人教版七年級數(shù)學下冊專題07乘法公式與多項式的因式分解重難點題型專訓(原卷版+解析)

專題07乘法公式與多項式的因式分解重難點題型專訓【題型目錄】題型一運用平方差公式進行運算問題題型二運用完全平方公式進行運算問題題型三乘法公式在幾何圖形中的應用題型四整式的混合運算題型五提公因式法分解因式題型六運用公式法分解因式題型七十字相乘法題型八分組分解法題型九因式分解的應用【經典例題一運用平方差公式進行運算問題】知識點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例1】(2023秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）化簡的結果是（

）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】（2023春·七年級課時練習）計算，結果的個位數(shù)字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【變式2】(2023秋·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）若，則的值為________．【變式3】（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是______（用，表示）；(2)請利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計算：．【經典例題二運用完全平方公式進行運算問題】知識點一、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識點二、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.知識點三、補充公式；；；.【例2】（2023春·七年級課時練習）觀察下列各式及其展開式：請你猜想的展開式第三項的系數(shù)是（

）；；；；A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】(2023秋·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤鬭+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【變式2】(2023秋·山東東營·九年級東營市東營區(qū)實驗中學校考期末）南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律如下，后人也將右表稱為“楊輝三角”則展開式中所有項的系數(shù)和是________．…【變式3】(2023秋·重慶璧山·八年級?？计谀┰趯W習分式這一章節(jié)時，璧山中學的小宏在網上查找資料時看到了這樣一個的問題：“已知，求的值．”小宏在向老師請教之后，給出了如下做法：∵，∴，故．又∵，（分子分母同時除以）且，∴原分式的值為．(1)若，根據(jù)小宏的解答，求的值．(2)小宏在解決上述問題后，結合學過的完全平方公式有了新的想法：∵恒成立，且，∴也是恒成立的．∴．”小宏根據(jù)上述結論得到：“就應該恒成立，∴的最小值為．”結合兩段材料，求的最小值，并求此時的取值．【經典例題三乘法公式在幾何圖形中的應用】【例3】(2023春·浙江·七年級期中）如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有A、B、C三種不同型號的卡片，每種各10張．A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是相鄰兩邊長分別為a、b的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形．從中取出若干張卡片（每種卡片至少一張），把取出的這些卡片拼成一個正方形，所有符合要求的正方形的個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】(2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：？【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出______=______（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展應用】根據(jù)以上結論，計算：的結果為________．【變式3】(2023秋·四川巴中·八年級?？茧A段練習）如圖a是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀，拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①．方法②；(2)觀察圖b，請你寫出三個代數(shù)式，，mn之間的等量關系是；(3)若，，利用（2）題中提供的等量關系計算：；(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來解釋，如圖C，它表示了，現(xiàn)有一個代數(shù)恒等式，請用一個幾何圖形的面積來解釋它的正確性．【經典例題四整式的混合運算】【例4】（2023春·七年級課時練習）已知實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1】(2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校⒍囗検匠院蟮蒙淌剑嗍綖?，則的值為（

）A．3 B．23 C．25 D．29【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）請同學運用計算，解決問題：已知x、y、z滿足，求的最大值是______．【變式3】（2023秋·北京海淀·七年級人大附中?？计谀τ诖鷶?shù)式，不同的表達形式能表現(xiàn)出它的不同性質．例如代數(shù)式，若將其寫成的形式，就能看出不論字母取何值，它都表示正數(shù)；若將它寫成的形式，就能與代數(shù)式建立聯(lián)系．下面我們改變的值，研究一下，兩個代數(shù)式取值的規(guī)律：x﹣2﹣10123105212517p5212(1)表中p的值是；(2)觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：若時，，則時，．我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時延后值為1．①若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應的延后值為2，求代數(shù)式D；②已知代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，請直接寫出的值．【經典例題五提公因式法分解因式】知識點一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.知識點二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【例5】(2023春·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知，那么代數(shù)式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【變式訓練】【變式1】(2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校?？茧A段練習）已知a、b、c是正整數(shù)，且，，則等于（

）A．1 B．1或7 C．－1 D．－1或－7【變式2】(2023秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）已知，，，那么代數(shù)式的值是______．【變式3】（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程解：設①，將①帶入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______方法；(2)老師說，小涵因式分解的結果不徹底，請你通過計算得出該因式分解的最后結果；(3)請你用“換元法”對多項式進行因式分解【經典例題六運用公式法分解因式】知識點一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點二、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例6】(2023·內蒙古包頭·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【變式訓練】【變式1】(2023·山西·八年級統(tǒng)考階段練習）多項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·全國·九年級專題練習）若a+b=2，ab=3，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為________．【變式3】(2023春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務．把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）．它是中學數(shù)學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具．把分解因式．該因式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，再將此項減去，即可得．這種方法叫填項法．任務：請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)；(2)．【經典例題七十字相乘法】知識點一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)的正負再確定的符號（2）若中的為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.知識點二、首項系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，常數(shù)項可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數(shù)，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.【例7】(2023秋·全國·八年級專題練習）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【變式訓練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習）因式分解，甲看錯了a的值，分解的結果是，乙看錯了b的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為（

