初中七年級數(shù)學 函數(shù)及其性質(zhì) 函數(shù)的圖象

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第二篇函數(shù)及其性質(zhì)

專題2.07函數(shù)的圖象

【考試要求】

1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù);

2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.

【知識梳理】

1.利用描點法作函數(shù)的圖象

步驟：⑴確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）;

（4）列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換

|可+A|

移

I?=/u+?）I*—L移a|I—厶"T|

925小<”個單位I—￡2.----T1r西林----1

；MW”平船住

|,吆1）-4|

（2）對稱變換

關(guān)于X軸對稱

y=/(x)的圖象——一y=-/U）的圖象；

關(guān)于y軸對稱

），=/U）的圖象———>）二八一X）的圖象；

關(guān)于原點對稱

y=/U）的圖象——-------->y=-A—x）的圖象；

y=av（a>0,且a，1）的圖象---差士■潑】~到處——>y=log,產(chǎn)（a>0,且a#1）的圖象.

（3）伸縮變換

縱坐標不變

y=fix）------------------------------------------------->y=/3）.

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模ǎ?0）倍

橫坐標不變

y=fix）----------------------------------------------------------'—?y=A?x）.

各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼?4>0）倍

（4）翻折變換

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X軸下方部分翻折到上方

)，=/(x)的圖象X)I的圖象;

-X軸及上方部分不變”=!/(

)，軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

y=/5)的圖象-----------------------------------9的圖象.

原)，軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變.

【微點提醒】

記住幾個重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=/(x)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與y=2b-/(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,b)中心對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：_/(a+x)=/(a—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

【疑誤辨析】

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打W”或“x”)

(1)函數(shù)y=/U-x)的圖象，可由)，=火一x)的圖象向左平移1個單位得到.()

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù))>=於)與>=式-x)的圖象關(guān)于>軸對稱.()

(3)當xd(O,+oo)時，函數(shù)y=/(kl)的圖象與y=|/(x)l的圖象相同.()

(4)若函數(shù)y=?r)滿足x),則函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.()

【教材衍化】

[X2,X<0,

2.(必修IP24A7改編)下列圖象是函數(shù)>=八的圖象的是()

%—Lx>0

3.(必修IP23T2改編)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加

快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是()

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【真題體驗】

4.（2019?青島二中月考）函數(shù)負x）的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=3關(guān)于），軸對稱，則;（X）

的解析式為（）

A"x）=ex+iBy（x）=ex-i

C.fix）=e-x+1Dy（x）=e-x-\

5.（一題多解）（2018?全國III卷）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是（）

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

6.（2019-上海崇明區(qū)檢測）已知函數(shù)危）的圖象如圖所示，則函數(shù)蛉）=1。4/0的定義域是.

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【考點聚焦】

考點一作函數(shù)的圖象

【例1】作出下列函數(shù)的圖象:

(l)y=Q);(2)y=llog2(x+l)l；

(3)y=^2-21x1-1.

【規(guī)律方法】作函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法.當函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)

鍵點直接作出.

(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，并

應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

【訓練1】分別作岀下列函數(shù)的圖象：

(l)y=llgxl；(2)j=sinIxl.

考點二函數(shù)圖象的辨識

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【例2】（1）（一題多解）（2017?全國HI卷）函數(shù)y=l+x+詈的部分圖象大致為（）

【規(guī)律方法】1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判

斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計算：

從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.

【訓練2】（2018?浙江卷）函數(shù)y=2M-sin2x的圖象可能是（）

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考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度1研究函數(shù)的性質(zhì)

【例3—1】已知函數(shù)於）=xld一%，則下列結(jié)論正確的是（）

A/V）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0,+00）

B./U）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

C/U）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）

D<x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

角度2求不等式的解集

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【例3—2】已知函數(shù)了=段)的圖象是如圖所示的折線AC8,且函數(shù)8(尤)=叫2。+1)”,則不等式於日Q)

的解集是()

爛}0

B.{尤I-爛1}

C.{xl—l<r<l}

D.{xl—l<x<2}

角度3求參數(shù)的取值范圍

Ixl,x<m,

(FiJ3-31(2019?合肥一中質(zhì)檢)己知函數(shù)段)=、,其中心0.若存在實數(shù)"使得關(guān)于

x2—2mjc+4m,x>m,

x的方程y(x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是.

【規(guī)律方法】1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單

調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程;(x)=g(x)的根就是函數(shù)/U)與g(x)圖象交點的

橫坐標；不等式兀v)<g(x)的解集是函數(shù)兀v)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

思想.

【訓練3】(1)(2019?杭州檢測)已知段)=2一1,g(x)=l-x2,規(guī)定:當次x)|Ng(x)時，/i(x)=l/(x)l;當人x)l<

g(x)時，厶(X)=—g(x),則力(x)()

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A.有最小值一1,最大值1

B.有最大值1,無最小值

C.有最小值一1,無最大值

D.有最大值一1,無最小值

⑵已知函數(shù)/)=Lr—2l+l,g(x)=fct.若方程/)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是.

【反思與感悟】

I.識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值

域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

2.用圖

借助函數(shù)圖象，可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì).利用函數(shù)的圖象，還可以

判斷方程7U)=g(x)的解的個數(shù)，求不等式的解集等.

