挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)專題05一次方程(組)及其應(yīng)用(12個(gè)高頻考點(diǎn))(舉一反三)(全國(guó)版)(原卷版+解析)

專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】 1【考點(diǎn)2方程的解】 2【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】 2【考點(diǎn)4解一元一次方程】 3【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】 4【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】 5【考點(diǎn)7同解方程（組）】 5【考點(diǎn)8解三元一次方程組】 5【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出一次方程】 6【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】 6【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】 7【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】 8【要點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。2.只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。4.方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解?！究键c(diǎn)1方程的相關(guān)概念】【例1】（2023·云南曲靖·一模）若方程x2a?b?3ya+b=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則A．29 B．2 C．32【變式1-1】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A．4x?y=?1y=2x+3 B．1x?1=y3x+y=0 C．【變式1-2】（2023·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（

）A．xy=1 B．x2?1=0 C．x?y=1 【變式1-3】（2023·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【考點(diǎn)2方程的解】【例2】（2023·山東聊城·中考真題）關(guān)于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【變式2-1】（2023·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（

）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【變式2-2】（2023·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數(shù)式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式【變式2-3】（2023·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）若{x=ay=b是二元一次方程組{x+y=2【要點(diǎn)2等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；ac【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】【例3】（2023·青?！ぶ锌颊骖}）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【變式3-1】（2023·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【變式3-2】（2023·四川·梓潼縣教育研究室二模）有8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重．那么，兩個(gè)輕球的編號(hào)是（

）A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤【變式3-3】（2023·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x=m，等式兩邊都乘以x，得x2等式兩邊都減m2，得x等式兩邊分別分解因式，得x+mx?m等式兩邊都除以x?m，得x+m=m．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．【要點(diǎn)3解方程的一般步驟】1.解一元一次方程的一般步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。2、解二元一次方程組的方法①代入消元法；②加減消元法。代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。【考點(diǎn)4解一元一次方程】【例4】（2023·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號(hào)，得3x+3?1=2x?2②移項(xiàng)，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項(xiàng)，得x=?4④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式4-1】（2023·海南·中考真題）若代數(shù)式x+1的值為6，則x等于（

）A．5 B．?5 C．7 D．?7【變式4-2】（2023·云南昆明·二模）某校圖書(shū)閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表示桌子，圓點(diǎn)表示椅子），八年級(jí)（3）班42人到這個(gè)閱覽室參加讀書(shū)活動(dòng)恰好坐滿，需要桌子_________張．【變式4-3】（2023·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+#＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)(1)嘉淇猜#是2，請(qǐng)解一元一次方程3x?12(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】【例5】（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，則x的值為（

）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不對(duì)【變式5-1】（2023·重慶南開(kāi)中學(xué)三模）若關(guān)于x的方程|x|=ax+1只有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是_．【變式5-2】（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)關(guān)于x的方程x?1+考慮如下說(shuō)法：①當(dāng)a取某些值時(shí)，方程（1）有兩個(gè)整數(shù)解；②對(duì)某個(gè)有理數(shù)a，方程（1）有唯一的整數(shù)解；③當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，方程（1）沒(méi)有整數(shù)解；④不論a為何值時(shí)，方程（1）至多有4個(gè)整數(shù)解．其中正確的說(shuō)法的序號(hào)是__．【變式5-3】（2023·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）已知c為實(shí)數(shù)，討論方程|x?1|?|x?2|+2|x?3|=c解的情況．【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】【例6】（2023·湖南株洲·中考真題）對(duì)于二元一次方程組y=x?1①x+2y=7②，將①式代入②式，消去y可以得到（

