高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精練必備 第8練 函數(shù)模型及其應(yīng)用（教師版）

第8練函數(shù)模型及其應(yīng)用

學(xué)校姓名班級(jí)

一、單選題

1.下列函數(shù)中，隨著X（X>1）的增大，函數(shù)值的增長(zhǎng)速度最快的是（）

A.y=81gxB.y=fC.）,=近D,y=9x8'

8

【答案】D

【詳解】

當(dāng)x>l時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)最快，幕函數(shù)其次，對(duì)數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)>=9x8,的增長(zhǎng)速度

最快.

故選：D.

2.聲強(qiáng)級(jí)厶（單位：dB）與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為：厶=101g（尚），若女高音的聲強(qiáng)級(jí)

是75dB,普通女性的聲強(qiáng)級(jí)為45dB,則女高音聲強(qiáng)是普通女性聲強(qiáng)的（）

A.10倍B.100倍C.1000倍D.10000倍

【答案】C

【詳解】

設(shè)女高音聲強(qiáng)為普通女性聲強(qiáng)為厶，貝！HOlg（鳥(niǎo)）=75,所以鳥(niǎo)=10人①,

1。電（磊）=45,所以鳥(niǎo)=1產(chǎn)②,則①.②得：^=1000,故女高音聲強(qiáng)是普通女性

聲強(qiáng)的1000倍.

故選：C

3.新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測(cè)是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫(yī)院在成為新冠肺

炎核酸檢測(cè)定點(diǎn)醫(yī)院并開(kāi)展檢測(cè)工作的第"天，每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成

-y=,n<N

7n0

平均耗時(shí)t（77）（單位：小時(shí)）大致服從的關(guān)系為“〃）=.?,即為常

—r=,n>N。

眄

數(shù)）.已知第16天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)為16小時(shí),第64天（加和第81天檢測(cè)過(guò)程平均耗

時(shí)均為8小時(shí);那么可得到第36天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)大致為（）

A.12小時(shí)B.11小時(shí)C.10小時(shí)D.9小時(shí)

【答案】B

【詳解】

由第64天和第81天檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)知，16<N°,

所以2=16,得=64,

Vlo

640,

又由71=8得No=64,

6464

所以當(dāng)〃=36時(shí)，，(36)=7茄=7211,

故選:B.

4.藥物在體內(nèi)的轉(zhuǎn)運(yùn)及轉(zhuǎn)化形成了藥物的體內(nèi)過(guò)程，從而產(chǎn)生了藥物在不同器官、組織、

體液間的濃度隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，根據(jù)這種動(dòng)態(tài)變化過(guò)程建立兩者之間的函數(shù)關(guān)系，

可以定量反映藥物在體內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化，為臨床制定和調(diào)整給藥方案提供理論依據(jù).經(jīng)研究

表明，大部分注射藥物的血藥濃度CQ)(單位：〃g/ml)隨時(shí)間t(單位：h)的變化規(guī)律

可近似表示為C(r)=G,-eY',其中C0表示第一次靜脈注射后人體內(nèi)的初始血藥濃度，發(fā)表示

該藥物在人體內(nèi)的消除速率常數(shù).已知某麻醉藥的消除速率常數(shù)4=0.5(單位：h-'),某

患者第一次靜脈注射該麻醉藥后即進(jìn)人麻醉狀態(tài)，測(cè)得其血藥濃度為4.5〃g/ml,當(dāng)患者清

醒時(shí)測(cè)得其血藥濃度為0.9〃g/ml,則該患者的麻醉時(shí)間約為(ln5?1.609)

()

A.3.5hB.3.2hC.2.2hD.0.8h

【答案】B

【詳解】

由題意得，0.9=4.5產(chǎn)，即

則0.5r=ln5,解得f=21n5=3.2.

故選：B

5.2022年4月16日，神舟十二號(hào)3名航天員告別了工作生活183天的中國(guó)空間站，安全

返回地球中國(guó)征服太空的關(guān)鍵是火箭技術(shù)，在理想情況下，火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間獲得速

度增量的公式△丫;匕也為，其中△「為火箭的速度增量，匕為噴流相對(duì)于火箭的速度，

人和叫分別代表發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)啟和關(guān)閉時(shí)火箭的質(zhì)量，在未來(lái)，假設(shè)人類(lèi)設(shè)計(jì)的某火箭匕達(dá)

到5公里/秒也，從100提高到600,則速度增量厶丫增加的百分比約為()

叫

(參考數(shù)據(jù)：In2ao.7,ln3?l.l,ln5?1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【詳解】

由題意,當(dāng)馬=100時(shí),速度的增量為N=5111100；

班

當(dāng)&二200時(shí)，速度的增量為02=51n600=51nl00+51n6,

,v2-v,_51nl00+51n6-51nl00_In6_In2+ln3

HJT===u/o

Av,5In100In1002(ln2+ln5)

故選：D.

