新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試（新高考專用） 空間向量及其應(yīng)用

專題45空間向量及其應(yīng)用

知考綱要求

識(shí)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題題型一：空間向量的線性運(yùn)算

型題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用

歸題型三：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

類題型四：利用向量證明平行與垂直

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)單選題：共8題

化多選題：共4題

測(cè)填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐

標(biāo)表不.

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.

4.理解直線的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系6能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)

線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

L空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反一模相等的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相斷或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使得好

並

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量4,〃不共線，那么向量P與向量"，8共面的充要條件是存

在唯二的有序?qū)崝?shù)對(duì)(X,y),使〃=xa+M.

⑶空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一

的有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z),使得〃=xa+m+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作晶=a,OB=b,則N/O8

叫做向量a與〃的夾角，記作〈a,b),其范圍是［0,R,若〈a,b>則稱”與b互相垂

直,記作a丄力.

(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|姉b|cos｛a,b)叫做a,6的數(shù)量積,記作。力,

即a力=|後|畫cos〈s,b).

(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律：(癡)力=4“切；

②交換律：ab=ba；

③分配律：a-(h+c)=a'b+a-c.

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(a”。2,6)，b=(b\,bi,bi).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a?b。上］+4262+4363

共線a=%(bWO,AGR)，2=%>2,，3=%>3

垂直a協(xié)=O(aWO,bWO)+0262+4363=。

模l?l、/屛+潴+44

/八061+0262+4363

夾角(a,b}(aWO,bWO)cos\a,b)——/-------------?-------------

N屛++*7尻+慶+員

5.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量4的有向線段所在直線與直線/平行或重合,則稱此向

量。為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/丄a,取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.

6.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

l\//hU\//〃2=〃1=2〃2

直線厶,厶的方向向量分別為的,U2

厶丄厶U\丄〃2="1丄2=0

直線/的方向向量為〃，平面a的法向1//a〃丄〃=〃〃=0

量為n/丄。u//〃=〃=%〃

a//pn\//〃2=〃i=/2

平面a,4的法向量分別為〃1,“2

a邛n1丄n2<=>ni712—0

【常用結(jié)論】

1.在平面中，A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：扇=》%+歹沆'(其中工+丁=1),。為平面內(nèi)

任意一點(diǎn).

2.在空間中，P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是：流=工總+丁命+z困其中x+y+z=l),

。為空間中任意一點(diǎn).

【方法技巧】

1.用基向量表示指定向量的方法

(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

2.證明空間四點(diǎn)P,M,A,8共面的方法

{\}MP=xMA+yMB-,

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=OM+xMA+yMB:

（3）對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=1）：

（4）加■〃力（或再//施或麻〃河.

3.由向量數(shù)量積的定義知，要求a與力的數(shù)量積，需已知同，冋和〈%b〉,n與〃的夾角與方

向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使4協(xié)計(jì)算準(zhǔn)確.

4.利用向量法證明平行問題

①線線平行：方向向量平行.

②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.

③面面平行：兩平面的法向量平行.

5.利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法

證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積

線線垂直問題

為零

直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的

線面垂直問題

判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直

兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化

面面垂直問題

為證明線面垂直

二、【題型歸類】

【題型一】空間向量的線性運(yùn)算

【典例11在空間四邊形N8CO中）若麗=（一3，5，2），CD=（-7，-1，-4），點(diǎn)￡，E分

別為線段8C，的中點(diǎn)，則壽的坐標(biāo)為（）

A.（2，3，3）B.（-2，-3，-3）

C.（5，一2，1）D.（-5>2'-1）

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以麗=而一無，歷7

=-（OA+OD）,0￡=丄（08+。0.所以￡/=丄（04+00—丄（08+00=丄（8/+。0=丄［（3,一5'

22222

-2）+（-7，-1，-4）］

=1（-4，-6，-6）=（-2，-3，-3）.

故選B.