A．x+2x?1=7 B．x+2x?2=7C．x+x?1=7 D．x+2x+2=7【變式6-1】（2023·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3【變式6-2】（2023·河北唐山·一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y，規(guī)定運(yùn)算“※”如下：x※(1)當(dāng)a=3，b=4時(shí)，求1※(2)若5※3=16，2※（?3）=?2，求【變式6-3】（2023·四川綿陽(yáng)·二模）若整數(shù)x，y滿足方程組y?m=x2x?m=y2，且?2≤x≤4，x≠yA．0 B．-1 C．-2 D．-3【考點(diǎn)7同解方程（組）】【例7】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x，y的二元一次方程組{2x+5y=?26ax?by=?4和求：（1）這兩個(gè)方程組的解；（2）代數(shù)式(2a+b)2020【變式7-1】（2023·上海楊浦·二模）若關(guān)于x的方程4m+x=20的解與方程2x?3=x+1的解相同，則m的值為_(kāi)_．【變式7-2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）若方程x+12?2x?15=0A．2116 B．6316 C．?21【變式7-3】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程組a1x+y=c1a【考點(diǎn)8解三元一次方程組】【例8】（2023·江蘇南京·中考模擬）已知{4x?3y?3z=0A．2：（﹣1）：3 B．6：1：9 C．6：（﹣1）：9 D．2【變式8-1】（2023·廣東東莞·中考模擬）已知{x+4y?3z=04x?5y+2z=0，xyz≠0，求【變式8-2】（2023·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，【變式8-3】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a1,a2,...,a2014【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出一次方程】【例9】（2023·貴州六盤(pán)水·中考真題）我國(guó)“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行x分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（

）A．26×340×60x=12000 B．26×340x=12000C．26×340x1000=12000 【變式9-1】（2023·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為_(kāi)__________．【變式9-2】（2023·山東日照·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問(wèn)木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則所列方程組正確的是（

）A．y?x=4.52x?y=1 B．C．x?y=4.5y2?x=1 【變式9-3】（2023·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，則下列方程正確的是（

）A．5y?11=7x7y?25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y C．5x?11=7y7x?25=5y 【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】【例10】（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問(wèn)：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問(wèn)：城中有多少戶人家？在這個(gè)問(wèn)題中，城中人家的戶數(shù)為（

）A．25 B．75 C．81 D．90【變式10-1】（2023·山東東營(yíng)·中考真題）植樹(shù)節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹(shù)300棵，正好占這批樹(shù)苗總數(shù)的35，七年級(jí)2班植樹(shù)棵數(shù)是這批樹(shù)苗總數(shù)的15，則七年級(jí)2班植樹(shù)的棵數(shù)是（A．36 B．60 C．100 D．180【變式10-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購(gòu)5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930經(jīng)盤(pán)點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫(kù)存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開(kāi)始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開(kāi)始，每天的生產(chǎn)量比原來(lái)減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫(kù)存總量達(dá)3830件．如果按照10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】【例11】（2023·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．問(wèn)1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為y克，列方程組，由消元法可得x的值為（