6.2021年11月24日，貴陽(yáng)市修文縣發(fā)生了4.6級(jí)地震，所幸的是沒(méi)有人員傷亡和較大

財(cái)產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結(jié)構(gòu)工程師提出：由于實(shí)測(cè)地震記錄的缺乏，且考慮到強(qiáng)震

記錄數(shù)量的有限性和地震動(dòng)的不可重復(fù)性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)

0<Z?。

計(jì)特征的非平穩(wěn)地震波時(shí)程，其中地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)/⑺=<

%<t?t2,

)，2<厶，'d

44(單位：秒)分別為控制強(qiáng)震平穩(wěn)段的首末時(shí)刻；。(單位：秒)表示地震動(dòng)總持時(shí);

c是衰減因子，控制下降段衰減的快慢.在一次抗震分析中，地震動(dòng)總持時(shí)是20秒，控制

強(qiáng)震平穩(wěn)段的首末時(shí)刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2,則當(dāng)f=15秒時(shí)，地震動(dòng)時(shí)

程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)值是()

A.e'1B.1C.9D.e-2

【答案】A

【詳解】

由題可知4=5,厶=10,1=20,c=0.2,

...當(dāng)10<Y20時(shí)，

...當(dāng)f=15秒時(shí)，地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)值是/(15)=忌==

ee

故選:A.

7.中國(guó)是全球最大的光伏制造和應(yīng)用國(guó)，平準(zhǔn)化度電成本(LCOE)也稱(chēng)度電成本，是一項(xiàng)

用于分析各種發(fā)電技術(shù)成本的主要指標(biāo)，其中光伏發(fā)電系統(tǒng)與儲(chǔ)能設(shè)備的等年值系數(shù)，CRF

對(duì)計(jì)算度電成本具有重要影響.等年值系數(shù)/CRF和設(shè)備壽命周期N具有如下函數(shù)關(guān)系

0.05(1+

，CRF=/'、N，r為折現(xiàn)率，壽命周期為10年的設(shè)備的等年值系數(shù)約為0.13,則對(duì)于

(1+r)-1

壽命周期約為20年的光伏-儲(chǔ)能微電網(wǎng)系統(tǒng)，其等年值系數(shù)約為()

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.08

【答案】D

【詳解】

0.05(l+r)'..io13

由己知可得/=0/3,解得(1+)°=?,

(1+r)-16

2

0.05(1+r)°169

當(dāng)N=20時(shí),則,CRF-*0.08.

2100

故選：D.

8.醫(yī)學(xué)上用基于W流行病傳播模型測(cè)算基本傳染數(shù)凡（也叫基本再生數(shù)）來(lái)衡量傳染

2

性的強(qiáng)弱，基本傳染數(shù)可表示為4=1+ATK+p（l-p）（/l7；,）.計(jì)算基本傳染數(shù)Ro需要確定

的參數(shù)有：（1）參數(shù)4：r（陽(yáng)）,即需要知道第一例病例發(fā)生的時(shí)間（確定起點(diǎn)以

t

便計(jì)算力，以及之后某一時(shí)刻的累計(jì)病例數(shù)丫（/）,時(shí)間力的單位為天數(shù)；（2）參數(shù)兀和

P-.只要確定了潛伏期獴和傳染期77,乙和型傳染性病例，到2022年3月28日累

計(jì)/1=10,。=。6,根據(jù)上面的公式計(jì)算這41天/型傳染性基本傳染數(shù)凡約為（注：

參考數(shù)據(jù)：ln425?41x0.15）（）

【答案】D

【詳解】

lnr41

由￥（41）=425,/L=（（））=ln425g（）15;

4141

代入至的計(jì)算公式可以得至1+0.15*10+0.6x（1-0.6）x（0.15x10）2=3.04.

故選：D.

