2023-2024學(xué)年北京初三年級上冊學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷附答案

2023-2024學(xué)年北京初三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷附答案

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項K有一個.

1.隨著2022年北京冬奧會日漸臨近，我國冰雪運動發(fā)展進入快車道，取得了長足進步.在此之前，北京

冬奧組委曾面向全球征集2022年冬奧會會徽和冬殘奧會會徽設(shè)計方案，共收到設(shè)計方案4506件，以下是

部分參選作品，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

［解析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿

對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于若NC=I30。，則/60。的度數(shù)為（）

A.50oB.IOO0C.130oD.150°

【答案】B

【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理計算即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。0

ΛZA+ZDCB=180o

VZDCB=130o

ΛZA=50o

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由圓周角定理得，ZBC>D=2ZA=IOOo

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

3.對于二次函數(shù)y=—(x—I)2的圖象的特征，下列描述正確的是()

A.開口向上B.經(jīng)過原點

C.對稱軸是y軸D.頂點在X軸上

【答案】D

【解析】根據(jù)二次函數(shù)y=a(x—〃)2的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】在二次函數(shù)y=-(x-l)2中

?.?Q=—IVo

???圖像開口向下，故A錯誤；

令x=0,則y=_(0_l)2=_］關(guān)0

，圖像不經(jīng)過原點，故B錯誤；

二次函數(shù)y=-(x-1)?的對稱軸為直線X=1,故C錯誤；

二次函數(shù)y=-(x-l)2的頂點坐標為(1,0)

頂點在X軸上，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)y="(x-∕z)2的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)健.

4.若關(guān)于χ的一元二次方程(ɑ-l)χ2+ɑ2χ一ɑ=o有一個根是χ=l,則a的值為()

Λ.-1B.0C.1D.T或1

【答案】A

【解析】把x=l代入方程得出(α-l)χ2+∕χ-α=o,再求出方程的解即可.

【詳解】???關(guān)于X的一元二次方程(a—l)/+/%一。=0有一個根是χ=ι

??a—1+cι~一a=0

解得a=±l

：一元二次方程(a-l)f+∕χ-a=0

?*?a—I≠0

.*.a≠l

：?a=—1

故選：A.

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【點睛】此題主要考查了一元二次方程的解，注意二次項系數(shù)不能為零.

5.如圖，A,B,C是正方形網(wǎng)格中的三個格點，則ABC是()

A.優(yōu)弧B.劣弧C.半圓D.無法判斷

【答案】B

【解析】根據(jù)三點確定一個圓，圓心確定方法：任意兩點中垂線的交點為圓心即可判斷.

【詳解】解；如圖，分別連接AB、AC、BC,取任意兩條線段的中垂線相交，交點就是圓心.

故選:B.

【點睛】本題考查已知圓上三點求圓心，取任意兩條線段中垂線交點確定圓心是解題關(guān)鍵.

6.參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設(shè)有X人

參加活動，可列方程為()

A.(X-I)=IoB.X(X—I)=IO

C.；X(X+1)=10D.2x(x-l)=10

【答案】A

【解析】設(shè)有X人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為(X-1)次，并且每個人與其他人握手均重復(fù)

一次，由此列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)有X人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為(X-1)次，并且每個人與其他人握手均

重復(fù)一次，由此可得：

2

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故選：A.

【點睛】題目主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵.

7.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，下列表達正確的是（）

A.2的值一定是:

B.2的值一定不是J

mN

C.M越大，巴的值越接近;

m/

n1

D.隨著m的增加，一的值會在;附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性

m2

【答案】D

【解析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系以及隨機事件的定義判斷即可

【詳解】投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機事件，

二是它的頻率，隨著m的增加，二的值會在:附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性；

mtnZ

故選：D

【點睛】本題考查對隨機事件的理解以及頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別.解題的關(guān)鍵是理解隨機事件是都有可

能發(fā)生的時間.

8.己知二次函數(shù)y=αχ2+區(qū)+c,當—1≤χ≤1時總有-1<y<1,有如下幾個結(jié)論：

①當b=c=O時時≤1；

②當α=l時C的最大值為0；

③當尤=2時y可以取到的最大值為7.

上述結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】①當匕=C=O時根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可證明；②當α=l時二次函數(shù)的對稱軸為：X=--,

2

分三種情況討論：當-2<一1時；當一1<—2≤ι時；當一2>1時；分別利用二次函數(shù)的的最值問題討論

222

證明即可得；③當X=-1,X=I和X=O,x=2時分別求出相應(yīng)的y的值，然后將x=2時y的值變形為：

y=4。+2/?+c=3（。+Z?+c）+（。―/?+c）—3c,將各個不等式代入即可得證.

