立體幾何解答題（理科）（原卷版）2014-2023年高考數(shù)學(xué)真題分享匯編（全國(guó)通用）

十年（2014—2023）年高考真題分項(xiàng)匯編一立體幾何解答題

目錄

題型一：證明平行問(wèn)題.......................................1

題型二：證明垂直問(wèn)題.......................................2

題型三：求線線角...........................................5

題型四：求線面角...........................................7

題型五：求二面角..........................................16

題型六：求幾何題的表面積和體積............................18

題型七：求距離的問(wèn)題......................................30

題型八：根據(jù)條件確定點(diǎn)的位置..............................31

題型九：立體幾何中求最值問(wèn)題..............................36

題型十：立體幾何的綜合應(yīng)用................................37

題型一：證明平行問(wèn)題

1.（2019?江蘇?第16題）如圖，在直三棱柱中，分別為8C,/C的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：⑴4與〃平面DEC,；（2）BEVC.E.

2.（2022高考北京卷?第17題）如圖，在三棱柱Z8C—/4G中，側(cè)面3。。隹為正方形，平面8。釣片丄

平面AB=BC=2,M,N分別為4瓦，AC的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面8CG4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.（2016高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題）（本小題滿分12分）在如圖所示的圓臺(tái)中，厶C是下底面圓。的直徑,

EF是上底面圓。，的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.

⑴已知G,“分別為EC,的中點(diǎn)，求證：G”〃平面A8C；

（II）已知==丄AB=BC.求二面角尸-8C-/的余弦值.

2，

E廠

題型二：證明垂直問(wèn)題

1.（2020江蘇高考??第15題）在三棱柱/8C-43G中，AB1AC,丄平面48C,邑產(chǎn)分別是4C,80

的中點(diǎn).

（1）求證：EF口平面Z8￡；

（2）求證：平面N8C丄平面力8瓦.

2.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第15題）（本小題滿分14分）在平行六面體與GR中,

AA,=AB,AB.丄BQ

求證：（1）48〃平面4片。；

（2）平面488/丄平面48c.

（第15題）

3.（本小題滿分12分）如圖，在五面體Z8C。防中，點(diǎn)。是矩形43c。的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CQE是等

邊三角形，棱EFJBC.

2

（1）證明F?！ㄆ矫?。。七；

（H）設(shè)8C=J§CD,證明E。丄平面

4.（2014高考數(shù)學(xué)江蘇?第16題）如圖，在三棱錐尸-/BC中，D,E,F分別為棱PC,ZC,/8的中點(diǎn).已

知產(chǎn)力丄4C,PA=6,

BC=8,DF=5.

（1）求證：直線厶〃平面DM；

（2）求證：平面8OE丄平面ZBC.

P

（第16題）

5.（2015高考數(shù)學(xué)江蘇文理?第16題）如圖，在直三棱柱48C—4Aq中，已知4c丄6C,BC=CC,,

設(shè)4發(fā)的中點(diǎn)為。，6Cn6G=E.

求證：⑴。E〃平面44。。；

（2）BC、丄AB「

6.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第15題）如圖，在三棱錐N-8C￡＞中，Z8丄/。，BC1BD,平面丄

平面8CZ）,點(diǎn)瓦尸（E與4。不重合）分別在棱/。，8。上，且E/丄4）.

求證：（1）EF〃平面48C;

（2）AD1.AC.

7.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第16題）如圖，在直三棱柱/BC-48cl中，分別為的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在側(cè)棱上，且用。丄//，4G丄44.

求證：⑴直線￡)￡〃平面4GE；(2)平面8QE丄平面4。尸.

8.(2023年全國(guó)乙卷理科?第19題)如圖，在三棱錐尸—48。中，AB1BC,AB=2,BC=242>

PB=PC=K，BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,4O=、6Z)O，點(diǎn)F在AC上，BF1AO.

(1)證明：EE//平面4。。；

(2)證明：平面ZOO丄平面BEF；

(3)求二面角。一40—C的正弦值.

題型三：求線線角

1.(2018年高考數(shù)學(xué)上海?第17題)(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,半徑為2,

(1)設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4,求圓錐的體積；

(2)設(shè)PO=4,OA、。8是底面半徑，且44。8=90。，M為線段力8的中點(diǎn)，如圖，求異面直線尸A/

與。8所成的角的大小.

