山西洪洞新英學(xué)校2020-2021學(xué)年高二期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷

理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角的取值范圍（）A． B． C． D．2．過(guò)點(diǎn)的直線與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．3．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．5．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則6．已知直線與平行，則等于（）A．或 B．或 C． D．7．過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．8．已知，，光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)線段(含線段端點(diǎn))反射，恰好與圓相切，則（）A． B．C． D．9．直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C．或 D．10．直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B．C． D．12．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，用斜二測(cè)畫法得到它的直觀圖，則它的直觀圖的面積是．14．已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是．15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)．16．若關(guān)于的方程()在區(qū)間有實(shí)根，則最小值是．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）．18．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線QUOTE交圓于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)直線QUOTE的斜率時(shí)，求弦的長(zhǎng)．19．（12分）已知點(diǎn)，圓．（1）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求的值；（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程．20．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，，求直線的方程．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．（1）證明：；（2）若面面，，，，求到平面的距離．22．（12分）已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、．（1）當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段長(zhǎng)度的最小值．理科數(shù)學(xué)答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得的斜率為，易得，由傾斜角與斜率的關(guān)系，即，由正切函數(shù)的圖象，可得的范圍是，故選D．2．【答案】D【解析】如圖，由題得直線過(guò)定點(diǎn)，∵，，∴要使直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是或，即，故選D．3．【答案】D【解析】根據(jù)不等式組作出可行域如圖所示陰影部分，令目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為直線系，即直線的斜率，直線系在可行域內(nèi)的兩個(gè)臨界點(diǎn)分別為和，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，即的取值范圍為，所以的最大值為，故選D．4．【答案】C【解析】依據(jù)多面體的三視圖，畫出它的直觀圖，如圖所示；在棱長(zhǎng)為的正方體中，四面體就是滿足圖中三視圖的多面體，其中、點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，所以，四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為，故選C．5．【答案】C【解析】A，因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓚€(gè)平面可能平行或相交，不能確定兩平面之間是平行關(guān)系，故不正確；B，若，，，則或相交，故不正確；C，由垂直同一條直線的兩個(gè)平面的關(guān)系判斷，故正確；D，若，，，則或相交，故不正確，故選C．6．【答案】C【解析】由題意可知，且，解得，故選C．7．【答案】B【解析】直線方程為，、的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線為，∴圓心坐標(biāo)為，解得，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，∴圓的方程為，故選B．8．【答案】D【解析】如圖，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，要使反射光線與圓相切，只需使得射線，與圓相切即可，而直線的方程為，直線為．由，，得，，，結(jié)合圖象可知，故選D．9．【答案】C【解析】因?yàn)榍€方程表示一個(gè)在軸右邊的單位圓的一半，則圓心坐標(biāo)為，半徑，畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：∵當(dāng)直線過(guò)時(shí)，把代入直線方程得，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，把代入直線方程得，∴當(dāng)時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，又直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，解得(舍去)或，綜上，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為或，故選C．10．【答案】C【解析】直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，如圖：的中點(diǎn)為，連結(jié)，平行且等于，則是平行四邊形，與所成角就是，∵，設(shè)，∴，，，，在中，由余弦定理可得，故選C．11．【答案】D【解析】化為，圓心，半徑．∵，∴要使最小，則需最小，此時(shí)與直線垂直．直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，則以為直徑的圓的方程為．聯(lián)立，可得直線的方程為，故選D．12．【答案】A【解析】由題意，平面，，，∵和都是是直角三角形，則為直角，此時(shí)滿足垂直于，垂直于進(jìn)而得到垂直于，此時(shí)滿足為直角三角形，底面外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，球心在過(guò)底面圓心并且和平行的直線上，并且球心到圓心的距離為1，直角三角形外接圓的半徑為，∴，即．∴球的表面積，故選A．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】【解析】過(guò)作，，則，，作數(shù)軸軸和軸，使得，在軸上取點(diǎn)，，使得，．在軸上取點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作軸，使得，連結(jié)，，，則是的直觀圖，由直觀圖作法可知，，過(guò)作于，則，∴，故答案為．14．【答案】【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，又由，其幾何意義為原點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的距離，則其最小值為點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為，故答案為．15．【答案】【解析】如圖：由題意可知，天池盆上底面半徑為寸，下底面半徑為寸，高為寸，因?yàn)榉e水深寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為(立方寸)，所以則平地降雨量等于(寸)，故答案為3．16．【答案】【解析】將看作是關(guān)于的直線方程，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，點(diǎn)到直線的距離為，又，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以的最小值為，故答案為．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）證明：連接，交與點(diǎn)，連接，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）證明：∵平面⊥平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）圓的圓心為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)、，所以直線的斜率為2，即直線QUOTE的方程為，所以．（2）當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線QUOTE的方程為，即，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以弦AB的長(zhǎng)為．19．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由圓方程知：圓心，半徑，到直線的距離，，，即，解得．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，為圓的切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，到它的距離，解得，即切線方程為，過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則有，解可得，則圓的方程為．（2）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，，設(shè)以為圓心，為半徑，其半徑為，則有，則圓的方程為，即，又由直線為圓與圓的公共弦所在的直線，則有，解得，則的方程為．21．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：連接交于，連接，在菱形中，，是的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以面，又因?yàn)槊?，所以．?）因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以面，即是三棱錐的高．依題意