）．A． B．C． D．【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下面材料：分解因式：．因為，設．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問題：在有理數(shù)范圍內，分解因式________．【變式3】(2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）利用多項式乘以多項式的法則，可以計算，反過來．請仔細觀察，一次項系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項是這兩數(shù)之積，二次項系數(shù)是1，具有這種特點的二次三項式可利用進行因式分解．根據(jù)上述閱讀，解決下列問題：(1)已知關于x的二次三項式有一個因式是，求另一個因式和k的值；(2)甲，乙兩人在對二次三項式進行因式分解時，甲看錯了一次項系數(shù)，分解的結果為，乙看錯了常數(shù)項，分解的結果為，求這個二次三項式，并將其進行正確的因式分解．【經典例題八分組分解法】知識點一、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式知識點二：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.【例8】(2023秋·八年級單元測試）已知實數(shù)m，n，p，q滿足，，則（

）A．48 B．36 C．96 D．無法計算【變式訓練】【變式1】(2023春·全國·八年級專題練習）若實數(shù)x滿足x2-2x-1=0，則2x3-7x2+4x-2019的值為（

）A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021【變式2】(2023·北京·九年級專題練習）閱讀下面材料：分解因式：．因為，設．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問題：在有理數(shù)范圍內，分解因式________．【變式3】(2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列多項式的分解因式做法：①；②；③…(1)模仿以上做法，對分解因式；(2)觀察以上結果，猜想___________；（n為正整數(shù)，直接寫結果，不用驗證）(3)根據(jù)以上結論，試求的值．【經典例題九因式分解的應用】【例8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┮阎?，則多項式的值為（

）A．24 B．18 C． D．【變式訓練】【變式1】(2023秋·北京·八年級?？茧A段練習）在日常生活中，如取款、上網等都需要密碼，有一種利用“因式分解”法生成的密碼，方便記憶．如：對于多項式，因式分解的結果是，若取，時，則各個因式的值是：，，，于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，用上述方法生成的密碼可以是（

）A． B． C． D．【變式2】(2023秋·山東濟寧·八年級?？计谀┤鬭、b是的兩條邊的長度，且滿足，則面積的最大值是__________．【變式3】（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）我們把多項式及這樣的式子叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代數(shù)式的最小值．可知當時，有最小值．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不給分）(3)當x為何值時，多項式有最大值，并求出這個最大值．【培優(yōu)檢測】1．(2023秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）已知是完全平方式，則常數(shù)k等于（）A．8 B． C．16 D．8或2．（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┰O，是實數(shù)，定義一種新運算：．則下列結論中正確的有（

）①；②；③A．①②③ B．①② C．②③ D．①③3．(2023秋·重慶渝北·八年級重慶市兩江育才中學校?？计谀┮阎?，，則代數(shù)式的值為（

）A．8 B．18 C．19 D．254．(2023秋·北京海淀·七年級清華附中?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b，c滿足，，則（

）A． B． C． D．5．(2023春·甘肅蘭州·八年級校考期中）把多項式分解因式，結果是（

）A． B．C． D．6．(2023秋·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．(2023秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（