【典例2】正方體N8CD-481GD1中點(diǎn)E為上底面NQ的中心.若向量能=爲(wèi)1+X懣+回)，

則實(shí)數(shù)x，y的值分別為()

A.x=1>y=1B.x=1>y=^

C.x=~1'y=~1D.x=n~'y=1,

2'22丿

【解析】如圖'AE=AA\-\-A\E=AA\-\--yi\C\=AA\-\-^AB-\~AD)，故x=y=；

故選C.

［典例3］在三棱錐。-ABC中，M，N分別是。4，8C的中點(diǎn)，G是△/8C

的重心，用基向量萬4OB，沆1表*3示(1)戒7；(2)死.

【解析】⑴京=応+元

J2—

=-OA+-AN

23

1-?2■—?―?

=^OA+^ON-OA)

="+4(場(chǎng)+友一可

=--OA+-OB-\--OC.

633

(2)OG=OM+MG

1-1-?1-?1-?

=丄。/--0A+-OB+-OC

2633

I—1-??—

=-OA+LOB+kOC.

333

【題型二】共線、共面向量定理的應(yīng)用

【典例1］已知48,。三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)。，若點(diǎn)M滿足而=/a+為

+OQ.

(1)判斷応，施，慶三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷點(diǎn)”是否在平面/8C內(nèi).

【解析】(1)由題知為+彷+沆1=3而，

所以屆一血=（而一油）+（原一的，

即必=筋+5/=一誠(chéng)一前，

所以応，施，流共面.

（2）由（1）知，応，而，慶共面且基線過同一點(diǎn)A/,

所以W,A,B,。四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)〃在平面N8C內(nèi).

【典例2］如圖所示，已知斜三棱柱4?。一/山Ci,點(diǎn)/，N分別在/G和6c上，且滿足加

=反1,BN=kBC（O^k^\）.判斷向量痰是否與向量弱，力?共面.

【解析】因?yàn)閿?而乙，BN=kBC,

所以訪/=必+崩+的=做工4+AB-\-kBC

=?（54+畫+港=曲理4+瓦G）+養(yǎng)=加4+為

—AB—kAB\=AB-k{AA\-\-AB）

=（T-k瀛一k刀i,

所以由共面向量定理知向量而與向量1瓦疝I共面.

【典例3］已知Z，B，。三點(diǎn)不共線，對(duì)平面/6C外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足而=；（1+彷

+OC）.

（1）判斷必，就B，加三個(gè)向量是否共面；

（2）判斷點(diǎn)M是否在平面/BC內(nèi).

【解析】（1）由已知得屆+/+灰1=3兩，

所以易一痂=（加一份）+（而一南.

即応=施+漢/=一施一統(tǒng)，

所以曲'MB，統(tǒng)共面.

⑵由（1）知必而，就共面且過同一點(diǎn)

所以M，/，8，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面N6C內(nèi).

【題型三】空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

【典例1］如圖所示，已知空間四邊形力88的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別

是AD,CD的中點(diǎn)，計(jì)算：

(\)EFBA.

(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

【解析】設(shè)益=4,AC=b,AD—c.

則同=|b|=|c|=l,

〈%b)=〈〃，c〉=(c,a)=60°,

(1)麗=爐=)一),

______n_n

BA=—a,EFBA=b2J,(—a)

111

=一中2—ac=-.

224

f1ff11

(2MG=j(4C+/O)=?+：c,

CE^CA+AE=-h+-a,

2

__AGCE

cos(AG,CE)-

師II西

『+3卜"同

_I

~2=2

亜X近3，

22

晨

由于異面直線所成角的范圍是fI02」,

所以異面直線NG與CE所成角的余弦值為

【典例2】已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)尸在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是

2,則Q林麗的取值范圍為()

A」0,4]B,tO,2]c.U，4]D.U，2]

【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，

則OM=ON=3

PMPN=(Pb+0M)(Pb+0N)=Pd2+Pb(0M+^)+dM0N,

,：MN為球O的直徑，

：.OM+ON=0,OMON=-\,

.,.曲?麗=裕一1,

又P在正方體表面上移動(dòng)，

當(dāng)產(chǎn)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，I劭I最大，最大值為他；當(dāng)尸為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，I用I最

小，最小值為1,

APd2-ie[0,2],

即麗?麗的取值范圍為[0,2].