）5號(hào)電池（節(jié)）7號(hào)電池（節(jié)）總質(zhì)量（克）第一天2272第二天3296A．12 B．16 C．24 D．26【變式11-1】（2023·黑龍江·中考真題）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書(shū)法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式11-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式11-3】（2023·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】【例12】（2023·重慶市開(kāi)州區(qū)德陽(yáng)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在剛剛結(jié)束的端午節(jié)中，商家為了實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展途徑．某商家推出了三種禮盒進(jìn)行售賣，某商家將甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共22個(gè)，搭配為A，B，C三種禮盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)甜味粽，3個(gè)肉餡粽，1個(gè)咸鴨蛋；B盒中甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之和等于肉餡粽的數(shù)量，甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之比為3:2；C盒中有1個(gè)甜味粽，3個(gè)肉餡粽，2個(gè)咸鴨蛋．經(jīng)核算，A盒的成本為45元，B盒的成本為75元（每種禮盒的成本為該盒中甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋的成本之和），則C盒的成本為_(kāi)_____元．【變式12-1】（2023·北京平谷·二模）明明和麗麗去書(shū)店買書(shū)，若已知明明買了A、B兩本書(shū)共花費(fèi)100.5元，麗麗買了A、C兩本書(shū)共花費(fèi)88.5元，則B書(shū)比C書(shū)貴___________元；若又知B、C兩本書(shū)的總價(jià)錢恰好等于A書(shū)的價(jià)錢，則A、B、C三本書(shū)的總價(jià)錢為_(kāi)__________．【變式12-2】（2023·重慶南開(kāi)中學(xué)三模）端午節(jié)將至，某商店推出“情有獨(dú)粽”“我最出粽”“年年高粽”三種粽子，定價(jià)分別為7元/個(gè)、8元/個(gè)、9元/個(gè)；甲、乙、丙、丁四人分別去該商店采購(gòu)了一些粽子，買完后發(fā)現(xiàn)，“情有獨(dú)粽”買的數(shù)量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”買的數(shù)量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高粽”買的數(shù)量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人買的每種粽子數(shù)量都不超過(guò)10個(gè)，則丁花了______元．【變式12-3】（2023·重慶巴蜀中學(xué)三模）現(xiàn)有A、B、C三個(gè)容器裝有不同濃度的三種鹽水，其濃度之比為1:2:3．若將A容器中的鹽水取出20kg倒入B容器中，將C容器中的鹽水取出10kg也倒入B容器中，再將A容器中剩下的的鹽水倒入C容器中，這時(shí)發(fā)現(xiàn)B容器和C容器中的鹽水濃度一樣．又若在原C容器鹽水中加入與原C容器相同濃度的鹽水25kg后，其溶質(zhì)正好是原A容器鹽水取出5kg鹽水后溶質(zhì)的3倍．則原A容器鹽水質(zhì)量的3倍與原C容器鹽水質(zhì)量之和比原B容器鹽水質(zhì)量的4倍多______kg．專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（12個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】 1【考點(diǎn)2方程的解】 3【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】 5【考點(diǎn)4解一元一次方程】 7【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】 9【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】 12【考點(diǎn)7同解方程（組）】 14【考點(diǎn)8解三元一次方程組】 17【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出一次方程】 19【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】 21【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】 24【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】 27【要點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。2.只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。4.方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。【考點(diǎn)1方程的相關(guān)概念】【例1】（2023·云南曲靖·一模）若方程x2a?b?3ya+b=2是關(guān)于x、yA．29 B．2 C．32【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解出a、b的值即可求出ab的值．【詳解】解：∵方程x2a?b?3ya+b=2∴2a?b=1解得：a=∴ab=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A．4x?y=?1y=2x+3 B．1x?1=y3x+y=0 C．【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：A、是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；B、有一個(gè)方程不是整式方程，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；C、有一個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)是2，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；D、有一個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)是2，則原方程不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（

）A．xy=1 B．x2?1=0 C．x?y=1 【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．【詳解】解：A．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；B．含有1個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；C．含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題意；D．是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．【變式1-3】（2023·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進(jìn)而求出k的值即可．【詳解】解：∵方程k2?4x∴k2解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2方程的解】【例2】（2023·山東聊城·中考真題）關(guān)于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【答案】A【分析】由兩式相減，得到x+y=k?3，再根據(jù)x與y的和不小于5列出不等式即可求解．【詳解】解：把兩個(gè)方程相減，可得x+y=k?3，根據(jù)題意得：k?3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范圍是k≥8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·廣西·中考真題）方程3x＝2x＋7的解是（

）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【答案】C【分析】先移項(xiàng)再合并同類項(xiàng)即可得結(jié)果；【詳解】解：3x＝2x＋7移項(xiàng)得，3x-2x=7；合并同類項(xiàng)得，x＝7；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數(shù)式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式【答案】14【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代數(shù)式變形為2a+b2+22a+b【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，∴2a+b=3，∴4===14．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）若{x=ay=b是二元一次方程組{x+y=2【答案】二【分析】將x=a，y=b代入二元一次方程組求出a、b的值，再把a(bǔ)、b的值代入y=ax+b，得到一次函數(shù)解析式，根據(jù)a、b的符號(hào)判定一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)的象限．【詳解】∵{x=ay=b是二元一次方程∴{a+b=2a?b=4，解得，∴y=3x-1，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一，三，四象限，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的解，解方程組，一次函數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握方程組解的定義和性質(zhì)，解方程組的一般方法，一次函數(shù)的性質(zhì)．【要點(diǎn)2等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：若a=b，則a±c=b±c。等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等。性質(zhì)2：若a=b，則ac=bc；ac【考點(diǎn)3等式的性質(zhì)】【例3】（2023·青?！ぶ锌颊骖}）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【答案】C【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若a2=bC、若ac=bD、若?13x=6故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．【詳解】解：I=UR去分母得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立．【變式3-2】（2023·四川·梓潼縣教育研究室二模）有8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重．那么，兩個(gè)輕球的編號(hào)是（