）A． B． C． D．8．(2023秋·全國·九年級專題練習）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－79．（2023秋·福建寧德·八年級校考階段練習）已知已知，，且，則值為_______．10．(2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若，，則的值為________．11．(2023秋·山東泰安·八年級校聯(lián)考期中）已知，，，則多項式的值為______．12．(2023春·江蘇常州·七年級?？计谥校┤鐖D，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和．現(xiàn)有這三種紙片各8張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_________．13．(2023春·福建三明·七年級校考階段練習）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是________．14．(2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是___________.15．（福建省漳州市2022—2023學年八年級上學期期末考試數(shù)學試卷）將兩數(shù)和（差）的平方公式：，通過適當?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學問題．例如：若，，求的值．解：，，．請根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問題：(1)若，，求的值；(2)將邊長為x的正方形和邊長為y的正方形按如圖所示放置，其中點D在邊上，連接，，若，，求陰影部分的面積．16．(2023秋·廣西南寧·八年級校考期中）閱讀材料：完全平方公式是．選取二次三項式中兩項，配成完全平方式的過程叫配方，例如：叫配方請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，將二次三項式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下圖1所示的長方形的長和寬分別是，，圖2所示的長方形的長和寬分別是，，請用含的式子分別表示兩個長方形的面積，，比較與的大小，并說明理由．17．(2023秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）【實踐探究】小明在學習“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊，進行實踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個拼成一個大長方體，如圖2，據(jù)此寫出一個多項式的因式分解：________________．【問題解決】(2)若要用這四種長方體拼成一個棱長為的正方體，需要②號長方體________個，③號長方體_____個，據(jù)此寫出一個多項式的因式分解：____________________．【拓展與延伸】(3)如圖3，在一個邊長為的正方體中挖出一個邊長為的正方體，據(jù)此寫出______________．18．(2023秋·寧夏銀川·九年級?？茧A段練習）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】(1)我們把多項式及叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小或最大問題．例如：，，．則這個代數(shù)式的最小值是______，這時相應的的值是______．【嘗試應用】(2)求代數(shù)式的最小或最大值，并寫出相應的的值．(3)已知，，是的三邊長，滿足，且是中最長的邊，求的取值范圍．19．（2023秋·河北邯鄲·八年級?？计谀╅喿x材料：我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數(shù)式的最小值：；又；當時，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長、、都是正整數(shù)，且滿足求邊長的最小值；(3)當、為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．20．(2023秋·全國·八年級專題練習）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．專題07乘法公式與多項式的因式分解重難點題型專訓【題型目錄】題型一運用平方差公式進行運算問題題型二運用完全平方公式進行運算問題題型三乘法公式在幾何圖形中的應用題型四整式的混合運算題型五提公因式法分解因式題型六運用公式法分解因式題型七十字相乘法題型八分組分解法題型九因式分解的應用【經典例題一運用平方差公式進行運算問題】知識點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例1】(2023秋·廣東梅州·八年級校考階段練習）化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可知，原式由兩個平方差公式組成，因此利用平方差公式計算即可．【詳解】解：故選：D．【點睛】本題考查平方差公式的運用，字母較多，計算時要小心謹慎．【變式訓練】【變式1】（2023春·七年級課時練習）計算，結果的個位數(shù)字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式將原式可化簡為．求出2的乘方的前幾項，總結出其個位數(shù)字依次為并依次循環(huán)出現(xiàn)．從而即得出的個位數(shù)字為6，進而得出的個位數(shù)字為5．【詳解】解：…．∵，，，，，…，即其個位數(shù)字依次為并依次循環(huán)出現(xiàn)．∵，∴的個位數(shù)字為6，∴的個位數(shù)字為．故選B．【點睛】本題考查平方差公式的應用，數(shù)字類變化規(guī)律．正確利用平方差公式化簡，并找出個位數(shù)字規(guī)律性的出現(xiàn)是解決問題的關鍵．【變式2】(2023秋·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）若，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)平方差公式進行分解，再計算能約分的直接約分即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式的應用，有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是巧用平方差公式達到簡化計算的目的．【變式3】（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是______（用，表示）；(2)請利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計算：．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）圖1陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長為，寬為的長方形，可表示其面積，由兩種方法所求的面積相等可得答案；（2）①根據(jù)平方差公式將轉化為，再根據(jù)，進而求出的值；②利用平方差公式將原式化為，進而得出即可．【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長為，寬為的長方形，因此面積為，由圖1、圖2的面積相等得，，故答案為：；（2）解：①，，又，，故答案為：4；②原式．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提．【經典例題二運用完全平方公式進行運算問題】知識點一、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：知識點二、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.知識點三、補充公式；；；.【例2】（2023春·七年級課時練習）觀察下列各式及其展開式：請你猜想的展開式第三項的系數(shù)是（