【典例3】如圖所示，在四棱柱/BCOaSGA中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)N為端點(diǎn)的三

條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60。.

⑴求ZG的長(zhǎng)；

(2)求證：ACi丄BD；

⑶求BDi與AC夾角的余弦值.

【解析】(1)解記懣=“，AD=h,A4i=c,

則同=|b|=|c|=l,

(a,b)=(h,c)=<c,a)=60°,

...1

..ab=bc=ca=-,

2

溢2=m+b+c)2

=a2+b2+c2+2(a'b+b'c+c'a)

nin

=1+1+1+2X(2+2+21=6,

：.\ACi\=\[6,即NG的長(zhǎng)為#.

(2)證明'：AC\=a+b+c,BD=b-a,

C.AC\BD=(a+力+c),(A—a)

=ab-^-\b\2+bc-\a\2—ab—ac=0.

：.ACi±BD,：.AC\LBD.

(3)解BD]=b+c~a,AC=a+b,

：.\BDi\=\[2,\AC\=\(3,

BDiAC=(b+c-ay(a-\-b)

—hr—/+/。+力＜=1.

Acos〈前，充〉=竺"=選

\BDi\\AC\6

：.AC與BDi夾角的余弦值為準(zhǔn).

6

【題型四】利用向量證明平行與垂直

【典例1】如圖，已知441丄平面ZBC,BB\//AA\,AB=AC=3,BC=2#,

44=布,551=2^7,點(diǎn)E和E分別為8c和NC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面4&B4；

(2)求證：平面ZE4丄平面BCB\.

【證明】因?yàn)?8=ZC,E為6C的中點(diǎn)，所以ZE丄8c

因?yàn)?41丄平面/8C,AA\//BB\,

所以過E作平行于85的垂線為z軸，EC,比1所在直線分別為x軸，y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?8=3,8E=韶，所以ZE=2,

所以E(0,0,0),C他,0,0),4(0,2,0),8(一詛，0,0),5.(-^,0,

僅1回

2?Ai(0,2,S)，則從2'*2J.

⑴昉隼「嗎

,AB=(-\[5,-2,0),刀i=(0,0,田).

設(shè)平面48山4的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

/i-A5=0,-\[5x_2y=0,

則所以

n-AA\=0,t7z=0,

x——2,

取,丫=弱，所以“=(—2,3,0).

2=0,

因?yàn)榍?”=^X(-2)+1X3+，X0=0,

所以卽丄〃.

又EFQ平面AiBiBA,

所以小〃平面A\B\BA.

(2)因?yàn)镋C丄平面

所以氏=印,0,0)為平面/E4的一個(gè)法向量.

又E4丄平面BCB\,

所以房1=(0,2,0)為平面8cB的一個(gè)法向量.

因?yàn)楸?瓦1=0,所以比丄及I,

故平面4E/1丄平面BCB\.

【典例2］如圖，正方形Z6C。的邊長(zhǎng)為2/,四邊形8DER是平行四邊形,

BD與4c交于點(diǎn)G,。為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O=\j3,且R9丄平面Z8CD

⑴求證：4E〃平面8CE；

(2)求證：CF丄平面NEE

【證明】如圖，取3。的中點(diǎn)“，連接。冃，則。又四邊形/8C。

為正方形，

：.ACLBD,：.OHLAC,

故以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則力(3,0,0),c(-l,0,0),r>(l,-2,

0),F(0,0,55(1,2,0).

BC—{—2,—2,0),CF=(1,0,4)，BF=(-1,—2,A/3).

