等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型匯總（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專(zhuān)題26等差、等比的性質(zhì)應(yīng)用十六大題型匯總

lOnii

題型1等差中項(xiàng)..................................................................1

題型2等比中項(xiàng)..................................................................2

題型3下角標(biāo)和性質(zhì).............................................................4

題型4單調(diào)性問(wèn)題................................................................5

題型5最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題........................................................7

題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1....................................................................................................8

題型7等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)2..................................................................................................10

題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)3..................................................................................................11

題型9等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4..................................................................................................12

題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題................................................13

題型11等差數(shù)列S?>0,S?<0問(wèn)題..................................................14

題型12等比數(shù)列中S?,S2?,SM的考察...............................................15

題型13等差等比奇偶項(xiàng)問(wèn)題......................................................16

題型14最值問(wèn)題................................................................17

題型15取值范圍問(wèn)題............................................................19

題型16數(shù)列不等式能成立恒成立問(wèn)題.............................................20

Smii

題型1等差中項(xiàng)

一我t點(diǎn)

等差中項(xiàng)的基本運(yùn)用：

a+b

⑴若。,A,6成等差數(shù)列，貝ll/=??；

a+b

⑵若A=—,^a,A,b成等差數(shù)列.

a+h

綜上/是：a,6的等差中項(xiàng)=4=--2~.

【例題11(2023秋?新疆巴音郭楞?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試)記Sn為等比數(shù)列｛即｝(%>0)的前n

項(xiàng)和，且ag=16,2S］、衿、S3成等差數(shù)列，則56=()

A.256B.254C.128D.126

【變式1-1]1.（2022秋?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列E｝

是等差數(shù)列，｛九｝是等比數(shù)列，且％+之瓦，+[外，+[為成等差數(shù)列，則鬻=（）

A.-B.-C.2D.4

42

【變式1-1]2.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知實(shí)數(shù)a,b,c成公差非0的等差數(shù)列，

在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2,3）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)ax+by+c=

0的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)M,則M,N間的距離的最大值與最小值的乘積是（）

A.10B.6V2

C.4V2D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【變式1-1】3.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝中g(shù)=

k

2,當(dāng)n23時(shí),an_1,^an,即-2成等差數(shù)列?若。2022=，那么。3+。5+-+?2021=（）

A.kB.k—1C.2kD.k—2

【變式1-1]4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)與公差d均為正數(shù)，

且Igai,lga3,但。6成等差數(shù)列，則31,lga3，恒。6的公差為（）

A.lgdB.lg|C.lg|D.lg3d

【變式1-1]5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,

b,c,若a,b,c成等差數(shù)列，則cosB的最小值為.

題型2等比中項(xiàng)

1.年

梨：~均#

等比中項(xiàng)：

（1）由等比中項(xiàng)的定義可知f=*=G2=M=G=H^,所以只有a,b同號(hào)時(shí)，a,6的等

比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)；

（2）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)侑窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)和后

一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；

（3）a,G,b成等比數(shù)歹!|等價(jià)于G2=ab（ab>0）。

【例題2]（2023秋?江西南昌?高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛〃｝

和正項(xiàng)等比數(shù)列｛九｝,%=瓦=1,仇是。2，。6的等差中項(xiàng)，。8是如為的等比中項(xiàng)，則下列

關(guān)系肯定成立的是（）

A.o.2<b2B.。1（）24=瓦1C>。4>D.a]。。=瓦。

【變式2-1】1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知｛冊(cè)｝是公差為3的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的

和為立,設(shè)甲：｛an）的首項(xiàng)為零；乙：52+3是a+3和S3+3的等比中項(xiàng)，則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【變式2-1]2.（2018?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c組成等比數(shù)列，c>0且

a<2b+3c,則實(shí)數(shù)U的取值范圍是（）

a

A?（一8塌B.（-00,i]

C.（-83]D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【變式2-1J3.（2023?北京??？寄M預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足：a3+?8=

20,且應(yīng)是。2與由4的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列｛3｝滿(mǎn)足垢=」一（neN*）,則數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和

anan+l

5”為（）

【變式2-1J4.（2023秋?廣東東莞?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為0,

%=1且成等比數(shù)列，則（）

A.a2023=4045B.幺<%C.如==2

wea3a4n+12a4+a6

題型3下角標(biāo)和性質(zhì)

上年

-「劃重點(diǎn)

等差：觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若滿(mǎn)足m+n=p+q=2r（m,n,p,q,rEN*）,則a,?+an

=ap+aq=2ar.