【詳解】解：①當力=C=O時

y=ax2

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：?-1≤ax2≤1

V-l≤x≤l

?'?0≤x2≤l

-l≤a≤l,即∣α∣≤l,正確；

②當α=l時

二次函數(shù)的對稱軸為：X=__-=-L

2×12

當一《<一1時即人〉2時

函數(shù)在X=-I處取得最小值，即

?-h+c=~?

c=-2+b>0

函數(shù)在X=I處取得最大值，即

?+h+c=?

c=-b<-2

二者矛盾

,這種情況不存在；

當一1≤_?∣≤1時即-2<6≤2時

0≤b2≤4

函數(shù)在X=處取得最小值，即

.??c≤0

當一?∣=1時即人=一2時

y=X2-2x

X=I時y=T；

X=-I時y=3

不符合題意，舍去；

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b

當一一=—1時即。=2時

2

y=X2+2x

X=I時y=3；

x=-l時y=-l

不符合題意，舍去；

JcvO

當一2>ι時即匕<一2時

2

函數(shù)在X=I處取得最小值，即

l+λ>+c=-l

c=-2-h>Q

函數(shù)在X=T處取得最大值，即

1-b+c-l

c-b<-2

二者矛盾

???這種情況不存在；

.?.綜上可得：c≤0;故②正確；

③當X=-1時y=α—b+c,S--↑≤a-b+c≤li

當X=I時y=α+8+c,且一l≤α+8+c≤l：

當X=O時y=c,且-l≤c≤h

當X=2時y=4a+2Z?+c=3（a+b+c）+（a-Z?+c）-3c

-3≤3（a+》+c）≤3,-1≤a+。+c≤1和-3<3c≤3

.,.-7≤4a+2A>+c≤7

.?.當x=2時y可以取到的最大值為7；③正確；

故選:D.

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題（共24分，每題3分）

9.在平面直角坐標系中點P（-2,-5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

【答案】（2,5）

【解析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數(shù)即可求解.

【詳解】解：點P（-2,-5）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（2,5）

故答案為：（2,5）

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【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標特征，掌握“關(guān)于原點對稱的點的橫坐標、縱坐標分別

互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

10.將拋物線y=2f向上平移一個單位長度，得到的拋物線的表達式為.

【答案】y=2x2+?

【解析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得答案.

【詳解】：拋物線γ=2x2向上平移1個單位長度

拋物線平移后的表達式為y=2x2+]

故答案為：y=2f+ι.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

11.若一個正多邊形的邊長等于它的外接圓的半徑，則這個正多邊形是正____邊形.

【答案】六

【解析】由半徑與邊長相等，易判斷等邊三角形，然后根據(jù)角度求出正多邊形的邊數(shù).

【詳解】解：當一個正多邊形的邊長與它的外接圓的半徑相等時畫圖如下：

Y半徑與邊長相等

這個三角形是等邊三角形

，正多邊形的邊數(shù)：360o÷60o=6

這個正多邊形是正六邊形

故答案為：六.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)和判定，結(jié)合題意畫出合適的圖形是解題的關(guān)鍵.

12.用一個半徑為2的半圓作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為.

【答案】1

【解析】先求出扇形的弧長，然后根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,列

出方程求解即可得.

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【詳解】解：；半徑為2的半圓的弧長為：-×2π×2^2π

2

.?.圍成的圓錐的底面圓的周長為2π

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,則：

2πr=1π

解得：r—\

故答案為：1.

【點睛】題目主要考查圓錐與扇形之間的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握圓錐與扇形之間的關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

13.某件商品的銷售利潤y（元）與商品銷售單價X（元）之間滿足y=-f+6χ-7,不考慮其他因素，

銷售一件該商品的最大利潤為元.

【答案】2

【解析】^=一/+61一7=-。-3）2+2知》的最大值在％=3時取得，值為2?

【詳解】解：y=-x2+6x-7

γ=-（x-3）2+2

根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知在x=3時）最大且取值為2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)實際應(yīng)用中的最值問題.解題的關(guān)鍵將二次函數(shù)化成頂點式.

14.如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動且質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成6個大小相同的扇形，指針是固定的，當轉(zhuǎn)盤停

止時指針指向任意一個扇形的可能性相同（指針指向兩個扇形的交線時當作指向右邊的扇形）.把部分扇形

涂上了灰色，則指針指向灰色區(qū)域的概率為.