）；；；；A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出次冪展開項的系數(shù)規(guī)律，分別表示出的展開式，得到所求即可．【詳解】∵；；；；得到，則的展開式第三項的系數(shù)是，故選：C．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【變式訓練】【變式1】(2023秋·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤鬭+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由已知分別計算的值，然后逆用完全平方公式：，將所求式子化成含、、的形式，再代入計算即可．【詳解】a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，，又==，==3．故選D．【點睛】此題考查了代數(shù)式的求值，熟練逆用完全平方公式將所求代數(shù)式化成三個完全平方式的和是解此題的關鍵．【變式2】(2023秋·山東東營·九年級東營市東營區(qū)實驗中學?？计谀┠纤螖?shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律如下，后人也將右表稱為“楊輝三角”則展開式中所有項的系數(shù)和是________．…【答案】【分析】通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察題中例子的所有項系數(shù)之和，可得（n為非負整數(shù)）展開式的各項系數(shù)之和的規(guī)律．【詳解】解：分別計算，，，，，展開式的各項系數(shù)之和分別為：，，，，，，由此可得（n為非負整數(shù)）展開式的各項系數(shù)之和為：，∴展開式中所有項的系數(shù)和為：．故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式、展開式；關鍵在于觀察、分析已知數(shù)據(jù)，找出規(guī)律是解決問題的關鍵．【變式3】(2023秋·重慶璧山·八年級?？计谀┰趯W習分式這一章節(jié)時，璧山中學的小宏在網上查找資料時看到了這樣一個的問題：“已知，求的值．”小宏在向老師請教之后，給出了如下做法：∵，∴，故．又∵，（分子分母同時除以）且，∴原分式的值為．(1)若，根據(jù)小宏的解答，求的值．(2)小宏在解決上述問題后，結合學過的完全平方公式有了新的想法：∵恒成立，且，∴也是恒成立的．∴．”小宏根據(jù)上述結論得到：“就應該恒成立，∴的最小值為．”結合兩段材料，求的最小值，并求此時的取值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可以得到，再根據(jù)閱讀材料可將變形可得：；（2）根據(jù)閱讀材料可以得到的最小值是，進而得到，最后得出結論．【詳解】（1）解：∵∴∴∵且∴原分式的值為：；（2）解：∵∴的最小值是∴有最小值∴∴．【點睛】本題考查了配方法的應用，非負數(shù)的性質，解題是要注意配方法的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．【經典例題三乘法公式在幾何圖形中的應用】【例3】(2023春·浙江·七年級期中）如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，可得m+n=22，再根據(jù)長方形面積公式可得mn=120，再根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是靈活運用完全平方公式．【變式訓練】【變式1】(2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有A、B、C三種不同型號的卡片，每種各10張．A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是相鄰兩邊長分別為a、b的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形．從中取出若干張卡片（每種卡片至少一張），把取出的這些卡片拼成一個正方形，所有符合要求的正方形的個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】每一種卡片10張，并且每種卡片至少取1張，根據(jù)完全平方公式的特點可確定拼成的正方形的邊長可以為（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六種情況．【詳解】解：∵每一種卡片10張，并且每種卡片至少取1張拼成正方形，∴正方形的邊長可以為：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六種情況；（注意每一種卡片至少用1張，至多用10張）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1張，B卡片2張，C卡片1張；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1張，B卡片4張，C卡片4張；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1張，B卡片6張，C卡片9張；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4張，B卡片4張，C卡片1張；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4張，B卡片8張，C卡片4張；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9張，B卡片6張，C卡片1張；故選：C．【點睛】本題考查的是完全平方公式的意義和應用，面積法表示完全平方公式是解題的關鍵．【變式2】(2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：？【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出______=______（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展應用】根據(jù)以上結論，計算：的結果為________．【答案】規(guī)律探究；解決問題；；拓展應用或．【分析】規(guī)律探究：計算=36=大正方形面積，然后直接求大正方形面積即可；解決問題：轉化為大正方形面積，其邊長為1+2+3+…+n，再求面積化簡即可；拓展應用：提公因式8轉化為8（），再用規(guī)律計算即可【詳解】解：規(guī)律探究：=1+8+27=36=大正方形面積=；故答案為：62解決問題：由上面表示幾何圖形的面積探究知，，又，；故答案為：；拓展應用：，，．故答案為：或．【點睛】本題考查實踐探索問題，仔細觀察圖形與算式的關系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為立方數(shù)的和等于最大正方形面積，再利用面積公式求是解題關鍵．【變式3】(2023秋·四川巴中·八年級校考階段練習）如圖a是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀，拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①．方法②；(2)觀察圖b，請你寫出三個代數(shù)式，，mn之間的等量關系是；(3)若，，利用（2）題中提供的等量關系計算：；(4)實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來解釋，如圖C，它表示了，現(xiàn)有一個代數(shù)恒等式，請用一個幾何圖形的面積來解釋它的正確性．【答案】(1)，(2)(3)(4)見解析【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積可以看作正方形的面積減去四個長方形的面積或邊長為的正方形的面積，即可列式；（2）根據(jù)陰影部分的面積相等可得答案；（3）由（2）可得，代入，求值即可；（4）根據(jù)等式的意義畫出符合要求的圖形即可．【詳解】（1）解：方法①：大正方形的面積減去四個長方形的面積，即陰影部分的面積為，方法②：看作邊長為的正方形的面積，即陰影部分的面積為，故答案為：，（2）根據(jù)陰影部分的面積相等可得：，即，，mn之間的等量關系是：，故答案為：（3）由（2）可得，若，，則，∴，故答案為：（4）如圖所示，圖形面積可以表示為長為，寬為的大長方形的面積，即；還可看作四個正方形的面積與四個小長方形的面積之和，即，∴．【點睛】此題主要考查了整式的乘法與幾何圖形面積之間的聯(lián)系，從幾何的圖形來解釋多項式乘法的意義．解此類題目的關鍵是正確的分析圖形，找到組成圖形的各個部分，并用面積的兩種求法作為相等關系列式子．【經典例題四整式的混合運算】【例4】（2023春·七年級課時練習）已知實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡，再判斷出，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴（當時，取等號），∴，∴（當時，取等號），∴，∴，∴，∴，即的最小值為，故選：A．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化簡是解本題的關鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校⒍囗検匠院蟮蒙淌?，余式為0，則的值為（