2.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第18題）如圖，四邊形為菱形，448。=120。，瓦R是平面

同一側(cè)的兩點(diǎn)，8E丄平面。尸丄平面N3CZ）,BE=2DF,AELEC.

（1）證明：平面ZEC丄平面;

（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

3.（2016高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題）（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題

滿分6分.

將邊長(zhǎng)為1的正方形440。（及其內(nèi)部）繞的OQ旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為g萬(wàn)，以円長(zhǎng)

為g7T,其中4與C在平面4400的同側(cè).

（1）求三棱錐c—。耳片的體積：

（2）求異面直線8c與441所成的角的大小.

4.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第18題）（本小題滿分14分）

如圖2,三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,厶B=6,BC=3.點(diǎn)、E

是C。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分別在線段AB,8c上，且AF=2FB,CG=2GB.

（1）證明:PE丄FG；

（2）求二面角P—AD—C的正切值；

（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值.

題型四：求線面角

1.（2021年高考浙江卷?第19題）如圖，在四棱錐尸-48CZ）中，底面/8C。是平行四邊形，

ZABC=120°,AB=\,BC=4,PA=yJ15,M,N分別為8C,尸。的中點(diǎn)，PDLDC,PM1MD.

（1）證明：AB1PM；

（2）求直線4N與平面所成角的正弦值.

2.（2020年高考課標(biāo)H卷理科?第20題）如圖，已知三棱柱厶8C-481G的底面是正三角形，側(cè)面8&GC是

矩形，M,N分別為8C,BiCi的中點(diǎn)，P為4M上一點(diǎn)，過(guò)81cl和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AAr//MN,且平面4AMN丄EBiQF；

(2)設(shè)。為△48iG的中心，若厶?！ㄆ矫鍱BiGF,且厶。=厶8,求直線8正與平面4AMN所成角的正弦

值.

3.(2020北京高考?第16題)如圖，在正方體中，E為84的中點(diǎn).

(I)求證：8。"/平面”?！?

(n)求直線與平面/。沢所成角的正弦值.

4.(2019?浙江?第19題)如圖，已知三棱柱48C-4AG，平面//CG丄平面Z8C,Z.ABC=90°,

N8/C=30。，

AtA=AtC=AC,E,尸分別是4C,4A的中點(diǎn).

(I)證明：EFVBC-

(11)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

5.(2019?天津?理?第17題)如圖，ZE丄平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(I)求證：8F〃平面NQE；

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(III)若二面角E-BD-F的余弦值為丄，求線段C戶的長(zhǎng).

3

E

6.（2023年全國(guó)甲卷理科?第18題）如圖，在三棱柱/8C-48c中，4。丄底面A8C,

NACB=90°,AAi=2,A,到平面5CC.5,的距離為1.

（1）證明：A,C=AC；

（2）已知AA^BB,的距離為2,求力與與平面8CC4所成角的正弦值.

7.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)（海南）?第20題）如圖，四棱錐P-A8CD的底面為正方形,PD丄底面厶8CD.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為/.

（D證明：/丄平面PDC；

（2）已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=g,求PB與平面QCD所成角的正弦值.

8.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第19題）如圖,三棱臺(tái)OEF—ABC中，面ADFC丄面厶8C,NACB=NACD=45°,

DC=2BC.

（I）證明:EF±DB；

（II）求DF與面DBC所成角的正弦值.

9.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）在四棱錐尸中，PC丄底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=6?

（1）證明：BD1PA；

（2）求P。與平面P/8所成的角的正弦值.

10.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第19題）如圖，已知/BCD和C。即都是直角梯形，AB//DC,

DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,NB4D=NCDE=60。,二面角E—DC—8的平面角為

60°.設(shè)M,N分別為/瓦3c的中點(diǎn).

（1）證明：FN1AD；

（2）求直線8M與平面/DE所成角的正弦值.

11.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）如圖，四面體/8CQ中,

AD1CD,AD=CD,AADB=ABDC,E為AC的中點(diǎn).

D

5一...二-f

A

(1)證明：平面丄平面4C。：

(2)設(shè)/8=8。=2,//嚴(yán)=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△ZPC的面積最小時(shí)，求CE與平面/8。所

成的角的正弦值.

12.(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第25題)(本小題滿分10分)如圖，在正三棱柱ABC-4B1Q中，AB=AAi=2,

點(diǎn)P,Q分別為4Bi，BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線BP與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CQ與平面AQG所成角的正弦值.

