重難點(diǎn)專題23 解三角形壓軸小題十一大題型匯總（原卷版）

重難點(diǎn)專題23解三角形壓軸小題十一大題型匯總題型1正余弦定理 1題型2取值范圍問(wèn)題 2◆類型1轉(zhuǎn)化角度法 3◆類型2正弦定理法 3◆類型3正弦定理+輔助角 4◆類型4轉(zhuǎn)化正切法 5◆類型5余弦定理法 6◆類型6建系法 7◆類型7轉(zhuǎn)化函數(shù) 8◆類型8二次型取值范圍 9◆類型9基本不等式 9題型3中線問(wèn)題 10題型4角平分線問(wèn)題 11題型5高線問(wèn)題 11題型6四邊形問(wèn)題 12題型7多三角形問(wèn)題 13題型8與向量結(jié)合問(wèn)題 14題型9實(shí)際問(wèn)題 16題型10正余弦定理與立體幾何 18題型11正余弦定理與解析幾何 21題型1正余弦定理正弦定理和余弦定理是解決三角形問(wèn)題的重要工具，根據(jù)已知條件和所求未知量的不同，選擇合適的方法可以更加高效地解決問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用這兩個(gè)定理，可以幫助我們求解各種未知邊長(zhǎng)和角度，在解題過(guò)程中，我們還可以利用三角形內(nèi)角和為180度來(lái)輔助求解.【例題1】（多選）（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若sinA=A．A+B=π2 B．2A【變式1-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若【變式1-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若【變式1-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+12，A．a(chǎn)ba+bC．6≤abc≤12 D【變式1-1】4.（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知△ABC的面積S滿足b+c2=【變式1-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在Rt△ABC中，斜邊為AB，點(diǎn)D在邊BC上，若tan∠BAD=24題型2取值范圍問(wèn)題解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.◆類型1轉(zhuǎn)化角度法【例題2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC中，角A，B，C滿足cos2A-cos【變式2-1】1.（2023秋·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，若sinA=2cosB【變式2-1】2.（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a2=b2+bcA．0,2 B．1,3 C．0,2 D【變式2-1】3.（多選）（2023秋·河南·高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習(xí)）用長(zhǎng)為3的鐵絲圍成△ABC，記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為A．存在△ABC滿足a,bB．存在△ABC滿足aC．△ABC的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D．可以完全覆蓋△ABC的最小圓的半徑為◆類型2正弦定理法【例題2-2】（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）△ABC中，sinπ2-BA．-1，12 B．13，【變式2-2】1.（2022秋·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考期中）在銳角ΔABC中，A=2B，則ABACA．-1,3 B．C．(2,3【變式2-2】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosB-bcosA．33,2C．2-3,2【變式2-2】3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,bA．43 B．62 C．83【變式2-2】4.（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,A．23,1 BC．1,+∞ D．◆類型3正弦定理+輔助角【例題2-3】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，S為△A．4,6 B．4,2C．6,25+2 D【變式2-3】1.（2022秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，BC=3AC，∠BAC=π3，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線AC的兩側(cè)，且A．3 B．33 C．3 D．【變式2-3】2.（2022秋·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，若3sinA(cosAaA．23,4 B．2,23 C．0,4【變式2-3】3.（2022秋·廣東廣州·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰O(shè)△ABC的面積為S，∠BAC=θ，已知AB?AC=4【變式2-3】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若sinBsinC3sinA=cosA◆類型4轉(zhuǎn)化正切法對(duì)含有正切函數(shù)求最值取值范圍，一般從一下方面分析：切化弦，在三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC【例題2-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且2S=aA．95,7337 B．281181,【變式2-4】1.（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，已知sinA=cosB=tanC，邊a,【變式2-4】2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c,AA．4 B．6 C．8 D．9【變式2-4】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知△ABC中，其中∠A=60°，BC=2，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則【變式2-4】4.（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2+2abcosC=3◆類型5余弦定理法【例題2-5】（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanAsinAtanBtanC-1【變式2-5】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知△ABC內(nèi)接于半徑為6的圓，以BC，AC，AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A',B',C'.【變式2-5】2.（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，(a+c)(sinA-sinA．2 B．223 C．3 D【變式2-5】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAC=60°，AD=2，CD=2BD，當(dāng)【變式2-5】4.（2022·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）若△ABC三邊長(zhǎng)為等差數(shù)列，則cosA+cos◆類型6建系法1.滿足圓錐曲線定義，特別是“阿波羅尼斯圓”，可以適當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點(diǎn)2.利用正余弦平方形式可以建系設(shè)點(diǎn)3.具有幾何意義特征，如垂直，距離，斜率等.可以適當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點(diǎn)【例題2-6】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，有以下四個(gè)命題中正確的是（

