2021屆高三數(shù)學(xué)（文理通用）一輪復(fù)習(xí)題型訓(xùn)練：《函數(shù)的單調(diào)性》（一）（含解析）

《函數(shù)的單調(diào)性》（一）

考查內(nèi)容：主要涉及求各類函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用定義法判斷函數(shù)（含抽象

函數(shù)）的單調(diào)性

選擇題（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.函數(shù)/（x）=f+2%-3的遞增區(qū)間為（）

A.(-00,-3]B.[-3,1]C.(一8,-1]D.[-1,+co)

2.函數(shù)/(x)=|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-00,2)B.(-co,0)C.(1,+<?)D.(2,+oo)

3.函數(shù)y=2三r+匕3的單調(diào)區(qū)間是()

■x-2

A.(-°0,+℃)B.(-co,0)

C.(^0,2),(2,+00)D.(f,2).(2,+oo)

4.函數(shù)/（無）=Jx2+—8的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-8,-4]B.(-<x>,-l]C.f-1,+00)D.[2,+co)

5.函數(shù)/(?=*—6x+8|的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[-3,+00)B.(-00,2),(4,+oo)

C.(2,3),(4,+8)D.(-a),2],[-3,4]

2

6.當(dāng)4>0時，/(%)=%+-,則的單調(diào)遞減區(qū)間是()

x

A.(2,+oo)B.(0,2)C.(72,+oo)D.(0,夜)

7.函數(shù)/（x）=ln（x+2）+ln（4—月的單調(diào)遞減區(qū)間是（)

A.(-2,4)B.(-2,1)C.(1,4)D.(1,2)

8.函數(shù)/(%)=2十+1的單調(diào)增區(qū)間是()

A.[-1,+00)B.(-oo,-l)C.(-oo,0)D.(0,+co)

9.函數(shù)/5）=（；）廬“的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

1、

A.(-oo,,+oo)D.(-,+oo)

10./（%）=1°81（二一2萬-3）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

2

A.（1,-Hx＞）B.（7,1）C.D.（3+oo）

11.函數(shù)〃x）=log3（—/+4x+5）的單調(diào)減區(qū)間是（）

A.（9,2）B.（2,+oo）C.（2,5）D.（-1,2）

12.函數(shù)/（x）的遞增區(qū)間是（—2,3）,則函數(shù)y=/（x+5）的遞增區(qū)間是（）

A.（3,8）B.（-7,-2）C.（-2,3）D.（0,5）

填空題

13.函數(shù)=1的單調(diào)增區(qū)間為____________.

A/X2-2X-3

14,函數(shù)/（x）=logL（6—龍一￡）的單調(diào)遞增區(qū)間是

2

15.已知函數(shù)“X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，/（尤）=%2一x+1,那么當(dāng)

%＜0時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

16.若定義域?yàn)椋?。?M+4］的函數(shù)/（》）=一（。+2）X2+（左-1）*-。是偶函數(shù)，貝!］

y=|/（x）|的遞減區(qū)間是.

三.解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

X

17.已知函數(shù)〃月=工工.

（1）判斷并證明函數(shù)“X）的奇偶性；

（2）判斷當(dāng)xw（—l,l）時函數(shù)/（x）的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若/（X）定義域?yàn)椋═1）,解不等式〃2x—l）+/（x）＜0.

雙函數(shù)小戶震2

是定義在（T，l）上的奇函數(shù)，且/不=

5

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）用定義證明:/。）在（-L1）上是增函數(shù);

(3)解不等式:/(/-1)+/(力<。

19.討論函數(shù)/(x)=1<%<1,?^0)的單調(diào)性.

X1

20.函數(shù)/(￡)的定義域?yàn)?0,+?),且對一切為>o,y>0,都有

d="x)一小)，當(dāng)">1時,有"”>0.

(1)求/(I)的值；

(2)判斷“X)的單調(diào)性并證明；

(3)若/'(6)=1,解不等式/(%+3)-/己］<2.

21.已知定義在(—8,0)1(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足：

①對任意X,ye(-co,0)u(0,+co),/(x-y)=/(x)+/(y)；②當(dāng)%>1時,

/W>0,且"2)=1.

(1)試判斷函數(shù)的奇偶性.

(2)判斷函數(shù)/(幻在(0,+8)上的單調(diào)性.

(3)求函數(shù)/(處在區(qū)間［—4,0)。(0,4］上的最大值.

(4)求不等式/(3x—2)+/(x)..4的解集.

22.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:對任意x,ywR都有

/(x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)尤>0時，f(x)>0.

⑴求〃0)的值，并證明“X)為奇函數(shù)；

⑵判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；

(3)若/(4?2，)+/(4，+|—8<2，)>。對任意兀?一回恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值

范圍.

《函數(shù)的單調(diào)性》(一)解析

1.【解析】函數(shù)〃力=三+2%—3的對稱軸是產(chǎn)-1,開口向上,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得單調(diào)增區(qū)間是[-L+S).故選:。.