）A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化簡，然后由整式的乘法、除法運算進行運算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【詳解】解：=；∵，∴，，，∴，，，∴；故選：D．【點睛】本題考查了整式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進行化簡．【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）請同學運用計算，解決問題：已知x、y、z滿足，求的最大值是______．【答案】12【分析】根據(jù)已知條件化簡，根據(jù)完全平方公式的非負性求得的最大值，進而即可求解．【詳解】，；∵，∴原式==,∴原式．故原式的最大值是12.故答案為：12【點睛】本題考查運用已知公式，及平方的非負性，掌握靈活運用題中給的公式是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·北京海淀·七年級人大附中?？计谀τ诖鷶?shù)式，不同的表達形式能表現(xiàn)出它的不同性質．例如代數(shù)式，若將其寫成的形式，就能看出不論字母取何值，它都表示正數(shù)；若將它寫成的形式，就能與代數(shù)式建立聯(lián)系．下面我們改變的值，研究一下，兩個代數(shù)式取值的規(guī)律：x﹣2﹣10123105212517p5212(1)表中p的值是；(2)觀察表格可以發(fā)現(xiàn)：若時，，則時，．我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時延后值為1．①若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應的延后值為2，求代數(shù)式D；②已知代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，請直接寫出的值．【答案】(1)10(2)①；②7【分析】（1）將代入即可求得；（2）①；②由①可得，設延后值為，，則可求．【詳解】（1）解：將代入得，，故答案為：10；（2）代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，相應的延后值為2，，，^；②代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，設延后值為，時，，時，，，，，，，故答案為7．【點睛】本題考查代數(shù)式求值和數(shù)字的變化規(guī)律；理解題意，能夠準確地列出代數(shù)式，并進行求解即可．【經典例題五提公因式法分解因式】知識點一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.知識點二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【例5】(2023春·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知，那么代數(shù)式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【分析】先將化為，再將轉化為，再將代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查代數(shù)式求值、提公因式法分解因式，利用整體代入求解是解答的關鍵．【變式訓練】【變式1】(2023春·福建廈門·八年級廈門外國語學校?？茧A段練習）已知a、b、c是正整數(shù)，且，，則等于（