）A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤【答案】D【分析】根據(jù)第一次①+②比③+④重，可得③與④中至少有一個(gè)輕球，再由第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，可得⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，可得④是輕球，即可求解．【詳解】解：∵第一次①+②比③+④重，∴③與④中至少有一個(gè)輕球，∵第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，∴⑤與⑥至少有一個(gè)輕球，∵第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，∴④是輕球，∴另一個(gè)輕球?yàn)棰荩鄡蓚€(gè)輕球的編號(hào)是④⑤．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是推理與論證，靈活應(yīng)用等式性質(zhì)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x=m，等式兩邊都乘以x，得x2等式兩邊都減m2，得x等式兩邊分別分解因式，得x+mx?m等式兩邊都除以x?m，得x+m=m．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．【答案】④【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2即可得到結(jié)論．【詳解】等式的性質(zhì)2為：等式兩邊同乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式不變，∴第④步等式兩邊都除以x?m，得x+m=m，前提必須為x?m≠0，因此錯(cuò)誤；故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【要點(diǎn)3解方程的一般步驟】1.解一元一次方程的一般步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。2、解二元一次方程組的方法①代入消元法；②加減消元法。代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法?！究键c(diǎn)4解一元一次方程】【例4】（2023·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號(hào)，得3x+3?1=2x?2②移項(xiàng)，得3x?2x=?2?3+1③合并同類項(xiàng)，得x=?4④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案．【詳解】解：方程兩邊同乘6，得3x+1∴開(kāi)始出錯(cuò)的一步是①，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·海南·中考真題）若代數(shù)式x+1的值為6，則x等于（

）A．5 B．?5 C．7 D．?7【答案】A【分析】根據(jù)代數(shù)式x+1的值為6列方程計(jì)算即可．【詳解】∵代數(shù)式x+1的值為6∴x+1=6，解得x=5故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，根據(jù)題意列方程是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·云南昆明·二模）某校圖書(shū)閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表示桌子，圓點(diǎn)表示椅子），八年級(jí)（3）班42人到這個(gè)閱覽室參加讀書(shū)活動(dòng)恰好坐滿，需要桌子_________張．【答案】18【分析】根據(jù)擺放規(guī)律得出桌子數(shù)與座位數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)桌子數(shù)為n，根據(jù)桌子擺放的規(guī)律，可得座位數(shù)為2n+6，∵學(xué)生人數(shù)為42人，且剛好坐滿，∴2n+6=42，解得：n=18，∴需要桌子18張，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究、解一元一次方程，理解題意，找到擺放規(guī)律是解答的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x?12+#＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)(1)嘉淇猜#是2，請(qǐng)解一元一次方程3x?12(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【答案】(1)x=1(2)2【分析】（1）由題意得方程3x?12（2）設(shè)被污染的正整數(shù)為m，得方程3x?12+m=3，求解得（1）解：3x?12去分母，得3x?1+4=6；移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3x=3；系數(shù)化為1，得x=1．（2）解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，則有3x?12解之得，x=7?2m∵7?2m3是正整數(shù)，且m∴m=2．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程】【例5】（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，則x的值為（