等比：若左+/=加+"（k,/,m,〃GN"）,則為”=%斯.

【例題3]（2023春?河南開(kāi)封?高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝為

遞增數(shù)列，Sn為其前九項(xiàng)和，。3+a?=34,a…6=280,則S[1=（）

A.516B.440C.258D.220

【變式3-1]1.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）

在等差數(shù)列1｝中，其前n項(xiàng)和為工，若asg是方程產(chǎn)+10%-16-0的兩個(gè)根，那么:的

值為（）

A.88B.-88C.110D.-55

【變式3-1】2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)舊知等差數(shù)列&｝中1a3+=。4+7%。=19,

貝II數(shù)歹iKanCosnn｝的前2024項(xiàng)的和為（）

A.1010B.1012

C.2023D.2024

【變式3-1]3.（2023秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末）對(duì)于正數(shù)%,。2，。3,…,即，它的幾何平

均數(shù)定義為：^aia2a3-an.已知一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝，它的前11項(xiàng)的幾何

平均數(shù)為25,從這11項(xiàng)中抽去一項(xiàng)后所剩10項(xiàng)的幾何平均數(shù)仍是25,那么抽去的一項(xiàng)是

（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第9項(xiàng)D.第11項(xiàng)

【變式3-1]4.（2022秋?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列5｝

中，aiaza3=5,a4a5a6=5V2,則ai（）aiiai2=（）

A.25B.20C.10V2D.10

【變式3-1】5（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中+

2a4a5+a2a8=16,則a4a5的最大值為（）

A.16B.8C.4D.2

題型4單調(diào)性問(wèn)題

中上均#6

/.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列他，的公差為d,貝II:

⑴小00他“）為遞增數(shù)列；

⑵亦為遞減數(shù)歹11；為常數(shù)列.

2.等比數(shù)列的單調(diào)性基本方法：

（l）a1>0時(shí),

①公比q>l,單調(diào)遞增;②q=l無(wú)單調(diào)性;③0<q<l,單調(diào)遞減;④q<0,無(wú)單調(diào)性.

（2）ai<0時(shí),

①公比q>I,單調(diào)遞減;②q=l無(wú)單調(diào)性③0<q<l,單調(diào)遞增;④q<0,無(wú)單調(diào)性.

【例題4】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知｛即｝是無(wú)窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為上，則"｛a"｝

為遞增數(shù)列"是"存在neN*使得S”>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-1]1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考三模）等比數(shù)列｛an｝公比為q（q*1）,若Tn=

2a3…即5GN*）,則"數(shù)列｛〃｝為遞增數(shù)列"是4>0且q>1"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【變式4-1]2.（2023秋?北京海淀?高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)無(wú)窮等

比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為上,若-為<a?<%,則（）

A.｛Sn｝為遞減數(shù)列B.｛Sn｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛S"有最大項(xiàng)D.數(shù)列｛%｝有最小項(xiàng)

【變式4-1】3.（2022秋?黑龍江佳木斯?高三校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和

為右，若=2,且S'=57,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.｛5｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，S”有最大值

C.不等式S”>0的解集為｛neJV|n<10]D.不等式即>0的解集為無(wú)限集

【變式4-1]4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的數(shù)列｛時(shí)｝的一個(gè)

通項(xiàng)公式an=

①｛5｝是遞減數(shù)列；②對(duì)任意m,neN*,都有cin+n=am+an.

【變式4-1]5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：①VneN*,an+1>an,；

②VneN*,an+1=tan（t為常數(shù)）；③>0,使得即<M恒成立.則滿(mǎn)足條件的一個(gè)數(shù)

列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式為an=

題型5最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題

步劃重點(diǎn)

確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)方法：

（〃判斷數(shù)列的單調(diào)性，類(lèi)比函數(shù)的性質(zhì)研究最大值、最小值.

注意：數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集〃,2，…，〃，這一條件.

an-l<an,fan-l>an,

（2）可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組找

an>an+1,[an<an+1,

到數(shù)列的最小項(xiàng).

