專題03 函數(shù)圖像的壓軸真題訓(xùn)練（解析版）-中考數(shù)學(xué)壓軸題

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)選擇、填空壓軸真題匯編專題03動點問題的函數(shù)圖象壓軸真題訓(xùn)練1．（2021?益陽）如圖，已知?ABCD的面積為4，點P在AB邊上從左向右運動（不含端點），設(shè)△APD的面積為x，△BPC的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵?ABCD的面積為4，x+y是平行四邊形面積的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函數(shù)，且當(dāng)x＝0時，y＝2；x＝2時，y＝0；故只有選項B符合題意．故選：B．2．（2021?河南）如圖1，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設(shè)B，P兩點間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點時，BA﹣BE＝1．利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值為AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，設(shè)BE的長度為t，則BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故選：C．3．（2022?鞍山）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足為點D，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以cm/s的速度勻速運動到點B，同時動點N從點C出發(fā)沿射線DC方向以1cm/s的速度勻速運動．當(dāng)點M停止運動時，點N也隨之停止，連接MN．設(shè)運動時間為ts，△MND的面積為Scm2，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴當(dāng)M在AD上時，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD?DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，當(dāng)M在BD上時，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD?DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故選：B．4．（2022?菏澤）如圖，等腰Rt△ABC與矩形DEFG在同一水平線上，AB＝DE＝2，DG＝3，現(xiàn)將等腰Rt△ABC沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點C到達DE之時開始計算，至AB離開GF為止．等腰Rt△ABC與矩形DEFG的重合部分面積記為y，則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，作CH⊥AB于點H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，當(dāng)0≤x≤1時，y＝×2x?x＝x2，當(dāng)1＜x≤3時，y＝＝1，當(dāng)3＜x≤4時，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故選：B．5．（2022?鄂爾多斯）如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，點N是對角線BD上一動點，設(shè)DN＝x，AN+MN＝y(tǒng)，已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點E（a，2）是圖象的最低點，那么a的值為（）A． B．2 C． D．【答案】 A【解答】解：如圖，連接AC交BD于點O，連接NC，連接MC交BD于點N′．∵四邊形ABCD是正方形，∴O是BD的中點，∵點M是AB的中點，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C關(guān)于BD對稱，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵當(dāng)M、N、C共線時，y的值最小，∴y的值最小就是MC的長，∴MC＝2，設(shè)正方形的邊長為m，則BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故選：A．6．（2021?鞍山）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以2cm/s的速度勻速運動，當(dāng)點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作MP∥CA交AB于點P，連接MN，NP，作△MNP關(guān)于直線MP對稱的△MN′P，設(shè)運動時間為ts，△MN′P與△BMP重疊部分的面積為Scm2，則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖1中，當(dāng)點N′落在AB上時，取CN的中點T，連接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等邊三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等邊三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四邊形CMPN是平行四邊形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時，過點M作MK⊥AC于K，則MK＝CM?sin60°＝t，∴S＝?（6﹣t）?t＝﹣t2+t．如圖3中，當(dāng)2＜t≤6時，S＝?MQ?PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，觀察圖象可知，選項A符合題意，故選：A．7．（2021?威海）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運動，當(dāng)其中一點到達D點時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為x（s），△APQ的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如圖1所示，當(dāng)0≤x≤1時，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ?PE＝×2x×＝，故D選項不正確；如圖2，當(dāng)1＜x≤2時，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于點F，∴QF＝sin∠ACB?CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B選項不正確；如圖3，當(dāng)2＜x≤3時，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于點G，∴AG＝sin∠ACD?AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C選項不正確，故選：A．