13.(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第19題)(本題滿分15分)如圖，已知多面體ZBCZ/Ci，444伉。。均

垂直于平面/8C,

48C=120°,//=4,CtC=1,AB=BC=B、B=2.

(1)證明：丄平面

(2)求直線zq與平面力所成角的正弦值.

4

B

14.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理）?第18題）（12分）如圖，四邊形Z8C。為正方形，旦R分別為3c

的中點(diǎn)，以QR為折痕把&DW折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PF丄BF.

⑴證明：平面尸以7丄平面/8尸。；

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

15.（2014高考數(shù)學(xué)陜西理科?第19題）四面體N8CZ）及其三視圖如圖所示，過(guò)被Z8的中點(diǎn)E作平行于

AD,8c的平面分別交四面體的棱50,DC,。于點(diǎn)尸，G,H.

⑴證明：四邊形MG"是矩形；⑵求直線N8與平面EFG”夾角。的正弦值.

左視圖

A

B

16.（2014髙考數(shù)學(xué)福建理科?第17題）（本小題滿分12分）

在平行四邊形45cD中，AB=BD=CD=T,AB±BD,CD±BD.

將A45。沿BD折起，使得平面Z8O丄平面BCD,如圖：

（1）求證：AB1CD-,

（2）若"為中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

17.（2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第17題）如圖，正方形厶MDE的邊長(zhǎng)為2,B,C分別為AM、MD的中點(diǎn)，在

五棱錐PTBCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面A8F與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G、H

(1)求證：AB//FG；

⑵若力丄平面A8CDE,且力玄￡,求直線BC與平面A8F所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng).

18.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第19題）（本題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體工88-44。1。中，48=16,

8c=10,〃4=8,點(diǎn)E，尸分別在44，CQ上，/=4.過(guò)點(diǎn)E,尸的平面a與此長(zhǎng)

方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

DiCi

(I)在圖中畫岀這個(gè)正方形(不必說(shuō)出畫法和理由);

(II)求直線AF與平面。所成角的正弦值.

19.(2015高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題)(本題滿分12分)如圖，在長(zhǎng)方體481GA中，AAX=1,

AB=AD=2,E、F分別是棱/8、8C的中點(diǎn)，證明％、F、E四點(diǎn)共面，并求直線CQ與平

面4GFE所成角的大小.

20.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科?第19題)如圖，已知四棱錐尸一48C。，是以為斜邊的等腰

直角三角

形，BCDAD,CDYAD,PC=AD=2DC=2CB,E為尸。的中點(diǎn).

(I)證明：CE〃平面P/8；

(H)求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.

21.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷理科?第19題)如圖，四棱錐尸一〃6。中，PZ丄地面N8CO,AD〃BC,

4B=AD=4C=3,P4=BC=4,M為線段上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

(I)證明A/N〃平面0月3;

(II)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

p

D

B

22.(2016高考數(shù)學(xué)天津理科?第17題)如圖，正方形/3QD的中心為O,四邊形O3ER為矩形，平面

OBEF丄平面43CD,點(diǎn)G為N8的中點(diǎn)，AB=BE=2.

(I)求證：EG〃平面〃。尸：

(11)求二面角?！?一。的正弦值；

2

(III)設(shè)〃為線段/尸上的點(diǎn)，且AH=—HF,求直線8"和平面CER所成角的正弦值.

3

23.(2016高考數(shù)學(xué)四川理科?第18題)如圖，在四棱錐P—Z8C。中，AD〃BC,NADC=NPAB=9。。,

BC=CD=>AD,E為棱4)的中點(diǎn)，異面直線刃與CQ所成的角為90°

2

(1)在平面P/8內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CN〃平面P5E,并說(shuō)明理由；

(2)若二面角P-C。-4的大小為45。，求直線R4與PCE所成的角正弦值.

24.(2017年高考數(shù)學(xué)北京理科?第16題)如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面/BCD為正方形,平面總。丄

平面N8C。，點(diǎn)〃在線段P8上，PDH平面M4C,PA=PD=y[6,AB=4.

(I)求證：M為尸3的中點(diǎn)；

(II)求二面角8/的大小；

(III)求直線A/C與平面8OP所成角的正弦值.