,,fx-2,x>2,

2.[解析]x—2=°

11[-x+2,x<2,

.??/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+s),故選：D.

3.【解析】函數(shù)y=^±l=2(x—2)+7?工+2,

x—2x—2x—2

7

由函數(shù)y二一向右平移2個單位，向上平移2個單位后得到的，

x

所以函數(shù)函數(shù)y=亍1的單調(diào)區(qū)間是(f,2),(2,+8).故選：c.

4.【解析】由無2+2%—820可得Y或%>2,

.??函數(shù)的定義域?yàn)?f,Y][2,y),設(shè)“=必+2》一8,則,="《，

y=-(〃N0)是單調(diào)遞增函數(shù)=必+2x—8在定義域上的減區(qū)間(f,-41

即為函數(shù)y=y/x2+2x-3的單調(diào)減區(qū)間是(一8,-4],故選A.

x~—6x+8x<2^x>4

5.【解析】/(X)=|X2-6X+8|

—x~+6x—82<x<4

所以/(x)遞增區(qū)間是(2,3),(4,內(nèi)).故選:C.

6.【解析】因?yàn)楫?dāng)X>0時，，則/(x)=x+2；.廣(x)=l—士=二2^

XXX

因此所求的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,0),選D

7.【解析】根據(jù)題意，根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=ln(x+2)+ln(4—x),

(%+2>0

有4—%>0,解可得—2<%<4,即函數(shù)的定義域?yàn)?—2,4)；

則/(x)=ln(x+2)+ln(4—x)=ln(—%?+2無+8),

令/=一%2+2%+8，-2<x<4，則彳〉0，則y=ln/,為增函數(shù),

若函數(shù)/(X)=ln(x+2)+ln(4—x)=ln(—x2+2無+8)為減函數(shù)，

則/=—必+2%+8為減函數(shù)，其對稱軸為％=1，則其遞減區(qū)間為(1,4)；

則函數(shù)函數(shù)/(x)=ln(x+2)+ln(4—%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,4)；故選C.

8.【解析】/(x)=2+叫分解為：y=2"和〃=—卜+1|兩個函數(shù)

—X—1—1

y=2"在R上單調(diào)遞增，u=-|x+l|='在(—8,—D上單調(diào)遞增,

在［-1,+8)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到：/(%)=2十+1在(f,-1)上單調(diào)

遞增，故選：B

9.【解析】由/-X-1沙，得xw匕包或了?二二5，

函數(shù)/=%2_%—1在(-如匕好］上為減函數(shù)，在

上為增函數(shù),

2

在/e［0,+o))上是減函數(shù)，函數(shù)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)

間為(-oo,匕好］.故選：A.

2

10.【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷原則，即求)=/-2%-3的單調(diào)遞減區(qū)間，

且/_2尤—3>0，由二次函數(shù)的圖象可知單調(diào)遞減區(qū)間為x<l

解不等式尤2—2x—3>0得x>3或％<—1，綜上可知，/(九)=l°gj(7一2%一3)的

單調(diào)遞增區(qū)間為x<-1,即XG(F,—1),所以選C

11.【解析】由題：-X2+4X+5>0>(X+1)(X-5)<0,解得：xe(-l,5),

〃x)=log3(—￡+4%+5)的減區(qū)間，即y=—V+4x+5的減區(qū)間，對稱軸為％=2

結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，所以/(月=1。83(—/+4%+5)的減區(qū)間(2,5).故選：C

12.【解析】函數(shù)y=/(x+5)是函數(shù)/(x)向左平移5個單位得到的，

?函數(shù)在區(qū)間(—2,3)上是增函數(shù)，

.?.丁=〃X+5)增區(qū)間為(—2,3)向左平移5個單位，即增區(qū)間為(—7,—2),故選B.

13.【解析】函數(shù)由，=爰，/=2%—3復(fù)合而成，

f=/一2無一3>0nx>3如<—1單調(diào)遞減，

則。=/一2%一3的減區(qū)間為(f,T)即為函數(shù)/(%)=rr-的增區(qū)間，

yx—2%—3

1

所以/(%)=的增區(qū)間為(一處一1).

yj—2.x—3

14.【解析】Q6-X-X2>0/.-3<%<2

當(dāng)—!<x<2時，“=6—%—必單調(diào)遞減，而/(x)=l°g["也單調(diào)遞減，

22

所以/(龍)=1七(67—無2)單調(diào)遞增，故答案為：

15.【解析】設(shè)》<0,則一%>0，由當(dāng)％>0時，f(x)=x2-x+l,

所以/(—x)=(—工)？—(―x)+l=x2+x+l,BP—f(x)=x2+x+1,

所以當(dāng)x<0時，f(x)=-x2-x-l,

二次函數(shù)的對稱軸：X=-1,開口向下，

(11(11

所以當(dāng)X<0時，的單調(diào)遞增區(qū)間是—8,一彳.故答案為：—8,一77

I2」I2」

16.【解析】?定義域?yàn)閇a—2,。+4]的函數(shù)/(%)=—(a+2)f+(k—l)x—a是偶函

數(shù)，：?q_2+q+4=0,左=1,：?a=—],；?/(九)=一丁+1(無w[—3,3])

，y=|/(x)|的遞減區(qū)間是(―3,—1),(0,1)(或者[―3,—1],[0,1])

故答案為：(―3,—1),(0,1)(或者[—3,—1],[0,1])

17.【解析】⑴函數(shù)八%)為奇函數(shù).證明如下：

/(X)定義域?yàn)镽，又/(f)=+]=-號=-/(%),：.f[x}=-^

為奇函數(shù).