）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)x的取值范圍x≤0、0＜x≤4、x＞4三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：當(dāng)x≤0時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；當(dāng)0＜x≤4時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x無(wú)解；當(dāng)x＞4時(shí)，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；所以x=-2或6，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值及解方程，理解絕對(duì)值的意義是正確解答的前提，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·重慶南開(kāi)中學(xué)三模）若關(guān)于x的方程|x|=ax+1只有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是_．【答案】a?1【分析】分別確定x為正，x為負(fù)時(shí)a的取值，然后即可確定a的范圍．【詳解】解：當(dāng)x>0時(shí)，方程是：x=ax+1解得：x=11?a，根據(jù)題意得：解得：a<1，此時(shí)有正根，則a?1時(shí)有負(fù)根，當(dāng)x<0時(shí)，?x=ax+1，解得：x=?11+a，根據(jù)題意解得：a>?1，綜上所述；a?1時(shí)，方程|x|=ax+1只有一個(gè)負(fù)根．故答案是：a?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值方程的解法，正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)關(guān)于x的方程x?1+考慮如下說(shuō)法：①當(dāng)a取某些值時(shí)，方程（1）有兩個(gè)整數(shù)解；②對(duì)某個(gè)有理數(shù)a，方程（1）有唯一的整數(shù)解；③當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，方程（1）沒(méi)有整數(shù)解；④不論a為何值時(shí)，方程（1）至多有4個(gè)整數(shù)解．其中正確的說(shuō)法的序號(hào)是__．【答案】①③④【分析】根據(jù)題意,當(dāng)x??2時(shí)；原式=1?x?x?2=a，即x=?a+12；當(dāng)?2<x<1時(shí)；原式=1?x+x+2=a，x為?2<x<1中的任意實(shí)數(shù)【詳解】解：當(dāng)x??2時(shí)；原式=1?x?x?2=a，即x=?a+1當(dāng)?2<x<1時(shí)；原式=1?x+x+2=a，即a=3，x為當(dāng)x?1時(shí)；原式=x?1+x+2=a，即x=a?1∴①例如：a=5時(shí)，x=?5+12=?3或x=5?12=2②例如：a=5時(shí)，x=?5+12=?3或x=5?12=2③∵x=?a+12或x=a?12，只有a+1與a?1為整數(shù)時(shí)，x才能為整數(shù)；即只有a為整數(shù)時(shí)，x才能為整數(shù)，故當(dāng)④∵當(dāng)x??2時(shí)，x=?a+12；當(dāng)?2<x<1時(shí)；x為?2<x∴不論a為何值時(shí)，方程至多有4個(gè)整數(shù)解，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，求得x的值是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）已知c為實(shí)數(shù)，討論方程|x?1|?|x?2|+2|x?3|=c解的情況．【答案】c?1方程有解，c<1方程無(wú)解【分析】令x?1=0，x?2=0，x?3=0，得x=1，x=2，x=3，再分四段討論解即可．【詳解】解：當(dāng)x<1時(shí)，原方程為1?x?(2?x)+2(3?x)=c，x=4?c即4?c2解得c＞2時(shí)有解，x=當(dāng)1?x<2時(shí)，原方程等價(jià)于x?1?(2?x)+2(3?x)=c，c=3時(shí)，解為：1?x<2．否則無(wú)解；當(dāng)2?x<3時(shí)，原方程等價(jià)于x?1?(x?2)+2(3?x)=c，x=7?c即2?7?c解得1<c?3，有解：x=7?c當(dāng)x?3時(shí)，原方程等價(jià)于x?1?(x?2)+2(x?3)=c，x=5+c即5+c2?3時(shí)有解，此時(shí)：c?1，有解：綜上所述：c?1方程有解，c<1方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解含字母的一元一次方程，注意分段討論，不能丟解．【考點(diǎn)6解二元一次方程（組）】【例6】（2023·湖南株洲·中考真題）對(duì)于二元一次方程組y=x?1①x+2y=7②，將①式代入②式，消去y可以得到（

A．x+2x?1=7 B．x+2x?2=7C．x+x?1=7 D．x+2x+2=7【答案】B【分析】將①式代入②式消去去括號(hào)即可求得結(jié)果．【詳解】解：將①式代入②式得，x+2(x?1)=x+2x?2=7，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·山東淄博·中考真題）解方程組：x?2y=3【答案】x=5【分析】整理方程組得x?2y=3①【詳解】解：整理方程組得x?2y=3①2x+3y=13①×2?②得y=1，