【例題5】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列｛斯｝中，的=-ll,a5=-3記7；=

a1a2...an（n=1,2...）,則數(shù)列｛7n｝（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【變式5-1]1.（2022秋?陜西漢中?高三校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛而｝的前兀項(xiàng)和為端,

且滿(mǎn)足$2019>0,S2020<0,對(duì)任意正整數(shù)九，都有|即|>|afc|,貝味的值為

A.1009B.1010C.1011D.1012

【變式5-112.（多選I2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)激列｛%｝滿(mǎn)足的=-21,a2=-12,an+1+

an-i=2an-2（n>2）,5.是｛斯｝的前幾項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.｛言｝是等差數(shù)列

2

B,an=—n+12n4-32

C.Q6是數(shù)列S”｝的最大項(xiàng)

D.對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)TH、九（九>m）,sn-Sm的最大值為10

【變式5-1]3.（2022秋?北京?高三北師大二附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列｛an｝中，其

前加頁(yè)和是%，若59>0,S1O<0,則在魚(yú)，包，…,包中最大的是

Cl]U，2U9

A.打B.包C.匹D.包

CLQGS

【變式5-1]4.(2022秋?安徽合肥?高三合肥一中校考階段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列似"的前n項(xiàng)

和為Sn.若S2022>。，$2023<0，則數(shù)列｛|a；J｝的最小項(xiàng)是()

A.第1011項(xiàng)B.第1012項(xiàng)C.第2022項(xiàng)D.第2023項(xiàng)

2

【變式5-1]5.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和Sn=n-10n(n=

1,2,3,…)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列｛na“｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第

項(xiàng).

題型6等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1

寸!劃重點(diǎn)

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和常用的性質(zhì)：

(/)等差數(shù)列的依次4項(xiàng)之和，sklS2k-Sk,S3k-S2".組成公差為網(wǎng)的等差數(shù)列；

(2)數(shù)列?是等差數(shù)列=a/+bn(a.b為常期Q數(shù)列榭為等差數(shù)列；

(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d；

【例題6](2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，S”為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和,

=3,Cl"+a18+。19+a20=5,則S2。=()

A.10B.15C.20D.40

【變式6-1]1.(2020?湖北宜昌統(tǒng)考二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：

"今有金墨,長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？"意思

是："現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一

端截下1尺重2斤.問(wèn)依次每一尺各重多少斤？"假定該金杖被截成長(zhǎng)度相等的若干段時(shí)，

其重量從粗到細(xì)構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長(zhǎng)度相等的20段，則中間兩段的重量和為

)

A.沂B,斤C.|斤D.沂

【變式6-1]2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)%是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S10=16,

Sioo-S90=24I則Si。。=.

【變式6-1]3.（2022?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考三模）有下列四個(gè)命題：其中真命題的序號(hào)

是.

①等差數(shù)列5｝的前〃項(xiàng)和為國(guó),若知=3就呼=|；②函數(shù)f（x）=sin2x+^V（x手

33JsinX

Z）的最小值4；③函數(shù)f（x）=Inx在點(diǎn)（1,0）處的切線(xiàn)方程是x-y-l=0；④函數(shù)f（x）=

Inx-3的唯一零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）上.

【變式6-1]4.（2023春?湖北?高三湖北省咸寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n

項(xiàng)和為治,且55=10,S10=50,若直線(xiàn)3x+4y+an_x+an+1-3=0（neN"）與圓

C:（x-1）2+y2成（ttn>0）相切，則S15=（）

A.90B.70C.120D.100

【變式6-1]5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、

中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱(chēng)為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第

一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次

也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，問(wèn)：三層共有多少塊扇面形石板（不

含天心石）？

【變式6-1]6.（多選）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為治,等

比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)積為7”,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛呼｝是等差數(shù)列B.數(shù)列｛S2"+2-S2n｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列保丹是等比數(shù)列D.數(shù)列｛叫｝是等差數(shù)列

題型7等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)2

弟劃t點(diǎn)

在等差數(shù)列中，S,為其前〃項(xiàng)和，則

(l)S2n-n(ai+a2n)=...=n(an+an+1)；

(2)S2n-i=(2n-l)an；

【例題7](2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí))若｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，S九是

其前加頁(yè)的和，且Sil=gn,｛匕｝為等比數(shù)列，生?尻=9，則tan(a6+壇)的值為()

A.V3B.±V3C.±yD.y

【變式7-1]1.(2022秋?安徽?高三校聯(lián)考期末)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知