【解析】指針指向灰色區(qū)域的概率就是灰色區(qū)域的面積與總面積的比值，計算面積比即可.

【詳解】解：觀察轉(zhuǎn)盤灰色區(qū)域的面積與總面積的比值為g

故答案為：y.

【點睛】本題考查幾何概率.解題的關(guān)鍵在于求出所求事件的面積與總面積的比值.

15.拋物線y=0√+?x+c的對稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于X的一元二次方程0√+瓜+。=。的兩

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根為

【答案】Xl=-1,x2=3

【解析】利用圖象法可得罰=-1,再根據(jù)拋物線的對稱性求得乙=3，即可求解.

【詳解】解：?；根據(jù)圖象可得：拋物線與X軸的交點為(-1,0)

x1=-1

：對稱軸為X=I

.*.X2=2x1-(-1)=3

；?方程的解為Xl=TX2=3

故答案為：玉=-1X2=3.

【點睛】本題考查了用圖象法解一元二次方程的問題，掌握圖象法解一元二次方程的方法、拋物線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

16.為了落實“雙減”政策，朝陽區(qū)一些學(xué)校在課后服務(wù)時段開設(shè)了與冬奧會項目冰壺有關(guān)選修課.如

圖，在冰壺比賽場地的一端畫有一些同心圓作為營壘，其中有兩個圓的半徑分別約為60Cm和180cm,小明

擲出一球恰好沿著小圓的切線滑行出界，則該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長度為cm.

【答案】240√2

【解析】如圖，設(shè)小圓的切線MN與小圓相切于點D,與大圓交于M、N,連接OD、OM,根據(jù)切線的性質(zhì)定理

和垂徑定理求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)小圓的切線MN與小圓相切于點D,與大圓交于M、N,連接OD、OM

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則OD±MN

.?MD=DN

在RtAODM中OM=180cm,0D=60cm

MD=yJθM2-OD2=√1802-602=120√2Cm

MN=2MD=240√2Cm

即該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長度為240√∑cm

故答案為：240√Σ?

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)和垂徑定理是解答的關(guān)鍵.

三、解答題(共52分，17-22題，每題5分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

17.解方程：2χ2-9x+10=().

【答案】Xl=/或々=2

【解析】利用十字相乘因式分解，進而即可求解.

【詳解】2χ2一9χ+10=0

(2x-5)(x-2)=0

.*.2x—5=0或x-2=0

解得：X]=*或蒼=2.

22

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握“十字相乘法”是解題的關(guān)鍵.

18.已知：如圖，A為。。上的一點.

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求作：過點A且與）。相切的一條直線.

作法：①連接0A；

②以點A為圓心，OA長為半徑畫弧，與」O的一個交點為B,作射線0B；

③以點B為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線OB于點P（不與點0重合）；

④作直線PA.

直線PA即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接BA.

由作法可知Bo=BA=BP.

點A在以O(shè)P為直徑的圓上.

ΛZOAP=90°（一）（填推理的依據(jù)）.

VOA是Oo的半徑

直線PA與一。相切（一）（填推理的依據(jù)）.

【答案】（1）圖見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角，切線的判定定理

【解析】（1）根據(jù)所給的幾何語言作出對應(yīng)的圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理和切線的判定定理解答即可.

【詳解】解：（1）補全圖形如圖所示，直線AP即為所求作；

（2）證明：連接BA

由作法可知BO=BA=BP

點A在以O(shè)P為直徑的圓上

ΛZOAP=90°（直徑所對的圓周角是直角）

YOA是。。的半徑

直線PA與IO相切（切線的判定定理）

故答案為：直徑所對的圓周角是直角，切線的判定定理.

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【點睛】本題考查基本作圖-畫圓、圓周角定理、切線的判定定理，熟知復(fù)雜作圖是在基本作圖的基礎(chǔ)上進

行作圖，一般是結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，因此熟練掌握基本圖形的性質(zhì)和切線的判定是解答的關(guān)鍵.

19.已知關(guān)于X的一元二次方程f一(α+2)x+α+l=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程的兩個根都是正聚教，求a的最小值.

【答案】(1)證明見詳解；(2)a的最小值為0.

【解析】(1)根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)情況與根的判別式關(guān)系可以證出方程總有兩個實數(shù)根；

(2)根據(jù)題意利用十字相乘法解方程，求得h=l,%=α+l，再根據(jù)題意兩個根都是正整數(shù)，從而可以確

定a的取值范圍，即可求出a的最小值.