把y=1代入①得x?2=3，解得x=5，

∴方程組的解為x=5y=1【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·河北唐山·一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y，規(guī)定運(yùn)算“※”如下：x※(1)當(dāng)a=3，b=4時(shí)，求1※(2)若5※3=16，2※（?3）=?2，求【答案】(1)-5(2)a的值為2，b的值為2【分析】（1）根據(jù)規(guī)定運(yùn)算“※”，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)題意可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）當(dāng)a=3，b=4時(shí)，∴1※（-2）=3×1+4×（-2）=3+（-8）=-5，∴1※（-2）的值為-5；（2）∵5※3=16，2※（-3）=-2，∴5a+3b＝①+②得：2a+5a=14解得a=2，把a(bǔ)=2代入①得：10+3b=16，解得b=2，∴原方程組的解為a＝∴a的值為2，b的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程的步驟，以及理解材料中規(guī)定的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·四川綿陽(yáng)·二模）若整數(shù)x，y滿足方程組y?m=x2x?m=y2，且?2≤x≤4，x≠yA．0 B．-1 C．-2 D．-3【答案】B【分析】先解方程組得到y(tǒng)=?x?1，進(jìn)而得出m關(guān)于x的二次函數(shù)m=?x2?x?1，改為頂點(diǎn)式，找出對(duì)稱軸，再根據(jù)x【詳解】解：y?m=①-②得y?x=x∴y?x=(x+y)(x?y)，∵x≠y，∴x+y=y?x∴y=?x?1，由①得m=y?x將y=?x?1代入得，m=?x∴m關(guān)于x的函數(shù)圖像為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=?1∴x=0或x=?1時(shí)，對(duì)應(yīng)的m值相等，∵?2≤x≤4且x是整數(shù)，∴x=0或x=?1時(shí)，m取最大值，最大值mmax故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組和求二次函數(shù)的最值，有一定難度，解題的關(guān)鍵時(shí)通過(guò)解方程組得到x與y的關(guān)系，進(jìn)而得到m關(guān)于x的二次函數(shù)．【考點(diǎn)7同解方程（組）】【例7】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x，y的二元一次方程組{2x+5y=?26ax?by=?4和求：（1）這兩個(gè)方程組的解；（2）代數(shù)式(2a+b)2020【答案】（1）{x=2y=?6【分析】（1）由兩個(gè)方程組同解可得{2x+5y=?26（2）把{x=2y=?6代入兩個(gè)系數(shù)未知的方程可得：{2a+6b=?4【詳解】解：（1）由題意得：{①+②得：5x=10,∴x=2,把x=2代入①得：4+∴5y=?30,∴y=?6,所以這兩個(gè)方程組的解是：{x=2（2）把{x=2{2a+6b=?4③×3+④得：20b=?20,∴b=?1,把b=?1代入③得：2a?6=?4,∴a=1,所以：{a=1∴【點(diǎn)睛】本題考查的是同解方程，二元一次方程組的解法，代數(shù)式的值，乘方符號(hào)的確定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·上海楊浦·二模）若關(guān)于x的方程4m+x=20的解與方程2x?3=x+1的解相同，則m的值為_(kāi)_．【答案】4【分析】解方程2x?3=x+1得x=4，把x=4代入4m+x=20即可求解．【詳解】解：2x?3=x+1，解得x=4，∵方程4m+x=20的解與方程2x?3=x+1的解相同，∴x=4是方程4m+x=20的解，把x=4代入方程4m+x=20，∴4m+4=20，解得m=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，掌握移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）若方程x+12?2x?15=0A．2116 B．6316 C．?21【答案】A【分析】如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程,根據(jù)這一定義，可先解第一個(gè)方程，將解代入第二個(gè)方程，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：解方程：x+1把x=?7代入方程x+?7+解得a=21故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，利用了同解方程的定義得出關(guān)于a的一元一次方程是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程組a1x+y=c1a【答案】x=6【分析】根據(jù)題意得到5a1+10=c1【詳解】解：∵方程組a1x+y=c∴5a∴由方程組a1x?1+y=∴a1x?1+y=故答案為：x=6y=10【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解的定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．同時(shí)考查了二元一次方程組的解的求法．【考點(diǎn)8解三元一次方程組】【例8】（2023·江蘇南京·中考模擬）已知{4x?3y?3z=0A．2：（﹣1）：3 B．6：1：9 C．6：（﹣1）：9 D．2【答案】C【詳解】分析：將z看成已知數(shù)，表示出x與y，即可求出x：y：z．詳解：方程組整理得：4x?3y＝3z①x?3y＝z②①-②得：3x=2z，即x=23將x=23z代入②得：y=-1則x：y：z=23z：（-1故選C．點(diǎn)睛：此題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是將z看著已知數(shù)．【變式8-1】（2023·廣東東莞·中考模擬）已知{x+4y?3z=04x?5y+2z=0，xyz≠0，求【答案】16【分析】將z看作常數(shù)解方程組得{x=【詳解】解：由題意知{x+4y=3z①×4?②，得：21y=14z，y=2將y=23z代入①，得：x+所以方程組的解為{x=將x、y代入得：原式===16【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分母有理化、完全平方公式及解三元一次方程組．【變式8-2】（2023·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）一模）已知：aba+b=23，cac+a=34，【答案】6【分析】先將每個(gè)等式求倒數(shù)，然后組成方程組1a1a【詳解】解：∵aba+b=23，∴1a+1b=∴1a(①+②+③)÷2得：1a④-①得1c=11④-②1b=11④-③1a=11∴a＋b＋c=1+2+3=6．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，求代數(shù)式的值，掌握倒數(shù)法解方程組是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a1,a2,...,a2014【答案】165．【詳解】試題分析：首先根據(jù)（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)-1，z個(gè)0，得到方程組{x+y+z=2014試題解析：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014=a12+a22+…+a20142+2×69+2014=a12+a22+…+a20142+2152，設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)-1，z個(gè)0{化簡(jiǎn)得x-y=69，x+y=1849，解得x=959，y=890，z=165∴有959個(gè)1，890個(gè)-1，165個(gè)0，考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出一次方程】【例9】（2023·貴州六盤(pán)水·中考真題）我國(guó)“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行x分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（