題型五：求二面角

1.(2020天津高考?第17題)如圖，在三棱柱N5C-44G中，CG丄平面Z8C/C丄8cMe=8C=2,

CG=3,點(diǎn)。，E分別在棱和棱CG上，且/。=1CE=2,M為棱/固的中點(diǎn).

(I)求證:G"丄8Q；

(II)求二面角8-8遅-。的正弦值;

（Ill）求直線AB與平面DB\E所成角的正弦值.

2.（2020江蘇高考?第24題）在三棱錐/-8。中，已知CB=CD=卮BD=2,。為8。的中點(diǎn)，AO1

平面8C￡）,月0=2,E為/C的中點(diǎn).

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)尸在上，滿足8F=2BC,設(shè)二面角尸-DE-C的大小為。，求sin，的值.

3.（2021年新高考全國(guó)II卷?第19題）在四棱錐2-48CD中，底面NBCZ）是正方形，若

AD=2,QD=QA=y[5,QC=3.

（1）證明：平面丄平面Z8CZ）；

（2）求二面角8-。。-/的平面角的余弦值.

4.（2021年高考全國(guó)乙卷理科?第18題）如圖，四棱錐尸-力BCD的底面是矩形，PD丄底面488,

PD=DC=1,M為8C的中點(diǎn)，且P8丄

（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

5.（2020年高考課標(biāo)I卷理科?第18題）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，ZE為底面直徑,

AE=AD.口45。是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，PO=^-DO.

6

(1)證明：PZ丄平面P8C；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

6.(2020年高考課標(biāo)HI卷理科?第19題)如圖，在長(zhǎng)方體NBC?！?4GA中，點(diǎn)瓦尸分別在棱/

上，且=BF=2FB1.

(1)證明：點(diǎn)G在平面ZEF內(nèi)；

(2)若/8=2,AD=\,AA1=3,求二面角/—跖—耳的正弦值.

7.(2019?全國(guó)HI?理?第19題)圖1是由矩形/WEB,RtZ\ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。，將其沿厶8,8c折起使得8E與8F重合，連結(jié)。G,如圖2.

(D證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC丄平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

圖2

8.(2019?全國(guó)II?理?第17題)如圖，長(zhǎng)方體NBC?！?4GA的底面488是正方形，點(diǎn)E在棱

上，BE1￡C,.

(1)證明：BE丄平面E4G；

為4=4,4S=2,NA4D=60°,E,M,N分別是8C,BB、,同。的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面GOE；

(2)求二面角A-MA.-N的正弦值.

10.(2023年北京卷?第16題)如圖，在三棱錐P-4SC中，PN丄平面ZBC,

P4=4B=BC=1,尸C=JL

(1)求證：8。丄平面小B；

(2)求二面角4一尸。一3的大小.

11.(2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第20題)如圖，三棱錐4一BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

AADB=ZADC=60°，E為BC軸點(diǎn).

(D證明：BCIDA；

(2)點(diǎn)F滿足豆戸=方),求二面角。-45—尸的正弦值.

12.(2022新高考全國(guó)II卷?第20題)如圖，P。是三棱錐尸一/8C的高，PA=PB,丄ZC,E是P8

的中點(diǎn).

(1)證明：。石//平面尸/。；

(2)若NN3O=NC8O=30。，尸0=3,PA=5,求二面角C—4E-8的正弦值.

13.(2022新高考全國(guó)I卷?第19題)如圖，直三棱柱Z8C—44G的體積為4,口的面積為2行.

(1)求A到平面48c的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，AA.=AB,平面48c丄平面求二面角/一8。一。的正弦值.

14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理)?第20題)(12分)

如圖，在三棱錐尸-4BC中，AB=BC=272,PA=PB=PC=AC=4,。為ZC的中點(diǎn).

（1）證明：PO丄平面為8C；

（2）若點(diǎn)〃在棱8c上，且二面角M-P/-C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

15.（2014髙考數(shù)學(xué)重慶理科?第19題）如圖（19）,四棱錐P-ABCD,底面是以。為中心的菱形，P01

底面ABCD,

/

AB=2,ZBAD=-,M為BC上一點(diǎn)，且BM=—，MP±AP.

32

（1）求P0的長(zhǎng)；

（2）求二面角A-PM-C的正弦值。

P

16.（2014高考數(shù)學(xué)浙江理科?第20題）如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面48。丄平面

BCDE/CDE=ABED=90。,AB=CD=2,DE=BE=T,AC=尬.