(1)設(shè)平面8C/7的一個(gè)法向量為"=(x,y,z).

n-BC=0,即一公_2)=0'

則.即l+3z=0,

nCF=0,

取z=l,得〃=(一1).

又四邊形BDEF為平行四邊形,

：.DE=BF=(-1,-2,?

：.AE=AD+DE=BC+BF

=(—2,—2,0)+(—1,—2,3)

=(-3,—4,3),

二元?〃==0,

：.AE±n,又AEQ平面BCF,

.?.ZE〃平面BCF.

⑵辦=(-3,0,回

：.&-AF=-3+3=0,函加=-3+3=0,

CF±JE,KPCFVAF,CFVAE.

)LAEnAF=A,AE,4Fu平面4EF,

.?C丄平面AEF.

【典例3］在底面是矩形的四棱錐尸一/BCD中，山丄底面/8C。，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是尸C，

的中點(diǎn)，B4=AB=1，6c=2.求證:

（1）跖〃平面力8；

（2）平面丄平面PDC.

【解析】以/為原、點(diǎn)、，AB所在直線為x軸>AD所在直線為y軸，力P所在直線為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則4（0，0，0），3（1，0，0），。（1，2，0），。（0，2，0），

尸（0，0，1），

所以"T，卜7,肆」U'°］，麗=(1,0，-1)，防=(0，2,-1)'AP=

，0

（0，0，1），zb=（0，2，0），皮=（1，0，0），懣=（1，0，0）.

（1）因?yàn)閰u=一；誦，所以卽〃彘，即EF〃AB.

又“8U平面PAB，EFD平面PAB，

所以ER〃平面PAB.

（2）因?yàn)??反=（0，0>1）-（1>0，0）=0，

所以辦丄虎，ADLDC，即NP丄DC，4D丄DC.又4PC4D=4，所以。。丄平面F4D所以平

面以。丄平面PDC.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】（多選X2020?山東臨沂期末）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ZBCOZBCQ，

其中，以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，則下列說法中正確

的是（）

A.（爲(wèi)1+崩+蒞）戶=2（衣A

B.屆?（前一疝）=0

C.向量抗與q1的夾角是60°

D.8。與ZC所成角的余弦值為平

【解析】以頂點(diǎn)〃為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°>可設(shè)棱長(zhǎng)為1，則

AA\?AB=AA\?AD=ADAB=1X1Xcos60°=:，所以（刀i+港+疝）2=筋『+為2+疝2+

2A4i?AB+2AB*AD+2AA\?歷=1+1+1+3X2xg=6.又2（農(nóng)/=2（篇+在/=2（焉2+疝2

f—h+i+2義―1—?—"?—?

+248/0）=212j=2X3=6，所以（4/I+/8+NO）2=2（ZC）2，所以A正確./g?（/8

-AD）=（AA\+AB-VADy（AB-AD）=AAi>AB-AA\-Ab+AB2-ABAb+AbAB-Ab-=^-^+\

一！+1—1=0，所以B正確.由已知條件，得△44。為等邊三角形，則N44LD=60°，所以

22

向量拉與疝1的夾角是120°，向量氤=/力，即向量抗與石I的夾角是120°，所以C不

正確.因?yàn)榉纜=疝+刀?一瀝，AC=AB+AD，所以|防||=%（彳力+而1一弱）2=

A/1+--14--+11+1=^2，園=\/CAB+AD)2=^/l+2X-+1=^/3曲羨=

匝.衣]

（疝+石|一蒞）.（蒞+疝）=：+l+g+g—l-；=l'所以cos〈防読〉=

的I?扁也義\5

=必，所以D不正確.故選AB.

6

【訓(xùn)練二】如圖，已知四棱柱的底面481cbe>1為平行四

邊形，E為棱N8的中點(diǎn)，舒=!疝，衣=2"5I,ZCI與平面EFG交于點(diǎn)則整=

3ACi------------

【解析】由題圖知，設(shè)前/=4比|(0</1<1),

由已知農(nóng)1=養(yǎng)+&)+刀?