）A．1 B．1或7 C．－1 D．－1或－7【答案】B【分析】此題先把a2?ab?ac+bc=7因式分解，再結合a、b、c都是正整數(shù)和a>b，探究它們的可能值，從而求解．【詳解】解：根據(jù)已知a2?ab?ac+bc=7，即a(a?b)?c(a?b)=7，(a?b)(a?c)=7，∵a>b，∴a?b>0，∴a?c>0，∵a、b、c都是正整數(shù)，∴a?c=1或a?c=7，故選：B．【點睛】此題考查了因式分解；能夠借助因式分解分析字母的取值范圍是解決問題的關鍵．【變式2】(2023秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）已知，，，那么代數(shù)式的值是______．【答案】【分析】根據(jù)代數(shù)式的結構，分解成，然后計算出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】，又由，，，得：，同理得：，，原式．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用，根據(jù)條件化簡是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程解：設①，將①帶入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______方法；(2)老師說，小涵因式分解的結果不徹底，請你通過計算得出該因式分解的最后結果；(3)請你用“換元法”對多項式進行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【分析】（1）根據(jù)因式分解的方法判斷即可；（2）因式分解必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止，將因式分解成即可；（3）用換元法設，代入多項式，然后仿照題干的換元法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得：從到運用了因式分解中的提取公因式法故答案為：提取公因式（2）解：由題意得：（3）解：設，將代入中得：原式【點睛】本題考查了因式分解的方法和運用，解題關鍵是靈活運用換元法對較為復雜的多項式進行因式分解，達到去繁化簡的效果．【經典例題六運用公式法分解因式】知識點一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點二、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例6】(2023·內蒙古包頭·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的方法，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法和步驟進行判斷．【變式訓練】【變式1】(2023·山西·八年級統(tǒng)考階段練習）多項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把多項式進行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴多項式與的公因式是；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法，正確的求出多項式的公因式．【變式2】(2023·全國·九年級專題練習）若a+b=2，ab=3，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為________．【答案】12【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方公式進行分解，分解后再代入a+b＝2，ab＝3求值即可．【詳解】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2a+b=2，ab=3∴原式=ab（a+b）2=3×22=3×4=12故答案為：12．【點睛】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．【變式3】(2023春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務．把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）．它是中學數(shù)學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具．把分解因式．該因式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，再將此項減去，即可得．這種方法叫填項法．任務：請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式仿照題意添一項，再減去，利用乘法公式分解因式即可；（2）仿照題意求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解題的關鍵．【經典例題七十字相乘法】知識點一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)的正負再確定的符號（2）若中的為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.知識點二、首項系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，常數(shù)項可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數(shù)，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.【例7】(2023秋·全國·八年級專題練習）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩個一次多項式的兩個一次項的乘積得到結果中的二次項，兩個常數(shù)項的積得到結果中的常數(shù)項，從而可判斷出另一個因式，再利用整式的乘法進行計算，即可得到答案．【詳解】解：多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式，由多項式的乘法運算法則可得另一個因式的一次項為常數(shù)項為故選：A【點睛】本題考查的是因式分解的應用，整式乘法與因式分解的關系，理解題意得出多項式的另一個因式為是解本題的關鍵．【變式訓練】【變式1】(2023秋·全國·八年級專題練習）因式分解，甲看錯了a的值，分解的結果是，乙看錯了b的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)甲看錯了a的值，將分解的結果展開，能求出正確的b的值，乙看錯了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【詳解】解：∵甲看錯了a的值∴b是正確的∵=∴b=-6∵乙看錯了b的值∴a是正確的∵=∴a=-1∴=故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練因式分解以及計算是解決本題的關鍵．【變式2】(2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下面材料：分解因式：．因為，設．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問題：在有理數(shù)范圍內，分解因式________．【答案】【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再設，比較系數(shù)得到，解方程組即可求解．【詳解】解：∵，設，比較系數(shù)得，，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查分組分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式3】(2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）利用多項式乘以多項式的法則，可以計算，反過來．請仔細觀察，一次項系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項是這兩數(shù)之積，二次項系數(shù)是1，具有這種特點的二次三項式可利用進行因式分解．根據(jù)上述閱讀，解決下列問題：(1)已知關于x的二次三項式有一個因式是，求另一個因式和k的值；(2)甲，乙兩人在對二次三項式進行因式分解時，甲看錯了一次項系數(shù)，分解的結果為，乙看錯了常數(shù)項，分解的結果為，求這個二次三項式，并將其進行正確的因式分解．【答案】(1)另一個因式為；k的值為(2)；【分析】（1）設，根據(jù)定義對應系數(shù)相等即可解得．（2）把，，依次展開，分別取正確的常數(shù)項和一次項系數(shù)．【詳解】（1）設∴，，∴，∴另一個因式為，k的值是．（2），，由題意得：，，∴這個二次三項式是．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式的法則、因式分解，解題的關鍵是讀懂題意，熟悉運算規(guī)則．【經典例題八分組分解法】知識點一、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式知識點二：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.【例8】(2023秋·八年級單元測試）已知實數(shù)m，n，p，q滿足，，則（

）A．48 B．36 C．96 D．無法計算【答案】A【分析】先利用單項式乘以多項式法則將要求值的多項式進行整理，將題目所給的有確定值的式子進行變形，得出所需要的式子的值，運用整體代入法既可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的綜合運用，解題的關鍵是對條件所給的式子變形要有方向性和目的性，同時要掌握分組分解法對式子進行因式分解．【變式訓練】【變式1】(2023春·全國·八年級專題練習）若實數(shù)x滿足x2-2x-1=0，則2x3-7x2+4x-2019的值為（

）A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021【答案】C【分析】先將x2-2x-1=0變形為x2-2x=1，再將要求的式子逐步變形，將x2-2x=1整體代入降次，最后可化簡求得答案．【詳解】解：∵x2-2x-1=0，∴x2-2x=1，∵2x3-7x2+4x-2019=2x3-4x2-3x2+4x-2019，=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，=6x-3x2-2019，=-3（x2-2x）-2019=-3-2019=-2022，故選：C．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知條件的形式是解題的關鍵，整體代入思想的利用比較重要．【變式2】(2023·北京·九年級專題練習）閱讀下面材料：分解因式：．因為，設．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問題：在有理數(shù)范圍內，分解因式________．【答案】【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再設，比較系數(shù)得到，解方程組即可求解．【詳解】解：設比較系數(shù)得，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查分組分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式3】(2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列多項式的分解因式做法：①；②；③…(1)模仿以上做法，對分解因式；(2)觀察以上結果，猜想___________；（n為正整數(shù)，直接寫結果，不用驗證）(3)根據(jù)以上結論，試求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）按照給定例題的步驟因式分解即可；（2）依據(jù)（1）中的結果即可確定；（3）根據(jù)（2）中的結論可得，，從而有，，而，進一步計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：根據(jù)（1）結果，可得，（3）解：，．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了分組法進行因式分解與數(shù)式規(guī)律探究，找出因式分解的規(guī)律是解題的關鍵．【經典例題九因式分解的應用】【例8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中校考期末）已知，則多項式的值為（