。3+。13=12I貝！IS*=()

A.90B.180C.45D.135

【變式7-1]2.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前為幾

項(xiàng)和為S；,,若S]5=5(?2+。6+ak)I貝！Ik=()

A.8B.12C.16D.9

【變式7-1】3.(2023秋?重慶璧山?高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為%,

若+a8+a10=12,貝！IS"=()

A.150B.120C.75D.60

【變式7-1】4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%(neN*),

若屆-a7-a9=3,貝!IS”-的值為()

A.3B.14C.28D.42

【變式7-1]5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）記等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為S”，若知=2,則

題型8等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)3

-印、一r期.量王?占八、

等差數(shù)列｛aJ｛九｝的前71項(xiàng)和分別是Sn與Tn則菖=2,

bn>2n-l

【例題8]（2023秋?天津武清?高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)蹲差數(shù)列｛aJ也｝

的前n項(xiàng)和分別是5?與北，且含=鬻，56N*）,則最=

【變式8-1】1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛aj｛%｝的前n項(xiàng)和分別為上、7n，

若對(duì)任意的neN*,都有引=產(chǎn),則毋+急-=

Tn4n-3%+/3bs+b11

【變式8-1]2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛an｝,｛%｝的前n項(xiàng)和分別為二,

%且含=需，則毋=?

/nn+5

【變式8-1】3.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列｛ajM

的前n項(xiàng)和分別是又與Tn,且含=^GeN*）,則,=巖=.

【變式8-1]4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sn,Tn分別為等差數(shù)列｛an｝,｛bn｝的前

n項(xiàng)和箝="設(shè)點(diǎn)A是直線(xiàn)BC外一點(diǎn)點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)目麗=空荏+XAC,

Tn4n+5b3

則實(shí)數(shù)人的值為（）

A-ilB「￡c盛D.g

題型9等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4

上行

即劃重點(diǎn)

Sn

數(shù)歹i」｛an｝是等差數(shù)歹U=Sn=an2+bn（a,b為常數(shù)）=數(shù)列仁為等差數(shù)列

【例題9]（2023秋?四川眉山?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=-2024,其前

n項(xiàng)和為Sn，若需一苓=2,則$2024=（）

A.2023B.-2023C.-2024D.2024

【變式9-1]1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比qe

（0,1）,若+?s=5,。2。6=4也=log2an，數(shù)列｛3｝的前n項(xiàng)和為Sn，則++字+…+?

取最大值時(shí)，n的值為（）

A.8B.8或9C.9D.17

【變式9-1]2,（2020?新疆統(tǒng)考二模）在等差數(shù)列｛即｝中，%=-2018，其前n項(xiàng)和為Sn,

右5s12—6S]0=120,則S202O=（）

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【變式9-1]3.（2019?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列?。墓睢?,且，3成

等比數(shù)列，若=5,%為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列｛制的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為

A.3B.3或4C.4或5D.5

【變式9-1]4,（2023?海南?校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列5｝,｛分｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,

Tn，若（2n+3況=nTn,則i=（）

A.-B.-C.-D.-

2532125

【變式9-1]5.（2022秋?天津靜海?高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列5｝,｛%｝前n

項(xiàng)和分別為土與〃,且（3n+2）7=（2n+l）S,則生他=（）

nna7

ATB.-C,-D.-

41432346

【變式9-1]6.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列｛an｝中,Si。=100,Sioo=lO.求

Sno.

題型10等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題

步劃重點(diǎn)

0項(xiàng)的符號(hào)法（鄰項(xiàng)變號(hào)法>：

am>0,

①當(dāng)30,公0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)〃“吏得S”取得最大值為義；

ani+i<0

am<0,

②當(dāng)a,<0，介0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得S,取得最小值為Sm.

am+i>0

口二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法僧己方法）求其前〃項(xiàng)和的最值，但要注意〃日V*.

（3）圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值，使Sn取得最值.

【例題10】（2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）某大樓共有12層，有11人在第1層上

了電梯，他們分別要去第2至第12層，每層1人.因特殊原因，電梯只允許停1次，只可

使1人如愿到達(dá)其余10人都要步行到達(dá)所去的樓層.假設(shè)這10位乘客的初始"不滿(mǎn)意度”

均為0,乘客每向下步行1層的“不滿(mǎn)意度”增量為1,每向上步行1層的"不滿(mǎn)意度”增

量為2,10人的“不滿(mǎn)意度"之和記為S,則S的最小值是（）

A.42B.41C.40D.39

【變式10-1】1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)的和為外，已知S9<0,

So>0,則等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和中，最小值為（）.