——3-

=2AE+3AF+-AG,

2

所以瑟/=2流+3爲(wèi)方+"就.

2

因?yàn)镸,E,F,G四點(diǎn)共面，所以2人+3/1+〃=1,解得4=4

213

【訓(xùn)練三】已知。點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量/=(1,2,3),勘=(2,1,2),流=(1,1,2),

且點(diǎn)0在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)逾?詼取得最小值時(shí)，曲的坐標(biāo)是

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)。在直線OP上，所以設(shè)點(diǎn)。(九九22),

則1=(1一九2一九3—2z),

詼=(2一九1-A,2—22),

0408=(1—A)(2—4)+(2—2)(1—2)+(3—2z),(2-2A)=6A2—161+10

即當(dāng)4=3時(shí)，逾?①取得最小值一全

[448]

此時(shí)苑=1353’34

【訓(xùn)練四】如圖，圓錐的軸截面SZ8是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)尸在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若丄"尸，則點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為.

【解析】由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則4(0,-1,0),0,￥),

設(shè)尸(x,乂0),

二応=(0,T廠嚏

法=/八T,

由AMLMP得必?宓=0,解得y=3,

4

...點(diǎn)尸的軌跡方程為_y=(.

根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為

邛

【訓(xùn)練五】如圖，棱柱囪G"的所有棱長(zhǎng)都等于2,NZ6c和

NZiZC均為60。，平面441cle丄平面/BCD

⑴求證：BDVAAw儼、/

⑵在直線CG上是否存在點(diǎn)P,使平面。4G?若存在，求出點(diǎn)P的代匕我

B

位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)證明設(shè)8。與ZC交于點(diǎn)。，

則8。丄4C.連接40,

在△44。中,AAi=2,AO=\,N4/O=60。,

所以NQ2=N4+N02-244I/OCOS60°=3,

所以/。2+402=44彳，所以4。丄zo.

由于平面44CC丄平面ABCD,

且平面AAiCiCH平面ABCD=AC,

小Ou平面AA\C\C,

所以40丄平面ABCD.

以O(shè)B,OC,。4|所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),5(3,0,0),C(0,1,0),

D(~00,0),Ji(0,0,峋，Ci(0,2,5

由于訪=(—23，0,0),筋i=(0,1,回Z?r5b=0X(-2^)+lX0+^X0=0,

所以質(zhì))丄刀i,EPBDlAAi.

(2)解假設(shè)在直線CG上存在點(diǎn)尸，

使8P〃平面DA\C\,

設(shè)落后，P（x,y,z）,

則（x,y-1,z）=，0,1,回

從而有P（0,1+2,?,

旃=（-3,l+A,R）.

又疣i=（0,2,0）,風(fēng)=（怎0,5

設(shè)平面04Ci的一個(gè)法向量為

“3=（X3,丁3，Z3）,

l/l3-jjC|=0,

則f-

\ttyDA\=0,

3=0,

則廠取“3=（1,0,-1）.

N3X3+V3Z3=0,

因?yàn)?P〃平面”41G,所以〃3丄而，

即〃3,8尸=—3—32=0,解得丸=—1,

即點(diǎn)P在GC的延長(zhǎng)線上，且。=CG.

【訓(xùn)練六】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐A48co中'AD//BC，/ABC=90°尸。丄平

面ABCD，AD=1，AB=\[3>BC=4.

⑴求證：5/51PC；

（2）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，PE=XPC，若OE〃平面PAB，求%的值.

【解析】如圖，在平面內(nèi)過點(diǎn)。作直線。/〃>交BC于點(diǎn)、F，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

DA，DF，OP所在的直線分別為x軸少軸，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，則〃（1，0，0），8（1g，

0），。（0，0，0），C（-3電，0）.