）A．24 B．18 C． D．【答案】D【分析】先將進行因式分解，然后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及因式分解的應用，解決本題關鍵是正確完成分解因式．【變式訓練】【變式1】(2023秋·北京·八年級校考階段練習）在日常生活中，如取款、上網等都需要密碼，有一種利用“因式分解”法生成的密碼，方便記憶．如：對于多項式，因式分解的結果是，若取，時，則各個因式的值是：，，，于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，用上述方法生成的密碼可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先對多項式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把數(shù)值代入計算，即可確定出密碼．【詳解】解：，當，時，，，，∴上述方法生成的密碼可以是．故選：D【點睛】本題考查了因式分解的應用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，屬于閱讀型的新定義題，其中根據(jù)閱讀材料得出產生密碼的方法是解本題的關鍵．【變式2】(2023秋·山東濟寧·八年級?？计谀┤鬭、b是的兩條邊的長度，且滿足，則面積的最大值是__________．【答案】【分析】利用因式分解得到，利用非負性，求出的值，再根據(jù)兩條邊互相垂直時，三角形的面積最大，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，設：，∵直角三角形的斜邊大于直角邊，∴邊上高，∴當時，的面積最大，最大值為；故答案為：．【點睛】本題考查因式分解的應用，以及非負性．熟練掌握因式分解的方法，以及非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）我們把多項式及這樣的式子叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代數(shù)式的最小值．可知當時，有最小值．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不給分）(3)當x為何值時，多項式有最大值，并求出這個最大值．【答案】(1)，(2)(3)當時，多項式有最大值，最大值為5【分析】（1）兩式利用完全平方公式判斷即可得到結果；（2）原式變形后，利用完全平方公式配方得到結果，分解即可；（3）原式變形后，利用完全平方公式變形，再利用非負數(shù)的性質得出有最大值，并求出最大值即可．【詳解】（1）；故答案為：；（2）；（3），∵，∴，即，則當時，多項式有最大值，最大值為5．【點睛】此題考查了因式分解的應用，以及完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【培優(yōu)檢測】1．(2023秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）已知是完全平方式，則常數(shù)k等于（）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【分析】由已知條件設出一個完全平方式，并將其展開，使其與相等，即可得到關于和的方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】∵是完全平方式∴∴∴解得故選：D．【點睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握公式是解題的關鍵．2．（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┰O，是實數(shù)，定義一種新運算：．則下列結論中正確的有（

）①；②；③A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】B【分析】利用新運算的意義對每個選項的結論進行逐一驗證即可得出結論．【詳解】解：，故①正確；，，故②正確；，，∴，故③錯誤；故選：B【點睛】本題主要考查了乘法公式，本題是新定義型題目，理解并熟練應用題干中的新定義是解題的關鍵．3．(2023秋·重慶渝北·八年級重慶市兩江育才中學校?？计谀┮阎?，則代數(shù)式的值為（