【詳解】(1)證明：依題意得：

Δ=Z?2-4ac=[-(α+2)]-+

=a2+4α+4-4α-4

=a2

,a2>0

.?.Δ≥0.

.?.方程總有兩個實數(shù)根；

(2)由(α+2)χ+α+l=0

可化為：(%-l)[x-(α+l)]=O

得玉=1,々=。+1

V方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)

.?.α+l/l.

?≥0.

Λa的最小值為0.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的個數(shù)關(guān)系和利用十字相乘法解含參數(shù)的方程，熟

知根的判別式大于零方程有兩個不相等的實數(shù)根，判別式等于零有兩個相等的實數(shù)根或只有一個實數(shù)根，

判別式小于零無根和十字相乘法的法則是解題關(guān)鍵.

20.小明在畫一個二次函數(shù)的圖象時列出了下面幾組y與X的對應(yīng)值.

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X???-2T012???

y???3430-5.??

(I)求該二次函數(shù)的表達式；

(2)該二次函數(shù)的圖象與直線y="有兩個交點A,B,若AB>6,直接寫出n的取值范圍.

【答案】(1)y=-(x+l)2+4;(2)n<-5.

【解析】(1)利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=T,頂點坐標為(-1,4),則

可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x+l)'4,然后把(1,0)代入求出a即可；

(2)根據(jù)拋物線與一次函數(shù)有公共點，聯(lián)系根的判別式求解即可.

【詳解】解:(1)???拋物線經(jīng)過點(-2,3),(0,3),(-1,4)

.?.拋物線的對稱軸為直線X-=2-+^0=T,頂點坐標為(-1,4)

2

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)2+4

把(1,0)代入得a(1+1)2+4=0,解得a=T

拋物線解析式為y=-(x+l)、4；

(2)???二次函數(shù)的圖象與直線y=〃有兩個交點

."?-(x+l)"+4=n,即一x?—2χ+3-n=O

ΛΔ=(-2)2+4(3-n)>0,解得n<4

.?.n的取值范圍為n<4

√Z?2-Aac/77~T~

?.?AB=——π——=√16—4〃

?√16-4tt>6,解得n<-5

綜上n的取值范圍為n<-5.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數(shù)y=aχ2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)與X軸的交

點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于X的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

21.一個不透明的袋中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外，沒有任何其他區(qū)別.有如下兩個活動：

活動1：從袋中隨機摸出一個球，記錄下顏色，然后從袋中剩余的球中再隨機摸出一個球，摸出的兩個球都

是紅球的概率記為

活動2：從袋中隨機摸出一個球，記錄下顏色，然后把這個球放回袋中并搖勻，重新從袋中隨機摸出一個球，

兩次摸出的球都是紅球的概率記為P2.

請你猜想6，鳥的大小關(guān)系，并用畫樹狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果，驗證你的猜想.

【答案】Pl<P2,驗證過程見解析

【解析】首先根據(jù)題意分別根據(jù)列表法列出兩個活動所有情況，再利用概率公式即可求得答案.

第13頁共23頁

【詳解】活動1：

紅球1紅球2白球

紅球1（紅1,紅2）（紅1,白）

紅球2（紅2,紅1）（紅2,白）

白球（白，紅1）（白,紅2）

???共有6種等可能的結(jié)果，摸到兩個紅球的有2種情況

21

.?.摸出的兩個球都是紅球的概率記為6=工=—

63

活動2：

紅球1紅球2白球

紅球1（紅1,紅1）（紅1,紅2）（紅1,白）

紅球2（紅2,紅1）（紅2,紅2）（紅2,白）

白球（白,紅1）（白，紅2）（白，白）

?.?共有9種等可能的結(jié)果，摸到兩個紅球的有4種情況

4

.?.摸出的兩個球都是紅球的概率記為鳥=§

：.Pt<P1

【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.重點

需要注意球放回與不放回的區(qū)別.

22.如圖，在RtZ?ABC中NACS=90°，0為AC上一點，以點0為圓心，OC為半徑的圓恰好與AB相切，

切點為D,。與AC的另一個交點為E.

（2）若NA=30°,AE=I求Bo的長.

【答案】（1）見解析；（2）2

第14頁共23頁

【解析】(1)連接OD,由(。與AB相切得NO"=90°，由HL定理證明放BoO宣用BCO由全等三

角形的性質(zhì)得"30=NCBO,即可得證；

(2)設(shè):0的半徑為X,則OD=OE=OC=x,在RjADo中得出關(guān)系式求出X,可得出AC的長，在

RJACB中由正切值求出BC,在RfASCO中由勾股定理求出BO即可.