【易錯防范】

1.圖象變換是針對自變量x而言的，如從八一2%)的圖象到共-2x+l)的圖象是向右平移;個單位，先作如下

變形貝一2x+l)=/(—2(x—J)),可避免出錯.

2.明確一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱與兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的不同，前者是自身對稱，且為偶函數(shù),

后者是兩個不同函數(shù)的對稱關(guān)系.

3.當圖形不能準確地說明問題時，可借助“數(shù)”的精確，注重數(shù)形結(jié)合思想的運用.

【核心素養(yǎng)提升】

【直觀想象】——函數(shù)圖象的活用

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直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的重要手段，在數(shù)學研究的探索中，通過直觀手段的運用以

及借助直觀展開想象，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的例子比比皆是，并貫穿于數(shù)學研究過程的始終，而數(shù)形

結(jié)合思想是典型的直觀想象范例.

類型1根據(jù)函數(shù)圖象特征，確定函數(shù)解析式

函數(shù)解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種重要表示法，圖象形象直觀，解析式易于研究函數(shù)性質(zhì)，可根據(jù)需要,

相互轉(zhuǎn)化.

［例1］已知函數(shù)/U）的圖象如圖所示，則式》）的解析式可以是（）

B./(X)=Y

C月x)=^_l

D.7(x)=x—

類型2利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零點）常借

助圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系.

【例2】（2019?安徽江淮十校聯(lián)考）已知max{a,/）}表示a,b兩數(shù)中的最大值.若/（x）=max{eai,eix-21},則

Ax）的最小值為.

［例3］（2016?全國H卷）已知函數(shù),/（x）（xeR）滿足大x）=/（2—x）,若函數(shù)了=山一2x—31與y=/（x）圖象的交點

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ni

為（X],%）,（X2.y2）.........（Xm，%）,則￡不=（）

/=1

A.OB.mC.2mDAm

【規(guī)律方法】I.由函數(shù)圖象對稱性，函數(shù)y=/（x）與y=lx2—2x—31圖象分別關(guān)于直線x=l對稱，則兩圖象的

交點關(guān)于x=l對稱.

2.解此類求圖象交點橫、縱坐標之和的問題，常利用圖象的對稱性求解，即找出兩圖象的公共對稱軸或?qū)ΨQ

中心，從而得出各交點的公共對稱軸或?qū)ΨQ中心，由此得出定值求解.

類型3利用函數(shù)的圖象求解方程或不等式

若研究的方程（不等式）不能用代數(shù)法求解，但其與基本初等函數(shù)有關(guān)，常將方程（不等式）問題轉(zhuǎn)化為兩函

數(shù)圖象的交點或圖象的上下位置關(guān)系，然后由圖象的幾何直觀數(shù)形結(jié)合求解.

【例4】（1）函數(shù)貞x）=2sinxsinQ+p—X2的零點個數(shù)為.

[ld+2,x<l,

（2）（2017.天津卷）已知函數(shù)/）={,2設(shè)“ER,若關(guān)于x的不等式於巨專+。在R上恒成立，則。

[x+7，x>l.”

的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[—2vl2]

C.[-2,25JD.[-2A/3,2小1

【分層訓練】

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【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時：35分鐘）

一、選擇題

1—X2

1.（2019?長郡中學聯(lián)考涵數(shù)段）=r的圖象大致為（）

2.若函數(shù)兀0=0—8的圖象如圖所示，則（）

B.tz>l,0<b<1

C.0<〃vl,h>\

D.Ovavl,O<Z?<1

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3.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=g（x）的圖象與y=e<的圖象關(guān)于直線y=x對稱.而函數(shù)），=兀0的圖象與

y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，若/（,"）=—1,則朋的值是（）

A.—eB.—C.eD.-

ee

4.（2019?黃山一模）已知圖①中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=/（x）,則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）

A.y=/M)

D.y=-ALd)

5.已知函數(shù)沢2x+l）是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/（2x）的圖象成中心對稱的點為（）

A.(l,0)B.(—1,0)

爛e,

6.（2019.北京海淀區(qū)模擬）已知函數(shù)式x）=則函數(shù)y=/（e-x）的大致圖象是（）

Inx,x>e,

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7.(2019?煙臺二模)已知函數(shù)兀0=.亠,(a,b,c,deR)的圖象如圖所示，則()

A.?0,te>0,c<0,d>0B.〃<0,/?>0,c<0,d>0

C.avO,/?>0,c>0,d>0D.〃>0,b<09c>0,d>Q

(2—tn)x

8.若函數(shù)兀0=一口+"7」的圖象如圖所示,則機的取值范圍為()

B.(-l,2)

C.(0,2)D.(l,2)

二、填空題

9.(2019,石家莊模擬)若函數(shù)y=/(x)的圖象過點(1,1),則函數(shù)y=/(4—x)的圖象一定經(jīng)過點.

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10.如圖，定義在［—1,+8）上的函數(shù)人X）的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則式X）的解析式為

11.使log2（—x）＜x+1成立的X的取值范圍是.

12.若關(guān)于x的方程1x1=4—x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是,

【能力提升題組】（建議用時：15分鐘）

13.函數(shù)丫=曙+9在1―2,0］U（0,2］上的大致圖象為（）

拼搏的你，背影