（1）證明：DE丄平面/CO;

（2）求二面角B-AD-E的大小

17.（2014高考數(shù)學(xué)四川理科?第18題）三棱錐BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)分別為

線段NDZ3的中點(diǎn)，P為線段8c上的點(diǎn)，RMNLNP.

（I）證明：P是線段8c的中點(diǎn):

（1【）求二面角4—N尸一〃的余弦值.

18.（2014高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題）如圖，在四棱柱—中，底面Z8C。是等腰梯形,

ZDAB=60°,AB=2CD=2,M是線段N8的中點(diǎn).

（I）求證：G/〃平面

（II）若CD,垂直于平面ABCD且CD、=#>,求平面C.D.M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值.

19.（2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第19題）（本小題滿分12分）

如圖，A48C和A5CQ所在平面互相垂直，且4B=BC=BD=2,NABC=NDBC=120°,E、F

分別為AC、DC的中點(diǎn).

（1）求證：EF工BC；

（2）求二面角E-6尸一C的正弦值.

20.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科?第19題）如圖三棱柱NBC-48cl中，側(cè)面為菱形，AB“8c.

（1）證明：;

⑵若/C丄/耳，ZC5B,=60",AB=BC,求二面角￡的余弦值.

A4

21.（2014高考數(shù)學(xué)湖南理科?第19題）如圖，四棱柱N8C。-％與G2的所有棱長(zhǎng)都相等，AC[}BD=O

4G=a四邊形4CG4和四邊形片均為矩形.

（I）證明：0。丄底面45C。；

（II）若NC助=60°,求二面角G-。為一。的余弦值.

22.（2014高考數(shù)學(xué)廣東理科?第18題）如圖4,四邊形ABCD為正方形，PD丄平面ABCD,NDPC=30°,

4F丄PC于點(diǎn)、F,FE//CD,交PD于點(diǎn)、E.

（1）證明：CF丄平面NDP：

（2）求二面角D-AF-E的余弦值.

23.（2014高考數(shù)學(xué)大綱理科?第19題）如圖,三棱柱/8C-44G中，點(diǎn)4在平面NBC內(nèi)的射影。在4。

上，乙4c8=90°,BC=\,AC=CC,=2.

（1）證明：AC}1A}B；

（2）設(shè)直線AA,與平面BCCR的距離為百，求二面角A.-AB-C的大小.

24.（2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第19題）（本小題滿分13分，（1）小問(wèn)4要，（2）小問(wèn)9分）

7T

如圖，三棱錐P—/8C中，尸C丄平面/BC,PC=3,N/CB=—.分別為線段48,8。上的點(diǎn),

2

RCD=DE=6,CE=2EB=2.

（1）證明：DE丄平面PC。；

（2）求二面角A-PD-C的余弦值.

25.（2015高考數(shù)學(xué)浙江理科第17題）（本題滿分15分）如圖，在三棱柱/8C-4&G-中，ZBAC=90°,

AB=AC=2,4/=4,4在底面Z8C的射影為的中點(diǎn)，。為4G的中點(diǎn).

G

D

/:

L---------------------

4B

（1）證明：4。丄平面/乃c；

（2）求二面角A.-BD-4的平面角的余弦值.

26.（2015高考數(shù)學(xué)四川理科?第18題）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,

在正方體中，設(shè)8c的中點(diǎn)為M,G”的中點(diǎn)為N.

（1）請(qǐng)將字母￡G,〃標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）

（2）證明：直線MN//平面BDH

（3）求二面角A-EG-M的余弦值.

27.（2015高考數(shù)學(xué)陜西理科?第18題）（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，ADDBC,

TT

ABAD=-,AB=BC=1,AD=2,E是4。的中點(diǎn)，。是4c與BE的交點(diǎn).將ZU3E沿BE折

2

起到A4/E的位置，如圖2.

（II）若平面4BE丄平面BCDE,求平面48c與平面A.CD夾角的余弦值.

28.（2015高考數(shù)學(xué)山東理科?第17題）如圖，在三棱臺(tái)。所一48。中，4B=2DE,G,H分別為4C,BC

的中點(diǎn).

（I）求證：BD//平面FGH；

（II）若C77丄平面NBC,AB丄BC,CF=DE,ZS4C=45°，求平面尸GH■與平面4CFD所

成的角（銳角）的大小.

