}D=\,BD=2,：.A}B=AB=y[5,

在Rt△力8C,；.BC=JAB?-AC?=5

延長ZC,使力C=CM,連接G〃，

由CM//A,C?CM=4G知四邊形4cMG為平行四邊形，

.?.GA/〃4C，平面48C,又4Mu平面48C,

C}M1AM

22

則在RtZXNGM中，AM=2AC,CtM=AtC,-.AC,=J(2AC)+A,C，

在Rt△力4G中，AC,=yj(2AC)2+A,C2，B]C[=BC=5

：.AB,=J(2揚2+(揚2+(省)2=岳,

又A到平面BCG片距離也為1.

1V13

所以AB】與平面BCCE所成角的正弦值為

V13-13

19.一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外

20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間

后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).

(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)實驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如

卜列聯(lián)表：

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加

量有差異.

n{ad-bey

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

%0.1000.0500.010

pg2%)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=1

(2)(i)m=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得加=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進(jìn)行檢驗，即可得解.

【小問1詳解】

依題意，X的可能取值為0」,2,

則尸?=0)=等=々，p(x=l)=警=叫，尸(x=2)=等=2

所以X的分布列為：

X012

192019

p

783978

1Q201Q

故E(X)=0x—+lx—+2x—=l.

783978

【小問2詳解】

(i)依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21

位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以7〃=23.4,

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

⑴由⑴可得,“。；0鼠次，

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

20.已知直線x—2y+l=0與拋物線C:/=2px（p>0）交于48兩點，且|/超|=4>/記.

（1）求P；

（2）設(shè)尸為C的焦點，M,N為C上兩點，麗.麗=0，求面積的最小值.

【答案】（1）p=2

（2）12-80

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P；

（2）設(shè)直線MV：x=my+n,/（冷凹）川（9,歹2），利用麗?麗=0，找到%〃的關(guān)系，以及△A/FN

的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【小問1詳解】

設(shè)工（工"）3（/，九）,

x-2y+l=0

由可得,y2-4py+2p=0,所以Z,+丁&=4。，歹/歹〃=2p，

y~=2px

所以|/可=必廠4）2+8一力）2=石"廠幾|=右*1（兄+%）2-4/必=4岳，

即2P2-p—6=0,因為p>0,解得：p=2.

【小問2詳解】

因為尸(1,0),顯然直線W的斜率不可能為零，

設(shè)直線MV：x=my+n,A/(國,弘］刈馬,為)，

\y2—Ax,

由，可得，y-4niy-4n^0,所以，y+%=4”乂%=-4〃，

［x=my+n

A=16/H2+16z7>0=>/w2+n>0?

因為兩?麗=0，所以(玉_1)(/_1)+必歹2=0，

即(叩］+〃-1)(/孫2+〃-1)+必、2=0，

亦即(〃r+1)必為+加(〃-1)(,+，2)+(〃-1)2=0，

將必+歸=4掰,必必=一4〃代入得，

4/772=〃2-6〃+1,4(/=>0,

所以〃且〃2一6〃+120，解得〃23+2起或〃43—2夜.

設(shè)點/到直線的距離為d,所以d=1,

A/I+TW2

|MN|=J(再一々)2+(0一%)2=71+加［,—)2|二川+/，16.2+16〃

=2川+加2,4(〃2-6〃+1)+16〃=2>/1+加［〃-1|,

1.?1|〃-11IT??z、2

所以△MFN的面積S=-x|肋V|xd=—x1x2，l+加2|?-l|=(w-l),

22J1+〃J

而〃23+20或〃43-20‘所以,

當(dāng)〃=3-20時，△MW的面積￡皿=(2-2亞『=12—8立.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到〃?，〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)

系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.

SinX

21.已知函數(shù)/(x)=ax--：-,xe|0,—|

cosx<2}

(1)當(dāng)a=8時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求°的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)(-oo,3]

【分析】(1)求導(dǎo)，然后令，=cos?x,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可；

(2)構(gòu)造g(x)=/(x)-sin2x，計算g'(x)的最大值,然后與0比較大小，得出a的分界點，再對a討論即可.

【小問1詳解】

「，/、cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f(x)=a------------------------------------------

COSX

cos2x4-3sin2x3-2cos2x

=a-------------5--------=a-----------5-----

COSXCOSX

令cos2%=乙則f￡(0,1)

2—Ofat?+2t-3

貝Ijf'(x)=g⑺=a------=

t2

2

當(dāng)-Qr,(\-(t\_8/+2/-3(2/-1)(4/+3)

當(dāng)。=8,/(x)=g。)=不72

當(dāng)/￡(。,]),即X—(x)<0.

當(dāng)f即j'(x)>0.

所以/(x)在?上單調(diào)遞增，在(：,外上單調(diào)遞減

【小問2詳解】

設(shè)g(x)=/(x)-sin2x

223

g(x)=f(x)-2cos2x=g(/)-2^2cosx-l)="--2(2t-l)=a+2-4t+—六設(shè)

23

(p(f)=a+2-At-\--------

)26-4J—21+62(/-1)(2"+2什3)八

—一戶+廠—?—=---------?--------->0

所以。?)<8(1)=a-3.

「若ae(-oo,3],g'(x)=^