(2)函數(shù)〃%)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù).證明如下:

任取-1<再<%2<1，貝U

f(\_f(、_/______「2_X\X2+-y1-X2X1-X2

‘⑻Y一八”Y2卜聲一才一解+*考+1)

石工2(X2一百)一(%2-X1)(%2—石)(%1入2—1)

(才+欣+1)(片+l)(x；+l)

.—(X-I)

-W+l)(x；+l)0)即

-1<XJ<x2<1,z.x2-%1>0,xrx2-1<0,

y（x,）</（%2）,故y（x）=7、在（-1,1）上為增函數(shù).

(3)由⑴、(2)可得/(2X—1)+/(X)<0O/(X)<—/(2JV—1)=/(1—2X),

x<l-2x

則{—1<X<1,解得:0<x<』,

3

-1<2%-1<1

所以，原不等式的解集為｛x|0<x<；｝.

Z7V+卜

18.【解析】（1）/（勸="一是定義在（-1,1）上的奇函數(shù),

1+x

1

一a

2_2

/./(0)=0,.tb=0.又，f『二'

1+1

'"1.經(jīng)檢驗(yàn).=1]=°符合題意..?J(x)=R,xe(—1,1).

(2)設(shè)一1V%<%2<1，貝U

22

]+Xj1+X,2

_X]彳2+/馬？_(%1-九2)(1-X九2)

2222

2

-l<x1<x2<1,xx-x2<0,1-xxx2>0,1+x/>0,1+x2>0,

:.f(xl)-f(x2)<0,.-.f(xI)<f(x2),所以/(x)在(-L1)上是增函數(shù).

（3）;/（x）是定義在（-M）上的奇函數(shù),

.?.由加一1)+加)<。,得f(t-1)<-f(t)=/(T),

-1<Z-1<1

又一/（x）是定義在（Tl）上的增函數(shù)，—1<T<1

1（

解得Ov/v—,所以原不等式的解集為0,不?

2\2）

axxax2

【解析】設(shè)一貝!］於1）~/（X2）=

19.X；-[X；-]

—1)一〃12(%；-1)_。石光；-ax}-ax2x^+ax2

■T(劉T)(X1-1)(x2-1)

。再%2(%2—石)—a(%2—a(%2一尤1)(%1尤2-1)

(%12-1)(%2-1)(xf-l)(x；-1)

*.*—1<x1<X2<1,.*.x1<0,x]—1<0,X2—Xl>0,XiX2—1<0,

(x2-x1)(x1x2-1)

卜2T卜2_])<°，，當(dāng)?>0時，危1)/X2),f(X)為增函數(shù).

當(dāng)〃＜0時，危。次X2）,f（x）為減函數(shù).

20.【解析】(1)令x=y>0,則/(l)=/(x)—/(x)=0,所以/(1)=0；

/、

⑵任取%式。，”），且再＜/，貝（九2）-/（石）=/

1石J

(、

%2>

再>0,...三>1=/—>0,/(x2)-/(x1)>0,

x\I%J

即/（%2）＞/（%），所以〃%）在（。,+°°）上是增函數(shù)；

（3）因?yàn)?（6）=1,所以/（36）—/（6）=/（6）,所以/（36）=2/（6）=2.

由〃％+3）-/口］＜2,得/（公+3司＜/（36）,

x+3>0

x>-3

所以<,>。=>3后-3

<x>0n0<%<

x2

-3-3折

x+3x<36<x<

、22

（3而-3、

所以原不等式的解集為0,---

21.【解析】⑴令x=y=l,則/(1義1)=/(1)+八1),得"1)=0；

再令x=y=—l,則開（一1）.（-1）］=/（—1）+/（-1）,得y（_i）=o.

對于條件/Oy)=/(%)+/(y),令y=-L,則/(一%)=。(乃+/(—1),

/(-x)=/(x).又函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

(2)任取]],X?e(0,+oo),且X]<x,,則有二~>1.

■須

又：當(dāng)龍〉1時，/(%)>0,f上>0.

<xiJ

而〃X2)=/網(wǎng)?工=/(^)+/三>/(%1),即/(%2)>/(再)，

IXJIXJ

...函數(shù)/'(X)在(0,+8)上是增函數(shù).

⑶V/(4)=/(2x2)=/(2)+/(2),且42)=1,.?"(4)