A．Sa2B．當(dāng)a=2，sinB=2C．當(dāng)a=2，sinB=2sinC，D．當(dāng)a=2，sinB=2sinC，A=2C時(shí)，若【變式2-6】1.（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的中線，BD=2【變式2-6】2.（2022秋·四川成都·高三川大附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的三邊分別為a，b，c，且c=2【變式2-6】3.（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知△ABC的面積為13(λ+1)2(λ為常數(shù)且λ>0),【變式2-6】4.（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎鰽BC是面積為33的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于△ABC的內(nèi)部及三邊上，且可在△ABC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則A．-92 B．32 C．6【變式2-6】5.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=3,sinB=m?◆類型7轉(zhuǎn)化函數(shù)【例題2-7】（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，若tanA【變式2-7】1.（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知在△ABC中，sin2B+2sin2C=4sin2AA．106,+∞ B．103,+∞【變式2-7】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三角形ABC中，A=π3，D是BC邊上一點(diǎn)，且滿足BD=2DC，則AD【變式2-7】3.（2022春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A-1,0，B3,0，P是圓O:xA．33 B．53 C．34【變式2-7】4.（2022秋·湖北黃岡·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a=2，且bcosA-2cos【變式2-7】5.（2022秋·廣西桂林·高三校考階段練習(xí)）在△ABC中，設(shè)a，b，c分別為角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊，記△ABC的面積為S，且bsinB+2◆類型8二次型取值范圍【例題2-8】（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c=1，asinAA．19 B．16 C．23【變式2-8】1.（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinB=a【變式2-8】2.（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BC=2,AB=2AC，D為BC【變式2-8】3.（2023春·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=4，c=3b【變式2-8】4.（2023春·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知△ABC中，|AB|2+2AB?【變式2-8】5.（2022春·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是；◆類型9基本不等式【例題2-9】（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高三校考階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，若4S=a2-b-【變式2-9】1.（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且BC=3BD，AD=2，tan∠BAC【變式2-9】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=π3，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，【變式2-9】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且滿足c=4,題型3中線問(wèn)題1.中線可分三角形得兩個(gè)三角形，分別運(yùn)用余弦定理2.中線可延伸補(bǔ)形得平行四邊形【例題3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=120°，AO為BC邊上的中線且AO=2，則AB【變式3-1】1.（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，且a?b?c為正數(shù)，【變式3-1】2.（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，點(diǎn)G為△ABC的重心，若AG⊥BG，則【變式3-1】3.（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為2，則線段A．0,322 B．322,+∞【變式3-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，AB=2，D,E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)O，若OC=A．3 B．33 C．63 D【變式3-1】5.（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB=bcosA，M是BC的中點(diǎn)，若AM題型4角平分線問(wèn)題1.角平分線，可以借助面積"和"構(gòu)造等量關(guān)系2.角平分線也是兩邊的“對(duì)稱軸”3.三角形角平分線定理可以直接在小題中使用【例題4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在非直角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinA+bsinB-csinCA．387 B．37 C．1【變式4-1】1.（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，BD=1且b=2，則A．7 B．22 C．2+22 D【變式4-1】2.（2021秋·河南濮陽(yáng)·高三濮陽(yáng)市華龍區(qū)高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在ΔABC中，∠A=2∠B，AB=73，BC=4，CD平分∠ACB交題型5高線問(wèn)題1.一般給高，基本就與求面積聯(lián)系起來(lái)2.高也可以分開(kāi)構(gòu)造直角三角形，得出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值【例題5】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B=60°，ac=6，點(diǎn)D在邊AC上，且BD⊥AC．過(guò)點(diǎn)D分別作邊AB，BC的垂線，垂足分別為M，N，設(shè)BM=m，BN【變式5-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在Rt△ABC中，斜邊為AB，點(diǎn)D在邊BC上，若tan∠BAD=24【變式5-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC為銳角三角形，D，E分別為AB、AC的中點(diǎn)，且CD丄BE，則cosA的取值范圍是A．(12,1) B．(12,6【變式5-1】3.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，E為線段AC上一點(diǎn)（不與A，C重合），D為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=2，CD=1題型6四邊形問(wèn)題1.四邊形可以“劈成”倆三角形.2.四邊形可以“補(bǔ)成”三角形【例題6】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，AB=2,DA?DC=6,∠【變式6-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一塊三角形鐵片ABC，已知AB=4，AC=43，∠BAC=5π6，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)D，AD=1，∠BAD=π6.如果過(guò)點(diǎn)D作一條直線分別交AB，ACA．33 B．23 C．6 D【變式6-1】2.（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．若c=23，b=2，C=π3，AD是BC邊上的高線，點(diǎn)D為垂足．點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)B【變式6-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰梯形ABCD是半徑為2的圓的內(nèi)接四邊形，且AB∥CD，∠ABC∈0,π3【變式6-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的邊BC上有一點(diǎn)E，邊DC上有一點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合）且BE>DF，若△AEF是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，則BA?題型7多三角形問(wèn)題【例題7】（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinB+π+bcos5π6-A=0，a=15，若點(diǎn)MA．3037 B．30314 C．【變式7-1】1.（2023春·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知AD=2DC，AC=3BC，sin∠BDCA．34 B．52 C．38【變式7-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)AD=λAB+μAC，若【變式7-1】3.（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知∠A=18°,∠B=87°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，點(diǎn)E在AC【變式7-1】4.（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=π3，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2題型8與向量結(jié)合問(wèn)題1.用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．2.向量具有數(shù)形二重性，一方面具有“形”的特點(diǎn)，借助于幾何圖形進(jìn)行研究，利用數(shù)形結(jié)合增強(qiáng)解題的直觀性；另一方面又具有一套優(yōu)良的運(yùn)算性質(zhì)，因此，對(duì)于某些幾何命題的求解或證明，自然可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題來(lái)解決，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幾何問(wèn)題代數(shù)化【例題8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”．它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于23π時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角23π；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于23π時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問(wèn)題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1,BC=2，且點(diǎn)MA．﹣1 B．-45 C．-3【變式8-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且GA+GB=GA-GB，當(dāng)A．45 B．35 C．25【變式8-1】2.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D為AC中點(diǎn)，E在BD上，且BE=12ED，A．AE=3 B．C．△ACF的面積為37 D【變式8-1】3.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意△ABC，AE=2EC，BD=34DC，兩直線AD，BE相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)COA．COB．xOA+C．當(dāng)∠BAC=π3，ABD．S【變式8-1】4.（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為aA．cosAcosB．若D是AC邊上的一點(diǎn)，且CD=2DA，BD=4，則C．若△ABC是銳角三角形，則caD．若BD平分∠ABC交AC點(diǎn)D，且BD=1，則4題型9實(shí)際問(wèn)題【例題9】（多選）（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某數(shù)學(xué)建模活動(dòng)小組在開(kāi)展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問(wèn)題的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中MA，NB均與水平面ABC垂直．在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離AC，BC的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中一定能唯一確定M，N之間的距離的有（