9.盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如,

地震時(shí)釋放的能量￡（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為1g項(xiàng)/,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.地震釋放的能量為10焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)

C.八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級(jí)為"（爐1,2,???,9,10）,地震釋放的能量為a〃，則數(shù)列｛a〃｝是

等比數(shù)列

【答案】ACD

【詳解】

對(duì)于A(yíng)：當(dāng)E=10”3時(shí),由題意得lgl(y53=48+i.5M,

解得M=7,即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；

對(duì)于B：八級(jí)地震即M=8時(shí)，1g￡,=4.8+1.5x8=16.8,解得互=10儂，

F1016-8

所以

E10心

所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的1。2倍，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：六級(jí)地震即M=6時(shí)，lg4=4.8+1.5x6=13.8,解得七二母相，

p1016.8

所以苴=詁産=1。』皿，

即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1OOO倍，故c正確；

對(duì)于D：由題意得lgq,=4.8+1.5〃(/7=1,2,???,9,10),

所以=1()48+15",所以％M=1048+PE=103.5"

n1r\6.3+1.5n

所以贅'=嬴'=1°”，即數(shù)列①〃｝是等比數(shù)列，故D正確；

故選：ACD

10.某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，

注射后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足如圖所示的

曲線(xiàn).據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)

c.注射該藥物:

O

31

D.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為5三時(shí)

【答案】AD

【詳解】

4?(0?r<l)

由函數(shù)圖象可知y=舊(E八，

當(dāng)，=1時(shí)，y=4,即(g)~=4,解得a=3,

4(0,,t<1)

，y=、，故A正確，

H"訓(xùn)

藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)4r=0.125,即七盤(pán)，

藥物剛好失效的時(shí)間(^r3=0.125,解得f=6,

131

故藥物有效時(shí)長(zhǎng)為6-==5.小時(shí)，

藥物的有效時(shí)間不到6個(gè)小時(shí)，故8錯(cuò)誤，。正確：

注射該藥物1小時(shí)后每毫升血液含藥量為4x：=0.5微克，故C錯(cuò)誤，

OO

故選：AD.

11.某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付

費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分

按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是

()

A.出租車(chē)行駛2km,乘客需付費(fèi)8元

B.出租車(chē)行駛4km

C.出租車(chē)行駛10km

D.某人兩次乘出租車(chē)均行駛5km的費(fèi)用之和超過(guò)他乘出租車(chē)行駛10km一次的費(fèi)用

【答案】CD

【詳解】

對(duì)于A(yíng)：出租車(chē)行駛2km,乘客需付起步價(jià)8元和燃油附加費(fèi)1元，共9元，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：出租車(chē)行駛4km,乘客需付費(fèi)8+2.15+1=11.15元，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C出租車(chē)行駛10km,乘客需付費(fèi)8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正確;

對(duì)于D：某人兩次乘出租車(chē)均行駛5km的費(fèi)用之和為2x(8+2.15x2+1)=266元，

一次行駛10km的費(fèi)用為25.45元，26.6>25.45,故D正確.

故選：CD

12.如圖，某池塘里浮萍的面積N(單位：m2)與時(shí)間r(單位：月)的關(guān)系為》=“'，

關(guān)于下列說(shuō)法正確的是(

A.浮萍每月的增長(zhǎng)率為2

B.浮萍每月增加的面積都相等

C.第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過(guò)80n?

D.若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是小小厶，則況=廿4

【答案】ACD

【詳解】

由圖可知，過(guò)。,3）,所以a=3,y=3'，

對(duì)A,由y=3'為指數(shù)函數(shù)，為爆炸式增長(zhǎng)，

每月增長(zhǎng)率為二h=2,

3'

故每月增長(zhǎng)率為2,故A正確；

對(duì)B,第一個(gè)月為3m2,第二個(gè)月為9m2,第三個(gè)月為27m）

浮萍每月增加的面積不相等，

4

對(duì)C,r=4,j=3=81m\故C正確；

對(duì)D,=log32,t2=log,4,Z3=log,8,

所以2f2=2k>g34,=log,2+log,8=log,16=2log,4,

所以2r2=6+匕，故D正確，

故選：ACD

13.某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，削的值P（單位，億元）與時(shí)間/（單位：年）之

間的關(guān)系為P（r）=4（l+10%）',其中庶為r=0時(shí)的p4=2,那么在r=io時(shí)，物增長(zhǎng)的

速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：11°=2.59,當(dāng)X

取很小的正數(shù)時(shí)，ln（l+x）?x

【詳解】

由題可知尸（/）=2（1+10%）'=2x1.1',

所以產(chǎn)（t）=2xl.門(mén)nl.l,

所以〃（10）=2x11°In1.1?2x2.59x0.1=0.518~0.52,

即以y增長(zhǎng)的速度大約是0.52.