A.S5B.S6C.S7D.S8

【變式10-1】2.（多選）（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足

&-1）2=4（100-Sn）,neN*且％>0,a2>0,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.cin——2n+21

B.數(shù)列a為等差數(shù)列

C.當(dāng)n=11時(shí)又有最大值

71

D.設(shè)%=anan+1an+2,則當(dāng)n=8或n=10時(shí)數(shù)列｛與｝的前項(xiàng)和取最大值

【變式10-1]3.（多選）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列5｝的首項(xiàng)為的,公差

為d,前n項(xiàng)和為先,若Szo<Si8<S19,則（）

A.aj>0B.|a18+a19|>|a20+a21\

C.S38<0D.當(dāng)n=19時(shí)，Sn取到最大值

【變式10-l】4.（2022秋?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列｛an｝

的公差為d,前n項(xiàng)和為S”,當(dāng)首項(xiàng)由和d變化時(shí)，是一個(gè)定值，則使%為定值

的九的最小值為（）

A.15B.17C.19D.21

題型11等差數(shù)列Sn>0,Sn<0問(wèn)題

【例題11】（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等

差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為又有最小值，且-1<生<0,則使%>0成立的正整數(shù)n的最小

a10

值為（）

A.9B.10C.17D.18

【變式11-1】1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，若。9+?12>0,

dioGu<0,且數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和右有最大值，那么當(dāng)sn>0時(shí)，n的最大值為.

【變式11-1J2.（2023秋?湖南邵陽(yáng)?高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差

數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S2023>0,S2024<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列B.|a1013|>|?1012|

C.當(dāng)％取得最大值時(shí)，n=1013D.S1013<S1010

【變式11-1】3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)由>0,若

皿<-1,則使得又>0的n的最大值為（）

A.2020B.2022C.2024D.2025

【變式11-1】4.（2024山東淄博?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列｛an｝的

前n項(xiàng)和記為%,若%>0,Si。=S2o，則成立的是（）

A.d>0

B.S”的最大值是S15

C.<0

D.當(dāng)$<0時(shí)，n最大值為32

題型12等比數(shù)列中Sn,S2n,S3n的考察

寸!劃重點(diǎn)

若數(shù)列他”為公比不為-/的等比數(shù)列或公比為-/,且〃不是偶期,S,為其前n項(xiàng)和，

則S,,,S2?-S?,限以仍構(gòu)成等比數(shù)列.

注意：如S",Sz”-S“，S3”-52"…成等比數(shù)歹11的前提是S?,S2n-Sn,Sin-S?"均不為0.

【例題12]（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，若S4=3,則

52+56的最小值為（）

A.6B.6V2-3C.6V2D.9

【變式12-1】1.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知又是正項(xiàng)等比數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和，S1。=20,

則S30-2s20+Si。的最小值為

【變式12-1]2.（2021?安徽蕪湖?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)

列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為治,且58-2S4=5,則C19+?10++的2的最小值為

【變式12-1】3.（2021秋?河北滄州?高三滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等

,52052/S30-520

比數(shù)列｛怎｝的前n項(xiàng)和為Sn,若-2,Si。成等差數(shù)列，則。-2sI。=

最小值為

【變式12-1J4.（2021浙江模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為S”，若-1名10

成等差數(shù)列，則A。一2sL,且S15-S10的最小值為

題型13等差等比奇偶項(xiàng)問(wèn)題

1.等差數(shù)列｛an｝中，若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d;

S奇an

①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶-S奇=nd,—=----r;

S偶an+1

S奇n

②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-lB寸，S奇-5偶=2門(mén)，==--

S偶n-1

【例題13】（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列應(yīng)｝共有2n（nGN*）項(xiàng)，若數(shù)列｛即｝中

奇數(shù)項(xiàng)的和為190，偶數(shù)項(xiàng)的和為210,%=1,則公差d的值為（）

A.2B.4C]D.j

【變式13-1】1.（2021秋?吉林?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝的奇數(shù)項(xiàng)依次成等差

數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次成等比數(shù)列,且的=1,=2,=6,=11,則+。8=

