2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編(安徽卷)02挑戰(zhàn)壓軸題(填空題)(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）1．(2023·安徽）設(shè)拋物線，其中a為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______；（2）將拋物線向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是______．2．（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再將分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)落在上的同一點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列探究：的大小為_(kāi)_________；當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)的值為_(kāi)_________．3．（安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線l分別于函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖像相交于P，Q兩點(diǎn).若平移直線l，可以使P，Q都在x軸的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______5．(2023·安徽）在三角形紙片ABC中，，，.將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（如圖1），剪去后得到雙層（如圖2），再沿著邊某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形.則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm.1．(2023·吉林·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)、在線段上，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線交拋物線于、兩點(diǎn)，連接，若四邊形是矩形，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_．2．(2023·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段AB和線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=CG，若DE=1，AB=2，則DF+DG的最小值為_(kāi)_____．3．(2023·重慶一中三模）如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，連接ED，將△EDB沿DE翻折，得到△DEP，連接PC，PB，PA，若DP經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F，且PC＝2，則△AFP的面積是_____．4．(2023·貴州遵義·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，0），直線l：yx與x軸交于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABA1，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1x軸，交直線l于點(diǎn)B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過(guò)點(diǎn)A2作A2B2x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類推……，則點(diǎn)A2020的縱坐標(biāo)是__．5．(2023·河南南陽(yáng)·三模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，菱形CDEF的邊CF在邊AC上，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交BE于點(diǎn)G，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，如果∠A＝60°，則線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___，如果∠A＝90°，AB＝2＋2，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)___．1．(2023·河南濮陽(yáng)·一模）如圖，有一張矩形紙條ABCD，AB＝5，,點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD，CN＝1．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)，處，在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊與邊CD交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)___．2．(2023·安徽安慶·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖．直線與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上、連結(jié)OP，且滿足，則當(dāng)______度時(shí)，線段OQ的最小值為_(kāi)_____．3．(2023·四川巴中·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，將△ABO沿著AC折疊得到ΔAB′O，B′O與AD相交于點(diǎn)E，則OE的長(zhǎng)是______．4．(2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，三點(diǎn)，其中，函數(shù)的圖象分別與線段BC，AC交于點(diǎn)P，Q．若，則t的值為_(kāi)_____．5．(2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題）太極推盤是一種常見(jiàn)的健身器材（如圖1），轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)圓盤便能鍛煉身體．取推盤上半徑均為0.4米的圓A與圓B（如圖2）且AB=1米，圓A繞圓心A以2°每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，圓B繞圓心B以2°每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)圓A上的點(diǎn)C恰好落在線段AB上，圓B上的點(diǎn)D在AB下方且滿足∠DBA=60°，則在兩圓同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的30秒內(nèi)，CD的最小值是_______米．2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）1．(2023·安徽）設(shè)拋物線，其中a為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______；（2）將拋物線向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是______．【答案】