故答案為:0.52.

14.交通信號(hào)燈由紅燈、綠燈、黃燈組成，紅燈表示禁止通行，綠燈表示準(zhǔn)許通行，黃燈

表示警示，黃燈設(shè)置的時(shí)長(zhǎng)與路口寬度、限定速度、停車(chē)距離有關(guān).經(jīng)過(guò)安全數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，

駕駛員反應(yīng)距離，（單位：m）關(guān)于車(chē)速「（單位：m/s）的函數(shù)模型為岳=0.7584上剎車(chē)

距離邑（單位：m）關(guān)于車(chē)速y（單位：nVs）的函數(shù)模型為邑=0-。72聲，反應(yīng)距離與剎車(chē)

距離之和稱(chēng)為停車(chē)距離，在某個(gè)十字路口標(biāo)示小汽車(chē)最大限速v=50km/h（約14m/s）,路

口寬度為30m,如果只考慮小車(chē)通行安全，黃燈亮的時(shí)間是允許最大限速的車(chē)輛離停車(chē)線(xiàn)

距離小于停車(chē)距離的汽車(chē)通過(guò)十字路口，那么信號(hào)燈的黃燈至少要亮s（保留

兩位有效數(shù)字）.

【答案】3.9

【詳解】

解：依題意當(dāng)小汽車(chē)最大限速v=50km/h（約14nVs）時(shí)，

反應(yīng)距離*=0.7584x14=10.6176m,剎車(chē)距離邑=0.072x142=14.112m,

所以停車(chē)距離為10.6176+14.112=24.7296m,

又路口寬度為30m,所以s=24.7296+30=54.7296m,

所以時(shí)間f=±c=迎547竺296=3.9s；

v14

故答案為：3.9

15.如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：n?）與時(shí)間t（單位：月）滿(mǎn)足關(guān)系式：

y=a'ln?（a為常數(shù)），記y=/（r）（/NO）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①設(shè)an=/6)(〃eN"),貝囈歹I」｛q｝是等比數(shù)列；

②存在唯一的實(shí)數(shù)2?1,2),使得/(2)-/(1)=/'&)成立，其中廣⑺是/⑺的導(dǎo)函數(shù)；

③常數(shù)aw(l,2)；

④記浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為％,%3貝此+厶>厶.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

【答案】①②④

【詳解】

解：依題意/?)="lna,因?yàn)?(O)=a°lna<l,所以0<。<已且。工1,

又〃3)=/lna=6,所以lna>0,所以leave,即aw(l,e),

令/?(a)=/[na,aw(l,e),貝”/2'(a)=3a21na+a2>0,

則/7(a)="ina在a?l,e)上單調(diào)遞增，又力(2)=23出2<6,所以a?2,e),故③錯(cuò)誤；

由已知可得4,=/(〃)=a"Ina,則a,用=/(〃+l)=a"+’Ina,0t=f(l)=alna,

所以網(wǎng)1:噌等=a,所以｛4｝是以Mna為首項(xiàng)，”為公比的等比數(shù)列，故①正確；

anaIna

2

令/(1)="lna,則:⑺=d(lna『，/(2)=tz\naff[\)=a\na,

令g(%)=。"(Ina)?-/]na+aln。,則g｛))=a"(lna)\tQ￡(1,2),

因?yàn)閍c(2,e),所以《(幻="。?/>o,即g&)=d。(Ina)?-/lna+〃lna,在^￡(1,2)

上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?2,e),所以lna-a<0,ln?-l<0,a\na>0f

令夕(a)=lna-a+l,?G(2,e),則“(〃)=丄-1=^―-<0,所以0(a)=lna-a+l,在

〃￡(2,e)上單調(diào)遞減，

PI.^(2)=In2-2+1=In2-1<0,即夕(〃)=1。。一。+1<0,

令"(a)=alna-a+l,tze(2,e),則/T(a)=In4>0,所以//(a)=aln〃一a+l在aw(2,e)

上單調(diào)遞增，

X//(2)=21n2-2+l=21n2-l>0,所以“(Q)=aInQ—Q+1>0,

所以g⑴=a(ln。)--a2\na+a\na=a\n