設(shè)PD=a，則尸（0，0，a），

⑴證明：BD=（~l，-\/3，0），PC=（-3電，一硏，

因?yàn)榻?戸白=3-3=0，

所以8。丄PC

（2）由題意知，15=（0訪，0），歷=（0，0，a），屈1=（1，0，一“），PC=（-3S，一。），

因?yàn)槲?/，所以屋=（一32，?，-az），

DE=DP+PE=(O，0，a)+(-32，曲，一曲

=(-32，A/3A，〃一涼).

設(shè)〃=(x'y'z)為平面PAB的法向量,

ABn=O，Niy=O，

則二即<'令z=l，得x=a，所以n=（a，0，1），

PA*n=0，\x-az=O.

因?yàn)?。E〃平面PAB，所以瓦?〃=()，

所以一3。/+。一加=0'即tz(l—4A)=0，

因?yàn)閍WO)所以2=丄.

4

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.已知向量”=(1,1,0),/>=(-1,0,2),且總十力與2。一力互相垂直，則左的值是()

75

A.-B.2C.-D.1

53

【解析】因?yàn)?=(1,1,0),6=(—1,0,2),

所以。6=—1,間=\①，冋=?5,

又ka+b與2a-h互相垂直，

所以依4+。)。4一。)=0,

即24砰—ka-b-\-2a-b一|肝=0,

7

即4人+%—2—5=0,所以左=《.

故選A.

2.如圖，在平行六面體48CO-HB'C中，ZC與8。的交點(diǎn)為O,點(diǎn)M在8C'上,

且6M=2MC',則下列向量中與血相等的向量是()

A.--AB+^-AD+^AA^

263

B.--AB+-AD+^AAr

263

263

IfIf1—7*

D.-AB--AD+-AA'

263

【解析】因?yàn)?M=2MC',所以反力

3

在平行六面體488一/'B'CD'中，

OM^OB+BM=OB+^2BC^=；舒）=^AB-Ab）+^AD+AA^）

=-A5+-lD+-Z47*.

263

故選C.

3.在空間四邊形/8C。中，芥?⑦+太?歷+疝?能等于（）

A.-1B.0C.1D.不確定

【解析】如圖，

令懣="，AC=b,AD—c,

則/8CZ)+/CZ)8+/Z>6C=a,(c-/>)+/?,(?—c)+c<〃-a)—a'C—(rb+b,a—b?c+c?b-C'a=O.

故選B.

4.如圖，在大小為45。的二面角中，四邊形/瓦芭，C0EE都是邊長(zhǎng)為1的正方形,

則8,。兩點(diǎn)間的距離是()

A.A/3B.A/2C.1D.43-/

【解析】?.?筋=彷+前+應(yīng))，

二|筋|2=I兩2+1兩2,|,函2+2BFFE+2FE-ED+2BFED=1+1+1-仍=3-也

故曲=、3-也

故選D.

5.已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4B,C,若決=x<^+yB+z沆'(x,y,z6R),

則“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,。四點(diǎn)共面”的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】由x+y+2=l,得P,A,B,。四點(diǎn)共面,

當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，x+y+z=l,顯然不止2,—3,2.

故"x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,。四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.

故選B.

6.已知空間向量a=(l,O,l),6=(1,1,“)，且。協(xié)=3,則向量Q與力的夾角為()

A兀兀二2兀n5兀

A.1D-C.—D.一

6336

【解析】由題意，GZ>=1+0+”=3,

解得n=2,

又同=11+0+1=\/2,冋=\h+1+4=\6,

所以cos<?,b)=-^-=r(-=—,

\a\\h\/義#2

又〈a,b>e[0,n],

所以a與8的夾角為

故選A.

7.如圖，在大小為45。的二面角/一所一。中，四邊形Z8FE,C0E尸都

是邊長(zhǎng)為1的正方形，則8,。兩點(diǎn)間的距離是()

A.3B矩

C.1D.，3—S

【解析】：防=麗+経+亙),

：.\BD\2=I兩2+1兩|2+1防|2+2BF-FE+2FE-ED+2BFED=1+1+1-/=3一3，故|筋尸

—

故選D.