0

2【解析】【分析】（1）直接將點(diǎn)代入計(jì)算即可（2）先根據(jù)平移得出新的拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，再通過(guò)配方得出最值【詳解】解：（1）將代入得：故答案為：0（2）根據(jù)題意可得新的函數(shù)解析式為：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得新拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：∵∴當(dāng)a=1時(shí)，有最大值為8，∴所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、將點(diǎn)代入代入函數(shù)解析式、利用配方法求最值是常用的方法2．（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再將分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)落在上的同一點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列探究：的大小為_(kāi)_________；當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)的值為_(kāi)_________．【答案】30【分析】（1）根據(jù)折疊得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，進(jìn)而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折疊，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；（2）根據(jù)題意得到DC∥AP，從而證明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，結(jié)合（1）中結(jié)論，設(shè)QR=a，則AP=2a，由勾股定理表達(dá)出AB=AQ=即可解答．【詳解】解：（1）由題意可知，∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，由折疊可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，∴∠B=90°，則∠A=180°-∠B=90°，由折疊可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，故答案為：30；（2）若四邊形APCD為平行四邊形，則DC∥AP，∴∠CQP=∠APQ，由折疊可知：∠CQP=∠PQR，∴∠APQ=∠PQR，∴QR=PR，同理可得：QR=AR，即R為AP的中點(diǎn)，由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，設(shè)QR=a，則AP=2a，∴QP=，∴AB=AQ=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形中的折疊問(wèn)題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉折疊的性質(zhì)．3．（安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線l分別于函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖像相交于P，Q兩點(diǎn).若平移直線l，可以使P，Q都在x軸的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______【答案】a＞1或a＜-1【解析】【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情況討論，聯(lián)立不等式，即可得到a的取值范圍.【詳解】解：∵直線l分別與函數(shù)y=x-a+1和y=x2-2ax的圖像相交于P，Q兩點(diǎn)，且都在x軸的下方，∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，令y=x2-2ax＜0，當(dāng)a＞0時(shí),解得：0＜x＜2a；當(dāng)a＜0時(shí)，解得：2a＜x＜0，①當(dāng)a＞0時(shí)，若有解，則，解得：a＞1，②當(dāng)a＜0時(shí)，若有解，則，解得：a＜-1，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1或a＜-1.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想是解題關(guān)鍵.4．（安徽省2018年中考數(shù)學(xué)試題）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長(zhǎng)為數(shù)___________.【答案】3或1.2【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，繼而可確定點(diǎn)P在BD上，然后再根據(jù)△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP兩種情況進(jìn)行討論即可得.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴點(diǎn)P在BD上，如圖1，當(dāng)DP=DA=8時(shí)，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1.2；如圖2，當(dāng)AP=DP時(shí)，此時(shí)P為BD中點(diǎn)，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；綜上，PE的長(zhǎng)為1.2或3，故答案為1.2或3.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，確定出點(diǎn)P在線段BD上是解題的關(guān)鍵.5．(2023·安徽）在三角形紙片ABC中，，，.將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（如圖1），剪去后得到雙層（如圖2），再沿著邊某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形.則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm.【答案】或【解析】【詳解】試題解析：先判斷該平行四邊形是菱形，在求出周長(zhǎng)，注意分類討論.（1）作所得的平行四邊形的周長(zhǎng)為40cm.（2）作所得的平行四邊形的周長(zhǎng)為cm.考點(diǎn)：菱形的判定及性質(zhì).1．(2023·吉林·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)、在線段上，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線交拋物線于、兩點(diǎn)，連接，若四邊形是矩形，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】2【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C（m,4），根據(jù)四邊形是矩形，可證EF∥x軸，F(xiàn)、E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，根據(jù)、兩點(diǎn)在拋物線上，得出F，E關(guān)于y軸對(duì)稱，可證點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-m，4)根據(jù)，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)函數(shù)解析式列方程，解方程即可．【詳解】解：把代入中得，解得，，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)C（m,4），∵四邊形是矩形，∴EF∥CD即EF∥AB，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，∴AB∥x軸，∴EF∥x軸，F(xiàn)、E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，∵、兩點(diǎn)在拋物線上，∴F，E關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-m，4)，則，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得（舍或．．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，矩形性質(zhì)，軸對(duì)稱判定與性質(zhì)，根據(jù)矩形性質(zhì)得出FE∥x軸，利用點(diǎn)F的坐標(biāo)特征列方程是解題關(guān)鍵．2．(2023·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段AB和線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=CG，若DE=1，AB=2，則DF+DG的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD證明四邊形ABCD是菱形．在AC上取點(diǎn)B'，使AB'=AB，連接FB'，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'F、DD'．作BH⊥CD于點(diǎn)H，作BM⊥DD'于點(diǎn)M，則△B'AF≌△DCG（SAS），得出B'F=DG，所以DF+DG=D'F+B'F，當(dāng)B'、F、D'三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，DF+DG=D'F+B'F取最小值為B'D'．再根據(jù)勾股定理求出B'D'即可．【詳解】解：連接BC，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DCA=∠DAC，