（）

A.16B.18C.19D.20

【變式13-1】2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和%=2時(shí)1+1,則

數(shù)列5）的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（）

【變式13-1】3.（多選）（2023秋?山西太原?高三山西大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛斯｝

2n

的前n項(xiàng)和為%,且的=1,anan+1=2-^（neN*）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列B.數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列

C.S3=12D.皿=2

an

【變式13-1]4.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若｛an｝的

前2017項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)和為2018,則S2017的值為

【變式13-1]5.（2021秋?上海黃浦?高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛an｝滿(mǎn)足的=

-1,a2>?1,數(shù)列｛冊(cè)｝的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，數(shù)列｛時(shí)｝的偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，若寓+1-%=

2n（neN*）,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為即=.

【變式13-1】6.（2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其

奇數(shù)項(xiàng)之和為341，偶數(shù)項(xiàng)之和為682,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

題型14最值問(wèn)題

【例題14]（2023秋?山東日照?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛an｝中的各項(xiàng)均大于0,

且3遮+%+as=16,則幺-也的最小值為（）

ala3

A.-2B.-1C.0D.1

【變式14-1】1.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛即｝中，Sn為其

前肛項(xiàng)和，S?=14,則t=工+上的最小值為（）

a2a6

A.9B.-4C.-2D.2

【變式14-1】2.（多選）（2023秋?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)

等比數(shù)列｛斯｝的公比為q，其前幾項(xiàng)和為外，前幾項(xiàng)積為〃，并且滿(mǎn)足條件%>1,a89a90>1,

（a89-l）（a90-1）<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<q<IB.a89a91>1

c.790的值是rn中最大的D.使Tn>1成立的最大自然數(shù)九等于178

【變式14-1】3.（多選）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和為上,

且Su<57.若存在實(shí)數(shù)a,b,使得a+6=3,且e-2b-1s17<ln（a-2b+1）,當(dāng)n=k

時(shí)，Sn取得最大值，貝收+2a-b的值可能為（）

A.13B.12C.11D.10

【變式14-1】4.（2022春?安徽亳州?高三蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛an｝的

前n和=［a"［一］a“+i,且g=an，貝（h］的最大值為.

【變式14-1】5.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列｛an｝中,S6<S7,S7>S8,給出下

列命題：?d<0,@S9<S6,③a7是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④57是無(wú)中最大的值，⑤5｝為遞

增數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是

【變式14-1】6.（2023秋?湖南衡陽(yáng)?高三衡陽(yáng)市八中校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n

項(xiàng)和為上,前n項(xiàng)積為7；,若滿(mǎn)足0<%<1,?。4040>1,（。2023-1）@024-1）<0，

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.｛an｝為遞減數(shù)列B.52023+1<$2024

C.當(dāng)71=2023時(shí)，7“最小D.當(dāng)Tn>1時(shí)，n的最小值為4047

【變式14-1】7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛a"的公差d>0,S.a2,a5-1,

a】o成等比數(shù)列，若a1=5,Sn為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，則空吟工的最小值為（）

A.2V3+3B.7CD.-

23

題型15取值范圍問(wèn)題

【例題15］（2023秋?江西宜春?高三江西省校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)

和為%,nan+1-（n+l）an+1=0（nG/V*）,且為=3,=5.若m>蒜恒成立，則實(shí)

數(shù)小的取值范圍為

【變式15-1】1.（2020秋?浙江湖州?高三湖州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知公差為d的等差數(shù)

列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為%.若%>0,a4.&5是方程/一mx-1=0,（meR）的兩實(shí)數(shù)根，則

當(dāng)九=時(shí)，Sn最大；d的取值范圍是.

【變式15-1]2.（2022春?安徽亳州?高三蒙城縣第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)數(shù)列｛/｝：

,a2,...,am（m>2）,若存在公比為q的等比數(shù)列｛B^+i｝：br,b2,...,bm+1,使得尻<

ak<bk+1,其中k=1,2，…，m,則稱(chēng)數(shù)列｛%+i｝為數(shù)列｛2｝的”等比分割數(shù)列".若數(shù)

列｛4。｝的通項(xiàng)公式為%=2n5=1,2,-,10）,其"等比分割數(shù)列"｛Bi1｝的首項(xiàng)為1,則數(shù)