）A．26×340×60x=12000 B．26×340x=12000C．26×340x1000=12000 【答案】D【分析】結(jié)合單位的換算，根據(jù)路程=速度×?xí)r間建立方程即可得．【詳解】解：因?yàn)?分鐘=60秒，1公里=1000米，所以可列方程為26×340×60x1000故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·江蘇南通·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為_(kāi)__________．【答案】5x+45=7x-3【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢”，即可得出關(guān)于x的方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得：5x+45=7x-3．故答案為：5x+45=7x-3．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·山東日照·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問(wèn)木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則所列方程組正確的是（

）A．y?x=4.52x?y=1 B．C．x?y=4.5y2?x=1【答案】D【分析】設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，由題意可得y?x=4.5x?故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．【變式9-3】（2023·廣東深圳·中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，則下列方程正確的是（

）A．5y?11=7x7y?25=5x B．5x+11=7y7x+25=5y C．5x?11=7y7x?25=5y 【答案】C【分析】設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，根據(jù)“賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，根據(jù)題意得：5x?11=7y7x?25=5y故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10一元一次方程的應(yīng)用】【例10】（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問(wèn)：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問(wèn)：城中有多少戶人家？在這個(gè)問(wèn)題中，城中人家的戶數(shù)為（

）A．25 B．75 C．81 D．90【答案】B【分析】設(shè)城中有x戶人家，利用鹿的數(shù)量=城中人均戶數(shù)+13×【詳解】解：設(shè)城中有x戶人家，依題意得：x+1解得：x=75，∴城中有75戶人家．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023·山東東營(yíng)·中考真題）植樹(shù)節(jié)當(dāng)天，七年級(jí)1班植樹(shù)300棵，正好占這批樹(shù)苗總數(shù)的35，七年級(jí)2班植樹(shù)棵數(shù)是這批樹(shù)苗總數(shù)的15，則七年級(jí)2班植樹(shù)的棵數(shù)是（A．36 B．60 C．100 D．180【答案】C【分析】設(shè)這批樹(shù)苗一共有x棵，根據(jù)七年級(jí)1班植樹(shù)300棵，正好占這批樹(shù)苗總數(shù)的35【詳解】解：設(shè)這批樹(shù)苗一共有x棵，由題意得：35解得x=500，∴七年級(jí)2班植樹(shù)的棵數(shù)是500×1故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當(dāng)月月歷如圖）接到一份求購(gòu)5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨．日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930經(jīng)盤(pán)點(diǎn)目前公司已有該產(chǎn)品庫(kù)存2855件，補(bǔ)充原材料后，從本月7日開(kāi)始生產(chǎn)剩余數(shù)量的該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周日正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同．但因受高溫天氣影響，從本月10日開(kāi)始，每天的生產(chǎn)量比原來(lái)減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫(kù)存總量達(dá)3830件．如果按照10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果不能，請(qǐng)你給該公司生產(chǎn)部門提出一個(gè)合理的建議，以確保能按期交貨．【答案】不能，理由見(jiàn)解析，為確保按期交貨，從20日開(kāi)始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件【分析】設(shè)10日開(kāi)始每天生產(chǎn)量為x件，根據(jù)題意列出一元一次方程，繼而根據(jù)，如果按照公司10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，列出一元一次不等式，求得從20日開(kāi)始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件，即可求解．【詳解】解：設(shè)10日開(kāi)始每天生產(chǎn)量為x件，根據(jù)題意，得3x+25解得，x=100．如果按照公司10日開(kāi)始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，截止月底生產(chǎn)的天數(shù)為9天，因此該公司9天共可生產(chǎn)900件產(chǎn)品．因?yàn)?00+3830=4730<5000，所以不能按期完成訂單，由5000?3830÷9=130所以為確保按期交貨，從20日開(kāi)始每天的生產(chǎn)量至少達(dá)到130件．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程與不等式是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·山東濟(jì)寧·中考真題）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如下表：貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/輛）運(yùn)往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750(1)求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；(2)如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．①寫(xiě)出w與t之間的函數(shù)解析式；②當(dāng)t為何值時(shí)，w最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【答案】(1)甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛(2)①w=50t+22500；②t＝4時(shí)，w最小＝22700元【分析】（1）設(shè)甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據(jù)題意列一元一次方程即可求解；（2）①根據(jù)表格信息列出w與t之間的函數(shù)解析式；②根據(jù)所運(yùn)物資不少于160噸列出不等式，求得t的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值即可．（1）（1）設(shè)甲種貨車用x輛，則乙種貨車用（24－x）輛．根據(jù)題意，得16x＋12（24－x）＝328．解得x＝10．∴24－x＝24－10＝14．答：甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛．（2）①w=1200t+1000(12?t)+900(10?t)+750[14?(12?t)]=50t+22500．②∵16t+12(12?t)?160∴t?4∵50>0，∴w隨t的減小而減?。喈?dāng)t＝4時(shí)，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程，不等式與一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11二元一次方程（組）的應(yīng)用】【例11】（2023·浙江衢州·中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．問(wèn)1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為y克，列方程組，由消元法可得x的值為（