8.如圖，正方形/8C。與矩形NCEE所在平面互相垂直，AB=0AF=1,M在跖上，且

AM//平面8OE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()

位啦1]

A.(l,1,1)B.[3'3'J

C俘釘]D停軻

【解析】設(shè)NC與8。相交于。點(diǎn)，連接OE,由〃平面60E,且ZA/u平面/CEE平面

/CEECI平面C.AM//EO.

又。是正方形Z8CO對(duì)角線交點(diǎn)，

二”為線段或7的中點(diǎn).

在空間直角坐標(biāo)系中，E(0,0,1),FC也加，1),

他也］

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)”的坐標(biāo)12'2'J

【多選題】

9.已知空間三點(diǎn)/(1。3),5(-1,1,4),C(2,-1,3),若Q〃的,且|善|=加，則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)為()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)

【解析】因?yàn)?(—1,1,4),C(2,-1,3)，

所以比=(3,-2,-1),

因?yàn)樯啤ㄇ螅?/p>

所以可設(shè)辦=屁=(3九-22,-2),

因?yàn)閨力|=^(3A)2+(-22)2+(-A)2=\;，14,

解得4=±1，

所以刀=(3,-2,-1)或善=(-3,2,1),

設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則。=(x—1,y,z—3),

x—1=3,x—1=-3,

所以,=—2,或,y=2,

z-3=-1z—3=1,

x=4,x——2,

解得＞二-2,或,y=2,

z=2z=4.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,—2,2)或(一2,2,4).故選AB.

10.已知空間中三點(diǎn)2(0,1,0),5(2,2,0),C(—1,3,1),則下列結(jié)論正確的有()

A.懣與祀是共線向量

B.與口共線的單位向量是(1,1,0)

C.還與能夾角的余弦值是一邛

D.平面NBC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)

【解析】對(duì)于A,亞=(2,1,0),祀=(—1,2,1),不存在實(shí)數(shù)九使得養(yǎng)=2衣,

所以而與農(nóng)不是共線向量，所以A錯(cuò)誤;

2朮_近

對(duì)于B,因?yàn)楦?(2,1,0),所以與施共線的單位向量為呼事。U55

所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,向量功=(2,1,0),5C=(-3,1,1),

-?-?ABBC、樂

所以cos[AB,BC>=----------=一給

\AB\\BC\11

所以C正確;

對(duì)于D,設(shè)平面48。的法向量是“=(x,y,z),

因?yàn)楣?(2丄0),JC=(-1,2,1),

n-AB=0,2x+y=0,

所以一即

〃?衣=0,—x+2y+z=0.

令x=l,則“=(1,—2,5),所以D正確.

故選CD.

11.下面四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.向量a,b(aW0,6W0),若a丄b,則a力=0

B.若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,無=詞+涉，則Z,B,C三點(diǎn)共線

1

C.已知向量。=(1,1,x),〃=(—3,x,9),若了琉，則〈4,b)為鈍角

D.任意向量mb,c滿足協(xié))?c=a?S?c)

【解析】由向量垂直的充要條件可得A正確;

,：PC^PA+-PB,

44

：.-PC~^PA=^PB--PC,

4444

BPJC=3C5,

：.A,B,C三點(diǎn)共線，故B正確；

當(dāng)x=—3時(shí)，兩個(gè)向量共線，夾角為兀，故C錯(cuò)誤；

由于向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，故D錯(cuò)誤.

故選AB.