∴DA=DC，同理：DA=BA，∴DC=AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形ABCD是菱形．如圖．在AC上取點(diǎn)B'，使AB'=AB，連接FB'，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'F、DD'．作B'H⊥CD于點(diǎn)H，作B'M⊥DD'于點(diǎn)M．∴DF=D'F，∵AF=CG，∠B'AF=∠DCG，AB'=AB=CD，∴△B'AF≌DCG（SAS），∴B'F=DG，∴DF+DG=D'F+B'F，∴當(dāng)B'、F、D'三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，DF+DG=D'F+B'F取最小值為B'D'．∵DE=1，AD=AB=2，∴∠DAE=30°，∠ADE=60°，∴AC=AD=2，CB'=2-2，∴B'H=B'C=-1，CH=B'H=3-，∴DH=DC-CH=2-（3-）=?1，∵四邊形DHB′M是矩形∴DM=B'H=-1，MB′=DH=,∴D'M=DD'-DM=AD-DM=2-（-1）=+1，∴D'B'=．即DF+DG的最小值為2．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段之和最小值問(wèn)題，作輔助線推出△B'AF≌△DCG是解題的關(guān)鍵．3．(2023·重慶一中三模）如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，連接ED，將△EDB沿DE翻折，得到△DEP，連接PC，PB，PA，若DP經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F，且PC＝2，則△AFP的面積是_____．【答案】##【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)ED與BP交于點(diǎn)O，可得四邊形BDPE為平行四邊形，而B(niǎo)D＝DP，故平行四邊形BDPE為菱形，即得EP＝BD＝BE＝CD＝5，BP⊥ED，又四邊形EPCD為平行四邊形，推出ED＝PC＝2，證明四邊形EDPG是平行四邊形，可得PF是△ACG中位線，從而PFAG＝1，在Rt△BOE中，BO＝2，即知S△BDEDE?BO＝2BE?DM，推出DM，根據(jù)△AFP與△BDE等高，即可得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)ED與BP交于點(diǎn)O，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴DP∥BE，∴∠EBD＝∠PDC，又∵∠EPD＝∠EBD，∴∠EPD＝∠PDC，∴EP∥BD，∴四邊形BDPE為平行四邊形，

又∵BD＝DP，∴平行四邊形BDPE為菱形，∴EP＝BD＝BE＝DP＝CD＝5，BP⊥ED，∴四邊形EPCD為平行四邊形，∴ED＝PC＝2，ED∥CP，∵DP∥BE，即DP∥EG，∴四邊形EDPG是平行四邊形，∴EG＝DP＝5，PG＝ED＝2，∴PG＝CP，∴PF是△ACG中位線，

∵AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，∴AG＝EG﹣AE＝5﹣3＝2，∴PFAG＝1，在Rt△BOE中，BE＝BD＝5，EODE＝1，∴BO2，∴S△BDEDE?BO＝2BE?DM，∴DM，∵平行線間的距離相等，△AFP以PF為底，高即為，∴S△AFPPF1，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題．4．(2023·貴州遵義·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，0），直線l：yx與x軸交于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABA1，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1x軸，交直線l于點(diǎn)B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過(guò)點(diǎn)A2作A2B2x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類推……，則點(diǎn)A2020的縱坐標(biāo)是__．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)解析式求得B的坐標(biāo)，即可求得AB＝1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分別求得A1的縱坐標(biāo)為，A2的縱坐標(biāo)為，A3的縱坐標(biāo)為，進(jìn)而得到An的縱坐標(biāo)為，據(jù)此可得點(diǎn)A2020的縱坐標(biāo)．【詳解】∵直線l：yx與x軸交于點(diǎn)B，令y=0，即yx=0，解得：x=?1∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等邊三角形，過(guò)A1點(diǎn)作于，如圖所示，則，，∴，∴A1（，），∵∥AB，∴把y代入yx，求得x，∴B1（，），∴A1B1＝2，過(guò)A2點(diǎn)作于，∵△是等邊三角形則是的中點(diǎn)，且∴C2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，∵，∴A2（，），即A2（，），∵A3B3∥AB，∴把y代入yx，得x，∴B2（，），∴A2B2＝4，過(guò)A3點(diǎn)作于，∵△是等邊三角形，則是的中點(diǎn)，且∴C3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，∵，∴A3（，），即A3（，），一般地，An的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A2020的縱坐標(biāo)是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律探索題，考查了一次函數(shù)的圖象，等邊三角形的性質(zhì)，從特殊出發(fā)得到一般性結(jié)論是本題的關(guān)鍵．5．(2023·河南南陽(yáng)·三模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，菱形CDEF的邊CF在邊AC上，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB交BE于點(diǎn)G，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，如果∠A＝60°，則線段EF和BC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___，如果∠A＝90°，AB＝2＋2，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】