【詳解】(1)

如圖，連接OD

：。與AB相切

ZODB=90°

在RtABDO與Rt∕?BCO中

DO=CO

BO=BO

：.RjBDo三Rt-BCo(HL)

：.∕DBO=4CBO

：.80平分NABC；

(2)設(shè)1。的半徑為X,則OD=QE=OC=X

在RjADO中ZA=30°AE=I

.,.2x-?+x

解得：X=I

.,.AC=I+1+1=3

在RACB中tanA=.,即BC=AC?tan30。=3χ巴=G

AC3

在RtABCO中80=yjCO'+BC2=712+(√3)2=2.

【點睛】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理，掌握相關(guān)知

識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

23.在等邊乙ABC中將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0o<a<180o)得到線段AD.

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(1)若線段DA的延長線與線段BC相交于點E(不與點B,C重合)，寫出滿足條件的α的取值范圍；

(2)在(1)的條件下連接BD,交CA的延長線于點F.

①依題意補全圖形；②用等式表示線段AE,AF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)120°<?<180°；(2)①見解析；②AE=AF+CE,證明見解析.

【解析】(1)根據(jù)“線段DA的延長線與線段BC相交于點E”可求解；

(2)①根據(jù)要求畫出圖形，即可得出結(jié)論；②在AE上截取AH=AF,先證aAFD空AAHC,再證NeHE=/HCE,

即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)如圖：AD只能在銳角/EAF內(nèi)旋轉(zhuǎn)符合題意

故a的取值范圍為：120°<a<180°;

(2)補全圖形如下：

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D

（3）AE=AF+CE

證明：在AE上截取AH=AF,由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD

???ND=NABF

VΔABC為等邊三角形

ΛAB=AC,NBAC=NACB=60°

/.AD=AC

??,ZDAF=ZCAH

?，?ΔAFD^ΔAHC

ΛZAFD=ZAHC,ZD=ZACH

???ZAFB=ZCHE

:ZAFB+ZABF=ZACH+ZHCE=60°

???ZCHE+ZD=ZD+ZHCE=60°

，ZCHE=ZHCE

ΛCE=HE

.?AE=AH÷HE=AF+CE.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖

形和作出輔助線.

24.在平面直角坐標系Xoy中點（一LM）,（1,必）和（2，%）在拋物線》=以2+法上.

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(1)若a=l,6=-2求該拋物線的對稱軸并比較%,內(nèi)和%的大?。?/p>

(2)己知拋物線的對稱軸為X=心若>2<0<%<以，求t的取值范圍.

【答案】(1)對稱軸為直線x=l,y2<y3<y,;(2)?<t<l

【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可；

(2)由題意，該拋物線過原點，分a>0和aV0,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和特殊點的函數(shù)值求解即可.

【詳解】解：(1)當α=l,〃=一2時該拋物線的解析式為丁=/一2》=*一1)2-1

則該拋物線的對稱軸為直線x=l

?.?點(Ty)(1,為)和(2,必)在拋物線上

Jyk3,y2=-Ly3=0

.β.y2<y3<yι;

(2)由題意，當x=0時y=0,故該拋物線過原點

當a>0時?

Y拋物線的對稱軸為直線X=■

Λt=lF?y3=0,t=!時yι=y3

■：y2<O<y3<yi

當a<0時不滿足必<0<%<X

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故t的取值范圍為:<t<l.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

25.對于平面直角坐標系XOy中的圖形M和點P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，若P,Q兩點間距

離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點P為圖形M的“二分點”.

己知點N(3,0),A(1,0),B(O和C(G,-1).

(1)①在點A,B,C中線段ON的''二分點"是；

②點D(a,0),若點C為線段OD的“二分點”，求a的取值范圍；

(2)以點0為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在OO的“二分點”，直接寫出r的取值范圍.

【答案】(1)①B和C；②√5≤α42百或α=6-后；(2):≤r<l或3<r≤9

【解析】(1)①分別找出點A,B,C到線段ON的最小值和最大值，是否滿足“二分點”定義即可；

②對a的取值分情況討論0<。4后、6<a≤2百與α>2√?和。<0,根據(jù)“二分點”的定義可求解；

(2)設(shè)線段AN上存在(。的“二分點”為M(∕”,0)(l≤m≤3),對，?的取值分情況討論0<r<ll<r<3

帆<「與l<r<3,帆>「和廠>3,根據(jù)“二分點”的定義可求解.

【詳解】(1)①