12.給出下列命題，其中為假命題的是()

A.已知"為平面a的一?"個(gè)法向量，〃，為直線/的一個(gè)方向向量，若〃丄〃1,貝U/〃a

B.已知〃為平面a的一個(gè)法向量，"1為直線/的一個(gè)方向向量，若(“，m)=亨，則/與a所

成角為/

C.若兩個(gè)不同的平面a,4的法向量分別為“，V,且“=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),則a〃H

D.已知空間的三個(gè)向量a,"c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p,總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p

—xa+yb+zc

【解析】對(duì)于A,由題意可得/〃a或/Ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖象可得，ZCAD=^,

則NZM8=2,所以N4D8=四，

36

根據(jù)線面角的定義可得，/與a所成角為［故B正確；

6

對(duì)于C,因?yàn)椤?—2,—4,4)

=(1,2,-2),

所以“〃故a〃尸，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)空間的三個(gè)向量明。，c不共面時(shí)，對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p,總存在實(shí)數(shù)X,丹

z使得p=xa+yb+zc,故D錯(cuò)誤.

故選AD.

【填空題】

13.如圖所示，在四面體。48c中，OA=a,OB=b,OC=c,。為8C的中點(diǎn)，E為的中

點(diǎn)，則無=(用a,b,c表示).

【解析】OE=OA+AE=OA+-AD

2

=OA-\-^OD-OA)=-ai+^}b

=丄①+1x丄(彷+內(nèi)=丄4+丄方+，C.

222244

14.若“=(1,1,0),6=(—1,0,2),則與a+8同方向的單位向量是.

【解析】與同方向的單位向量是去(0,1,2)=['學(xué)1

15.已知3(1,-2,11),3(4,2,3),C(x,%15)三點(diǎn)共線，則刈=.

【解析】由三點(diǎn)共線得向量成與衣共線，

即前=攵就，

X—1v—I—94

(3,4,-8)=網(wǎng)x-l,y+2,4),^=^=—,

解得x=一；,y=-4,.,.xy=2.

16.如圖，已知四棱柱的底面481Goi為平行四邊形，￡為棱N8的中點(diǎn),

AF=-AD,而=2瓏1，ZG與平面EFG交于點(diǎn)“，則儂=

3AC\-------------

【解析】由題圖知，設(shè)高/=1^1(0<2<1),

由已知11=弱+歷+篇產(chǎn)2。+3赤+扌石，

2

所以新=2金走+3爲(wèi)R+藥號(hào)，

2

因?yàn)镸,E,F,G四點(diǎn)共面，所以24+32+魚=1,

2

解得力三.

13

【解答題】

17.已知空間三點(diǎn)/(—2，0，2)，5(-1，1，2)，C(-3，0，4)，設(shè)a=AB'b=AC.

⑴若|c|=3，且c〃虎，求c；

(2)求a和8的夾角的余弦值；

⑶若ka+b與ka—2b互相垂直，求k的值.

【解析】(1)因?yàn)閏〃於，

所以c="?8C=〃?(—2，—1?2)=(—2m>-m，2m).

所以|c|=\'（―2加）2+（―/?）2+（2m）2=3|閡=3;即zn=±l,

所以c=（-2，-1，2）或c=（2，1，-2）.

（2）因?yàn)閍=（l，1，0），6=（—1，0，2）.

所以ab=（l，1，0）（-1>0，2）=-1.

又同=、12+i2+02=/,\b\=\j（—1）2+02+22=\（5，

的?/卜\_“山__1_V10

所以cos\a>h）=------=~j==--------.

\a\-\h\'71010

所以a和b的夾角的余弦值為一也.

10

（3）因?yàn)閗a+b=（k—\、k，2），ka—2b=（k+2，k，—4），

所以（公一1，k，2）?（左+2，k，-4）=（左一1）（4+2）+上一8=0，

解得4=2或厶=一5所以當(dāng)ka+b與ka-2b相互垂直時(shí)，

2

k=2或〃=—9.

2

18.如圖，已知E，F(xiàn)，G，〃分別是空間四邊形/8C。的邊ZB，BC，CD，DA的中點(diǎn).

(1)求證：E，F(xiàn)，G，”四點(diǎn)共面；

(2)求證：平面EFG”.

【解析】(1)連接8G，

則的=就+就

~1~f

=EB+^BC+BD)

=EB+BF+EH

=EF+EH，

由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，〃四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)辂?彳"一元

1-*,1-?

=