BC＝2EF

【解析】【分析】延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)M，利用ASA證明△BGM≌△EGF，當(dāng)∠A＝60°時(shí)，證明△ABC和△MCF為等邊三角形，再利用菱形的性質(zhì)，即可得到EF和BC的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)∠A＝90°，AB＝2+2時(shí)，先證明△ABC和△MCF為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的邊角關(guān)系即可得到菱形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FG交BC于點(diǎn)M，∵四邊形CDEF為菱形，∴EF∥BC，∴∠GBM＝∠GEF，∵BG＝GE，∠BGM＝∠EGF，∴△BGM≌△EGF（ASA），∴BM＝EF，設(shè)菱形CDEF的邊長(zhǎng)為a，則BM＝EF＝a，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果∠A＝60°，則△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵FG∥AB，∴∠FMC＝∠ABC＝60°，∠CFM＝∠A＝60°，∴△FMC為等邊三角形，∴MC＝CF＝a，∴BC＝BM+MC＝2a，∴BC＝2EF，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果∠A＝90°，則△ABC為等腰直角三角形，∴BC＝AB＝（2+2）＝4+2，∠ACB＝45°，∴MC＝BC﹣BM＝4+2﹣a，∵FG∥AB，∴FG⊥AC，∴△FMC為等腰直角三角形，∴MC＝CF＝a，∴4+2﹣a＝a，∴a＝2，∴CD＝2，故答案為：BC＝2EF，CD＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．(2023·河南濮陽(yáng)·一模）如圖，有一張矩形紙條ABCD，AB＝5，,點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD，CN＝1．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)，處，在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊與邊CD交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)___．【答案】##【解析】【分析】探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找特殊位置解決問(wèn)題即可【詳解】解：如圖∵四邊形是矩形，，，由翻折的性質(zhì)可知：，，，，，如圖當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，設(shè)，在中，則有，解得，，如圖當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，的值最大，，如圖當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)落在時(shí)，（即），∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)動(dòng)路徑：=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意確定關(guān)鍵點(diǎn)的位置，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．難點(diǎn)是對(duì)點(diǎn)位置的判斷．2．(2023·安徽安慶·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖．直線與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上、連結(jié)OP，且滿足，則當(dāng)______度時(shí)，線段OQ的最小值為_(kāi)_____．【答案】

30，

2【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)OQ=m，PE=n，構(gòu)造，建立一元二次方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根確定的最小值，進(jìn)而求得∠POQ的度數(shù)，即可求得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)OQ=m，PE=n∵直線與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，在中,,,在Rt中，，，,整理得,,,,,解得,舍棄或,的最小值為2,的最小值為2,此時(shí),,∴故答案為：30,2【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．(2023·四川巴中·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，將△ABO沿著AC折疊得到ΔAB′O，B′O與AD相交于點(diǎn)E，則OE的長(zhǎng)是______．【答案】##【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接，由折疊可得，，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理可得，利用，可得，所以，然后證明△，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，由折疊可知：，，在矩形中，，，，，，，，，，，，，，△，，，，，，．的長(zhǎng)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．4．(2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，三點(diǎn)，其中，函數(shù)的圖象分別與線段BC，AC交于點(diǎn)P，Q．若，則t的值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】用t分別表示出S△PAB和S△PQB，