列｛/】｝的公比q的取值范圍是（）

A.（24,2）B.（2TT,2）C.（2,2與D.（2,2^）

【變式15-1]3.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列?。凉M(mǎn)足：a“=[,

且｛an｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的范圍是

【變式15-114.（2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）定義/=%+2時(shí)；2”「.為數(shù)歹咽毗“均

值"，已知數(shù)列｛與｝的"均值"Hn=2八+】，記數(shù)列｛與-kn｝的前幾項(xiàng)和為Sn,若Sn<56對(duì)

任意正整數(shù)九恒成立，則實(shí)數(shù)k的范圍為

【變式15-1]5.（2021秋?湖南岳陽(yáng)?高三岳陽(yáng)一中校考期中）設(shè)。>0,若即=

|（3-a）n-3,n<7且數(shù)列｛既｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的范圍是_________.

IOr,fl-7/

題型16數(shù)列不等式能成立恒成立問(wèn)題

【例題16]（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模）定義數(shù)列5｝前幾項(xiàng)的乘積理=1%=的?

a2……即，已知每=eN*）,對(duì)任意的nGN*,口隨七<恒成立，則實(shí)數(shù)人的范圍

是（）

A.[6—4A/2,+oo）B.[6+4V^,+8）C.+8）D.[0,+°°）

【變式16-1】1.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛何｝的前n項(xiàng)和為右，已知即>0,%=

1，展二=提，neN*,若無(wú)>入河-1對(duì)n6N*恒成立，則實(shí)數(shù)2的范圍是（）

A.(-00,1)B.(-00,2)C.(0,1)D.(1,2)

【變式16-1】2.(2021春?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習(xí))已知neN+,若數(shù)列

｛an｝的前n項(xiàng)和是%=G)-2,設(shè)bn=-log2(-an),設(shè)了“=六+六+…+—,當(dāng)

\N/°203Dn°n+1

且僅當(dāng)n>5時(shí)，不等式Tn>t成立，則實(shí)數(shù)t的范圍為()

C.(—8,|]D,(Iogi2+^,logi2+|

【變式16-1】3.(2020?陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=

/3-2;-3個(gè)管7),若數(shù)列5｝滿(mǎn)足斯=/(n)(neN+),且對(duì)任意neN*的都有臉】>

an,那么實(shí)數(shù)a的值范圍是()

A.巳3》.(：,3)C.(2,3)D.(1,3)

【變式16-1J4.(2023秋?北京豐臺(tái)?高三北京豐臺(tái)二中開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足即+1=

3

一6)+6(n=1,2,3,…)，當(dāng)a“G(4,6)時(shí)有以下3個(gè)結(jié)論:①由<4時(shí),an<4,②％G

(4,6),存在常數(shù)M<6,使得即<M恒成立，③a】e(6,8)時(shí)，｛冊(cè)｝為遞減數(shù)列，其中正確

的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【變式16-1】5(多選I2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))B知數(shù)列Raj滿(mǎn)足的=La?=3,

Sn是前n項(xiàng)和，若7i(Sn+i-Sn)-1=(n+l)(Sn-Sn_!),(rieN*且n>2)，若不等式a”<

n[-2t2-(a+l)t+a2-a+2]對(duì)于任意的n€N*,tC[1,2]恒成立,則實(shí)數(shù)a的值可能為

()

A.-4B.0C.2D.5

03

1.(2021?陜西西安統(tǒng)考一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝中,aj+2a5a9+忌=25,

則a6a8的最大值是（）

A.25B.5C.-D.-

45

2.（多選）（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，4（2,0）,

B為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x+1）+V=募上，若對(duì)于vn6N*,存在數(shù)列｛即｝,a】=|,

使得『=”,則下列說(shuō)法正確的是（）

rD?LTl—1

A.｛斯｝為公差為2的等差數(shù)列B.｛即｝為公比為:的等比數(shù)列

5。2。23=部D」a“｝前n項(xiàng)和Sn=5-答

3.（多選）（2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛即｝,下列結(jié)論正確的有（）

A.右%=2,Qyi+i=CLn+71+1,貝!］。20=211

n

B.若%=1,an+1=2an+1,則%=2-1

C.若%=3n+J則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列

D.若％為等差數(shù)列｛aj的前nl頁(yè)和，則數(shù)列｛手｝為等差數(shù)列

4.（2023?四川成都?成考模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比為q（q