29.（2015高考數(shù)學(xué)福建理科?第17題）如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，厶B一平面8EC,

BE亠EC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段8￡,DC的中點(diǎn).

（I）求證：GE//平面力QE；

（II）求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

30.(2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第17題)(本小題14分)如圖，在四棱錐力-ERC8中，△NEE為等邊三角

形，平面/EF丄平面EF//BC,BC=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60。，。為E尸的中點(diǎn).

(I)求證：40丄BE；

(II)求二面角"-HE-8的余弦值；

(IH)若8E丄平面ZOC,求a的值.

31.(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科?第19題)(本小題滿分13分)如圖所示，在多面體444。。氏4,四邊形

AA.B.B,均為正方形，E為回。的中點(diǎn)，過(guò)4，。,后的平面交于F.

(I)證明：EF//B\C；

(II)求二面角E-A.D-瓦的余弦值.

32.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第18題)如圖，在四棱錐尸-48。中，ABHCD,且

NBAP=ZCDP=90°.

(1)證明：平面正45丄平面以。；

(2)QA=PD=AB=DC,NAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

33.(2017年高考數(shù)學(xué)山東理科,第17題)如圖，幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形/3CZ)(及其內(nèi)部)以

Z8邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是月//的中點(diǎn).

（I）設(shè)尸是比上的一點(diǎn)，且/。丄5E,求Z.CBP的大??；

（II）當(dāng)38=3,/。=2,求二面角E—/G—C的大小.

34.（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第25題）如圖，在平行六面體ABCD-ArBrCiDi中，厶4丄平面厶8CD,且

AB-AD-2,AAy.-^,ZBAD=\20°.

（1）求異面直線ArB與AQ所成角的余弦值；

（2）求二面角B-AxD-A的正弦值.

35.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第17題）（本題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)N5C-DE尸中，平面8CFE丄平

面43C,4C8=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（I）求證：8尸丄平面/CbD；

（II）求二面角8-40-尸的平面角的余弦值.

（笫爲(wèi)題圖）

35.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第19題）（本小題滿分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,

48=5,/。=6,點(diǎn)E,77分別在上，AE=CF=',EF交BD于點(diǎn)H.將ADEF沿EF

4

折到AD'E廠的位置，OD'=M.

⑴證明：D'H丄平面4BCD：

（II）求二面角5—O'Z—C的正弦值.

37.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第18題）（本題滿分為12分）如圖，在以4民。,。,民尸為頂點(diǎn)的五面

體中，面45E戶為正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角。一工廠一后與二面角C—8E-歹

都是60°.

⑴證明平面ABEF丄EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

題型六：求幾何題的表面積和體積

1.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第17題）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正

四棱錐p-4AGP，下部分的形狀是正四棱柱4%GA（如圖所示），并要求正四棱柱的高

是正四棱錐的高pq的4倍.

（1）若48=6陽(yáng)，尸Q1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少；

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,當(dāng)PQ為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大?

2.（2014高考數(shù)學(xué)上海理科?第19題）底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐尸-N8C,其表面展開圖是三角形々巴弓,

如圖.求AHE的各邊長(zhǎng)及此三棱錐的體積廣.

3.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科?第18題）（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

（I）證明：PB〃平面AEC；

（II）設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=JL求三棱錐E-ACD的體積.

4.（2014高考數(shù)學(xué)安徽理科?第20題）如圖，四棱柱中，丄底面/BCD.四邊形

48C。為梯形，AD//BC,且4。=28c.過(guò)4,C,0三點(diǎn)的平面記為a,8片與a的交點(diǎn)為。.

(I)證明：。為8月的中點(diǎn);

(II)求此四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積之比;

(III)若力4=4,8=2,梯形的面積為6,求平面a與底面/BCD所成二面角的大小.

5.(2015高考數(shù)學(xué)湖南理科?第21題)如圖，己知四棱臺(tái)Z8C。-44GA上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3

和6的正方形，34=6,且丄底面Z8CD,點(diǎn)P，。分別在棱。口，BC上.

(1)若P是的中點(diǎn)，證明：AB,1PQ；

3

(2)若P。//平面/8片4,二面角P—。。一4的余弦值為求四面體ZOP。的體積.

題型七：求距離的問(wèn)題

1.(2019?上海?第17題)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD一44CQ中，M為84上一點(diǎn)，已知切0=2,4)=4,

CD=3,N4=5.