）A．8 B．18 C．19 D．25【答案】C【分析】原式利用完全平方公式變形后，將已知等式代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，，∴，故選：C．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．(2023秋·北京海淀·七年級清華附中?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b，c滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，再求得得，進一步求出，，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，整理，得，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，把，，代入得：原式，故選：C．【點睛】本題考查了利用乘法公式變形求值，解題的關鍵是利用乘法公式得到．5．(2023春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┌讯囗検椒纸庖蚴剑Y果是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解因式．【詳解】解：，故選：D．【點睛】此題考查了利用提公因式法和公式法分解因式，正確掌握分解因式的方法是解題的關鍵．6．(2023秋·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】將變形為，分別計算，，，代入，即可．【詳解】解：，，，，故選：D．【點睛】本題考查完全平方公式的應用，熟練運用完全平方公式將目標代數(shù)式變形是解題關鍵．7．(2023秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，根據(jù)圖形因式分解即可．【詳解】解：如下圖：，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的應用，能夠根據(jù)所給的單項式畫出幾何圖形，利用等積法進行因式分解是解題的關鍵．8．(2023秋·全國·九年級專題練習）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－7【答案】A【分析】三個式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，∴a+b-c=3-1-1=1．故選：A．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值和完全平方公式，解題關鍵是通過等式變形化成完全平方式，根據(jù)非負數(shù)的性質求出的值，準確進行計算．9．（2023秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習）已知已知，，且，則值為_______．【答案】7【分析】首先求出的值，再根據(jù)求出的值．【詳解】解：①，②，①②，得，，，因為，所以，即③，①②，得，④，③平方，得⑤，⑤④，得，，．【點睛】本題主要考查因式分解的運用，求出的值是解答本題的關鍵．10．(2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若，，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)兩式相加可得，即可求解的值【詳解】解：∵，，∴，即∴故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．11．(2023秋·山東泰安·八年級校聯(lián)考期中）已知，，，則多項式的值為______．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，，，再利用提公因式法原式可變形為，再利用完全平方公式可變形為，然后代入，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴故答案為：3【點睛】本題是因式分解的應用，解題的關鍵是利用因式分解把所求代數(shù)式進行變形．12．(2023春·江蘇常州·七年級?？计谥校┤鐖D，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和．現(xiàn)有這三種紙片各8張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_________．【答案】4【分析】根據(jù)完全平方公式進行判斷，畫出相應的圖形即可．【詳解】解：①，即可以用甲、丙正方形紙片各1張，乙長方形紙片2張拼成一個邊長為的正方形；②，即可以用甲正方形紙片1張，乙長方形紙片4張，丙正方形紙片4張，拼成一個邊長為的正方形；③，即可以用甲正方形紙片4張，乙長方形紙片4張，丙正方形紙片1張，拼成一個邊長為的正方形；④，即可以用甲正方形紙片4張，乙長方形紙片8張，丙正方形紙片4張，拼成一個邊長為的正方形；共有4種不同的正方形．故答案為：4．【點睛】本題主要考查完全平方公式的應用，關鍵是根據(jù)題意得出甲、乙、丙的面積，然后結合正方形的面積進行拼圖即可．13．(2023春·福建三明·七年級?？茧A段練習）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是________．【答案】4【分析】將乘以（2－1），然后用平方差公式計算，再用列舉法找出的個位數(shù)的規(guī)律，推出A的個位數(shù)，再代入式子計算即可．【詳解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232；∵，，，，，，，；∴尾數(shù)是2，4，8，6，……四個一循環(huán)，∵32÷4=8，∴232的末位數(shù)字是6，即A的末位數(shù)字是6，則A－2022的末位數(shù)字是4．故答案為：4．【點睛】本題考查了平方差公式、數(shù)字規(guī)律等知識點，根據(jù)題意湊出平方差公式以及發(fā)現(xiàn)尾數(shù)是2，4，8，6，……四個一循環(huán)是解答本題的關鍵．14．(2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是___________.【答案】【分析】依次觀察前幾個圖形以及正方形的個數(shù)，進而歸納得到拼成第個圖形需要個正方形，即可得出結論．【詳解】第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由個小正方形拼成；第3個圖形由個小正方形拼成，……拼成第個圖形需要個正方形，拼成第個圖形需要個正方形，，解得：；故答案為：．【點睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形得出小正方形的變化規(guī)律是解題的關鍵．15．（福建省漳州市2022—2023學年八年級上學期期末考試數(shù)學試卷）將兩數(shù)和（差）的平方公式：，通過適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學問題．例如：若，，求的值．解：，，．請根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問題：(1)若，，求的值；(2)將邊長為x的正方形和邊長為y的正方形按如圖所示放置，其中點D在邊上，連接，，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）兩邊平方，可得，將已知帶入求解即可；（2）運用割補法陰影部分的面積為：，根據(jù)面積公式結合題意化簡整理得，將已知代入計算即可．【詳解】（1）解：，，，，；（2）陰影部分的面積為：，，．【點睛】本題考查了整式的運算；掌握完全平方公式和整式的運算法則是解題的關鍵．16．(2023秋·廣西南寧·八年級?？计谥校╅喿x材料：完全平方公式是．選取二次三項式中兩項，配成完全平方式的過程叫配方，例如：叫配方請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，將二次三項式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下圖1所示的長方形的長和寬分別是，，圖2所示的長方形的長和寬分別是，，請用含的式子分別表示兩個長方形的面積，，比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)2，5，>(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的形式配方求解即可；（2）分別表示出，，然后利用作差法求解即可．【詳解】（1）∵∴故答案為：2，5，>；（2）∴∵∴∴．【點睛】此題考查了完全平方公式的運用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式的形式．17．(2023秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）【實踐探究】小明在學習“因式分解”時，