8．（2021?日照）如圖，平面圖形ABD由直角邊長為1的等腰直角△AOD和扇形BOD組成，點P在線段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于點Q．設(shè)AP＝x（0＜x＜2），圖中陰影部分表示的平面圖形APQ（或APQD）的面積為y，則函數(shù)y關(guān)于x的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：當(dāng)Q在AD上時，即點P在AO上時，有0＜x≤1，此時陰影部分為等腰直角三角形，∴y＝，該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除B，C選項；當(dāng)點Q在弧BD上時，補全圖形如圖所示，陰影部分的面積等于等腰直角△AOD的面積加上扇形BOD的面積，再減去平面圖形PBQ的面積即減去弓形QBF的面積，設(shè)∠QOB＝θ，則∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，當(dāng)θ＝45°時，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，當(dāng)θ＝30°時，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，當(dāng)θ＝60°時，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D選項中分別找到這兩個特殊值，對比發(fā)現(xiàn)，選項D符合題意．故選：D．法二、當(dāng)1＜x＜2時，即P在OB之間時，設(shè)∠QOD＝θ，則θ∈（0，），則PQ＝cosθ，OP＝sinθ，則弧QD的長為θπ，此時S陰影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢，分析四個選項中的圖象，只有選項D符合．故選：D．9．（2021?遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中點，射線AE與BC的延長線相交于點F，點M從A出發(fā)，沿A→B→F的路線勻速運動到點F停止．過點M作MN⊥AF于點N．設(shè)AN的長為x，△AMN的面積為S，則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，∵E是CD的中點，∴CE＝DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，當(dāng)點M在AB上時，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面積S＝×x×x＝x2，∴當(dāng)點M在AB上時，函數(shù)圖象是開口向上、經(jīng)過原點的拋物線的一部分；當(dāng)點M在BF上時，如圖，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面積S＝＝﹣，∴當(dāng)點M在BF上時，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分；故選：B．10．（2021?蘇州）如圖，線段AB＝10，點C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點D移動，到達點D后停止移動．在點P移動過程中作如下操作：先以點P為圓心，PA、PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60°的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的側(cè)面，設(shè)點P的移動時間為t（秒），兩個圓錐的底面面積之和為S，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，設(shè)圍成的兩個圓錐底面圓半徑分別為r和R則：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴兩個圓錐的底面面積之和為S＝＝＝，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象是一個開口向上的二次函數(shù)．故選：D．11．（2021?甘肅）如圖1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于點D（AD＞BD）．動點M從A點出發(fā)，沿折線AB→BC方向運動，運動到點C停止．設(shè)點M的運動路程為x，△AMD的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2，則AC的長為（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【解答】解：由圖2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝13①，設(shè)點M到AC的距離為h，∴S△ADM＝AD?h，∵動點M從A點出發(fā)，沿折線AB→BC方向運動，∴當(dāng)點M運動到點B時，△ADM的面積最大，即h＝BD，由圖2知，△ADM的面積最大為3，∴AD?BD＝3，∴AD?BD＝6②，①+2×②得，AD2+BD2+2AD?BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）2＝25，∴AD+BD＝5（負值舍去），∴BD＝5﹣AD③，將③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故選：B．12．（2021?百色）如圖，矩形ABCD各邊中點分別是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M為AB上一動點，過點M作直線l⊥AB，若點M從點A開始沿著AB方向移動到點B即停（直線l隨點M移動），直線l掃過矩形內(nèi)部和四邊形EFGH外部的面積之和記為S．設(shè)AM＝x，則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：①當(dāng)M點運動在AE段，此時S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四邊形ABCD是矩形，直線l⊥AB，H、E、F、G為AD、AB、BC、CD的中點，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE?AH＝；∵直線l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此時，對應(yīng)拋物線開口向下；②當(dāng)M點運動到在BE段，此時，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，與①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此時，對應(yīng)拋物線開口向上，故選：D．