）5號(hào)電池（節(jié)）7號(hào)電池（節(jié)）總質(zhì)量（克）第一天2272第二天3296A．12 B．16 C．24 D．26【答案】C【分析】根據(jù)表格建立二元一次方程組，用消元法即可得到答案．【詳解】解：設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為y克，根據(jù)表格得2x+2y=72①由②-①得x=24，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程組是解本題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2023·黑龍江·中考真題）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)報(bào)名參加書(shū)法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購(gòu)買毛筆和圍棋（兩種都購(gòu)買）共花費(fèi)360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購(gòu)買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】設(shè)設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x(chóng)，y均為正整數(shù)即可得出購(gòu)買方案的數(shù)量．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-34x又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=4y=15或x=8y=12或x=12y=9或x=16∴班長(zhǎng)有5種購(gòu)買方案．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)360元”，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】C【分析】設(shè)使用A食品盒x個(gè)，使用B食品盒y個(gè)，根據(jù)題意列出方程，求解即可．【詳解】設(shè)使用A食品盒x個(gè)，使用B食品盒y個(gè)，根據(jù)題意得，8x+10y=200，∵x、y都為正整數(shù)，∴解得x=20y=4，x=15y=8，x=10y=12∴一共有4種分裝方式；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題意列出方程．【變式11-3】（2023·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元(2)共有6種進(jìn)貨方案(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（1）設(shè)A種紀(jì)念品單價(jià)為a元，B種紀(jì)念品單價(jià)為b元根據(jù)題意，得10a+5b=10005a+3b=550

解得∴購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)根據(jù)題意，得50x+100y=10000變形得y=100?由題意得：x≥6100?由①得：x?150由②得：x?160∴150?x?160∵x，y均為正整數(shù)∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20∴共有6種進(jìn)貨方案.（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元?jiǎng)tW=20x+30y=5x+3000∵5>0∴W隨x的增大而增大∴當(dāng)x=160時(shí)，W有最大值：5×160+3000=3800（元）∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12三元一次方程組的應(yīng)用】【例12】（2023·重慶市開(kāi)州區(qū)德陽(yáng)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在剛剛結(jié)束的端午節(jié)中，商家為了實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展途徑．某商家推出了三種禮盒進(jìn)行售賣，某商家將甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋共22個(gè)，搭配為A，B，C三種禮盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)甜味粽，3個(gè)肉餡粽，1個(gè)咸鴨蛋；B盒中甜