(1)求直線A,C與平面ABCD的夾角；

(2)求點(diǎn)A到平面A.MC的距離.

2.（2023年天津卷?第17題）三棱臺(tái)ABC-AyBXC}中,若A,A1面

ABC,ABLAC,AB=AC=AA{=2,AXC,=\,A/,N分別是中點(diǎn).

(1)求證：&N〃平面￡M4；

(2)求平面GM4與平面NCG4所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)C到平面C.MA的距離.

題型八：根據(jù)條件確定點(diǎn)的位置

1.(2021高考北京?第17題)如圖：在正方體N8CO—44Goi中，E為44中點(diǎn)，4G與平面CQE交

于點(diǎn)尸.

(1)求證：尸為與G的中點(diǎn)；

(2)點(diǎn)河是棱4與上一點(diǎn)，且二面角EC-E的余弦值為走，求縹的值.

3

2.(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科?第19題)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48CZ)-4用。。|中，E、F、M、N

分別是棱Z8、AD、4片、

4A的中點(diǎn)，點(diǎn)。、。分別在棱。A、BB1上移動(dòng),且。0=80=4(0<4<2).

(I)當(dāng)4=1時(shí)，證明：直線8G〃平面屏「。；

(II)是否存在％,使平面EFP。與面尸。MV所成的二面角為直二面角？

若存在，求出4的值；若不存在，說(shuō)明理由.

3.(2021年高考全國(guó)甲卷理科?第19題)已知直三棱柱/8C-48cl中，側(cè)面/4耳8為正方形,

AB=BC=2,E,F分別為〃。和CG的中點(diǎn)，。為棱4用上的點(diǎn).BF±

(1)證明：BFIDE；

(2)當(dāng)BQ為何值時(shí)，面BB￡C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

4.(2021年新高考I卷?第20題)如圖，在三棱錐Z-BCD中，平面丄平面BCD,AB=AD,O為BD

的中點(diǎn).

(1)證明：04丄CD；

(2)若口OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱/。上，=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,

求三棱錐Z-8CZ)的體積.

5.(2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第17題)(本小題14分)如圖，在四棱錐尸-188中，平面丄平面

ABCD,PA丄PD,PA=PD,AB丄AD,AB=1,AD=2,AC=CD=#.

⑴求證：丄平面尸/8；

(II)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(III)在棱P4上是否存在點(diǎn)“，使得8M//平面PC。？若存在，求處的值；若不存在，說(shuō)明理由.

AP

6.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第18題)如圖，在正四棱柱43CQ-4耳G2中，48=2,44=4?點(diǎn)

A2,B2,C2,D2分別在棱AAX,BB],CC\,DD1上，AA2=I,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2.

⑵點(diǎn)P在棱8片上，當(dāng)二面角尸—4G—烏為150°時(shí)，求鳥尸.

7.(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)?第17題)(本小題滿分13分)如圖，ADHBCaAD=2BC,ADLCD,

EG〃N。且EG=/。，CD//FG,且8=2/G,Z)G丄平面Z8CD,DA=DC=DG=2.

(1)若“為C77的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN”平面CDE；

(2)求二面角E-BC-F的正弦值；

(3)若點(diǎn)尸在線段。G上，且直線8。與平面NOGE所成的角為60。，求線段。尸的長(zhǎng).

G

N

E

C

A

8.(2014高考數(shù)學(xué)天津理科?第17題)如圖，在四棱錐P-力8a)中，P/丄底面/BCD,ADLAB,AB//DC,

AD=DC=AP=2,48=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(II)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(III)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BFVAC,求二面角F-AB-P的余弦值.

9.(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第19題)(本小題滿分12分)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱

與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉朧.

如圖，在陽(yáng)馬P-/8CZ)中，側(cè)棱尸。丄底面488,且PZ)=Cr>,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF丄PB交

PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

(I)證明：P8丄平面。E尸.試判斷四面體。8E尸是否為鱉犒，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出

結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由；

(II)若面DEF與面4BCD所成二面角的大小為工，求生的值.

3BC

10.(2017年高考數(shù)學(xué)天津理科?第17題)如圖，在三棱錐尸-48。中，PZ丄底面A5C,/氏4C=90°.點(diǎn)

D,E,N分別為梭PA,PC,6C的中點(diǎn)，M是線段工。的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-EM-N的正弦值；

(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為立，求線段AH的長(zhǎng).