13．（2021?鄂爾多斯）如圖①，在矩形ABCD中，H為CD邊上的一點，點M從點A出發(fā)沿折線AH﹣HC﹣CB運動到點B停止，點N從點A出發(fā)沿AB運動到點B停止，它們的運動速度都是1cm/s，若點M、N同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△AMN的面積為S（cm2），已知S與t之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)0＜t≤6時，△AMN是等邊三角形．②在運動過程中，使得△ADM為等腰三角形的點M一共有3個．③當(dāng)0＜t≤6時，S＝．④當(dāng)t＝9+時，△ADH∽△ABM．⑤當(dāng)9＜t＜9+3時，S＝﹣3t+9+3．A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】A【解答】解：由圖②可知：點M、N兩點經(jīng)過6秒時，S最大，此時點M在點H處，點N在點B處并停止不動，如圖，①∵點M、N兩點的運動速度為1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6cm．∵當(dāng)t＝6s時，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵當(dāng)6≤t≤9時，S＝且保持不變，∴點N在B處不動，點M在線段HC上運動，運動時間為（9﹣6）秒，∴HC＝3cm，即點H為CD的中點．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM為等邊三角形．∴∠HAB＝60°．∵點M、N同時開始運動，速度均為1cm/s，∴AM＝AN，∴當(dāng)0＜t≤6時，△AMN為等邊三角形．故①正確；②如圖，當(dāng)點M在AD的垂直平分線上時，△ADM為等腰三角形：此時有兩個符合條件的點；當(dāng)AD＝AM時，△ADM為等腰三角形，如圖：當(dāng)DA＝DM時，△ADM為等腰三角形，如圖：綜上所述，在運動過程中，使得△ADM為等腰三角形的點M一共有4個．∴②不正確；③過點M作ME⊥AB于點E，如圖，由題意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM?sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正確；④當(dāng)t＝9+時，CM＝cm，如圖，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正確；⑤當(dāng)9＜t＜9+3時，此時點M在邊BC上，如圖，此時MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正確；綜上，結(jié)論正確的有：①③④．故選：A．14．（2021?通遼）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當(dāng)點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當(dāng)0≤x≤3時，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；當(dāng)3≤x≤4時，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；當(dāng)4≤x≤7時，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故選：C．15．（2021?湖北）如圖，AC為矩形ABCD的對角線，已知AD＝3，CD＝4，點P沿折線C﹣A﹣D以每秒1個單位長度的速度運動（運動到D點停止），過點P作PE⊥BC于點E，則△CPE的面積y與點P運動的路程x間的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴當(dāng)P在CA上時，即當(dāng)0＜x≤5時，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE?CE＝＝x2，當(dāng)P在AD上運動時，即當(dāng)5＜x≤8時，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE?CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，綜上，當(dāng)0＜x≤5時，函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象，且y隨x增大而增大，當(dāng)5＜x≤8時，函數(shù)圖象為一次函數(shù)圖象，且y隨x增大而減小，故選：D．16．（2021?衡陽）如圖1，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，P、Q兩點同時從O點出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動．點P的運動路線為O﹣A﹣D﹣O，點Q的運動路線為O﹣C﹣B﹣O．設(shè)運動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當(dāng)點P在A﹣D段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由圖分析易知：當(dāng)點P從O→A運動時，點Q從O→C運動時，y不斷增大，當(dāng)點P運動到A點，點Q運動到C點時，由圖象知此時y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，當(dāng)點P運動到D點，Q運動到B點，結(jié)合圖象，易知此時，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如圖，當(dāng)點P在A﹣D段上運動，點P運動到點E處，點Q在C﹣B段上運動，點Q運動到點F處時，P、Q兩點的距離最短，此時，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴當(dāng)點P在A﹣D段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為：（cm），故答案為：（2+3）．17．（2021?武漢）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，邊AB上的點D從頂點A出發(fā)，向頂點B運動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D，E兩點運動速度的大小相等，設(shè)x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點（0，2），則圖象最低點的橫坐標(biāo)是．【答案】﹣1【解答】解：∵圖象過點（0，2），即當(dāng)x＝AD＝BE＝0時