）

A．∠MCA，∠NCB，∠ABC B．∠ACB，∠NCB，∠MCNC．∠MCA，∠NCB，∠MCN D．∠MCA，∠NCB，∠ACB【變式9-1】1.（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)”，若要測(cè)量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD=8海里，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°

【變式9-1】2.（多選）（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）某社區(qū)規(guī)劃在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)如圖所示的四邊形休閑區(qū).已知AB=BC=2CD=20米，AD=30米，且修建該休閑區(qū)的費(fèi)用是A．若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則BD=10B．若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，則修建該休閑區(qū)的總費(fèi)用為4萬(wàn)元C．若A+C=D．若要修建完成該休閑區(qū)，則該社區(qū)需要準(zhǔn)備的修建費(fèi)用最多為43【變式9-1】3.（2022秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，一圓形紙片直徑AB=20cm，需要剪去四邊形CEC已知點(diǎn)C在圓上且AC=10cm，∠ECD=30°．則鏤空四邊形CEC1【變式9-1】4.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小，若AB=15cm,AC=25cm,∠BCM=30°，則tanθ的最大值是（A．305 B．3010 C．43題型10正余弦定理與立體幾何【例題10】（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四面體ABCD中，AD=2，BD=3，∠BCD=120°，直線AD與BC所成的角為60°，且二面角AA．32π3 B．16π3 C．【變式1-10】1.（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=1,BC=3,AC⊥CD,CD=3AC，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，令對(duì)角線BD取到最大值，如圖2，此時(shí)將A．0,1010 BC．0,324+【變式10-1】2.（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FP-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=1，AC=3，PB=33，∠ABP=90°，點(diǎn)A．322 B．5216 C．【變式10-1】3.（多選）（2023春·安徽·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖1中的掃地機(jī)器人的外形是按照如下方法設(shè)計(jì)的：先畫(huà)一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形.德國(guó)工程師勒洛首先發(fā)現(xiàn)這個(gè)曲邊三角形能夠像圓一樣當(dāng)作輪子用，故稱其為“勒洛三角形”.將其推廣到空間，如圖2類似地以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體便稱為“勒洛四面體”.則下列結(jié)論正確的是（

）

A．若正三角形的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形面積為2B．若正三角形的邊長(zhǎng)為R，勒洛三角形的面積比其中間正三角形的面積大2C．若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-D．若正四面體的棱長(zhǎng)為2，勒洛四面體表面上交線AC的長(zhǎng)度小于3【變式10-1】4.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．勒洛四面體ABCD最大的截面是正三角形B．勒洛四面體ABCD的體積大于正四面體ABCD的體積C．勒洛四面體ABCD被平面ABC截得的截面面積是8D．勒洛四面體ABCD四個(gè)曲面所有交線長(zhǎng)的和為8【變式10-1】5.（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）四面體A-BCD的體積是V，AB=a,AC【變式10-1】6.（2023秋·湖南湘潭·高三湘鋼一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，∠BAC=π2，AB=2，AC=1，點(diǎn)D為邊BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將