2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第3講 函數(shù)的極值（原卷版）

第3講函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值極值問題是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)直接應(yīng)用,極值點(diǎn)作為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)和函數(shù)最值點(diǎn)的候選點(diǎn),在研究函數(shù)單調(diào)性和最值時(shí)具有重要意義.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,我們先來看相關(guān)定義:(1)極大值:一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作,其中是極大值點(diǎn).(2)極小值:一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作,其中是極小值點(diǎn).看上面對(duì)極值點(diǎn)和極值的一般定義,我們要注意以下幾點(diǎn):一是極值點(diǎn)和極值的定義不要搞混淆;二是極值是一個(gè)雙邊定義:極值點(diǎn)的兩邊函數(shù)都有定義,極值才存在;三是極值具有局部性,極值是函數(shù)局部的最值,一個(gè)函數(shù)區(qū)間內(nèi)可存在多個(gè)極值.在高中階段,我們可以簡(jiǎn)單地理【解析】一階導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)即為原函數(shù)的極值點(diǎn),一般來說,做大題不會(huì)出錯(cuò),不過保險(xiǎn)起見還是需要驗(yàn)證一下極值點(diǎn)兩邊一階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào),即原函數(shù)單調(diào)性是否改變.需要注意的是,極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)可能不存在,比如函數(shù)是函數(shù)的極小值點(diǎn),但在極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)是不存在.這是大學(xué)要研究的內(nèi)容,不需要過分糾結(jié).極值問題的兩種考查方式:一種是直接求極值點(diǎn)(極值),一般步驟是求導(dǎo),解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即為函數(shù)的極值點(diǎn)(求解后需要驗(yàn)證),如果含參數(shù)的話還要分類討論一下.再求極值.另外一種就是給出某個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn),來求解參數(shù)的取值范圍.求無(wú)參函數(shù)的極值點(diǎn)和極值求極值點(diǎn)的步驟:(1)篩選:令求出的零點(diǎn)(此時(shí)求出的點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)).(2)精選:判斷原函數(shù)在的零點(diǎn)左、右兩邊,其單調(diào)性是否發(fā)生變化,若發(fā)生變化,則該點(diǎn)為極值點(diǎn),否則不是極值點(diǎn).(3)定性：通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn):先增后減是極大值點(diǎn),先減后增是極小值點(diǎn).通常,判定一個(gè)點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)我們有兩種充分判別條件:第一充分條件:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(可以不存在).(1)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極大值.(2)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極小值.(3)若在的左、右鄰域內(nèi),不變號(hào),則在處沒有極值.注意:第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí),為了快速判別,我們只需要在極值點(diǎn)的左邊或者右邊取一個(gè)特殊值驗(yàn)證一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)即可(這個(gè)方法我們稱為特殊值法).第二充分條件:設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且,則(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值.(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.注意:利用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時(shí),二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),其實(shí)決定了-階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.解題時(shí),為了快速判別,我們可以直接判定決定一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號(hào)部分函數(shù)的單調(diào)性,一階導(dǎo)函數(shù)為增是極小值點(diǎn),一階導(dǎo)函數(shù)為減是極大值點(diǎn).為極大值點(diǎn)(這個(gè)方法,我們稱之為一階單調(diào)性法).【例1】求函數(shù)的極值.【例2】求函數(shù)的極值.已知極值/極值點(diǎn)反求參數(shù)題型:已知含參函數(shù)的極值點(diǎn)為,在極值點(diǎn)處的極值為,求參數(shù).方法:列出方程組,求解參數(shù)即可.【例1】已知函數(shù)在處有極值,求實(shí)數(shù)的值.【例2】已知函數(shù),若函數(shù)在日寸取得極值,求實(shí)數(shù)的值.【例3】已知函數(shù),其中,若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的值.已知極值點(diǎn)反求參數(shù)范圍(第二判別法)對(duì)于已知極值點(diǎn)來求參數(shù)取值范圍的題目,我們一般有兩種解法:方法一:分類討論,求出導(dǎo)函數(shù),確定的根,然后由根分實(shí)數(shù)為若干個(gè)區(qū)間,討論各區(qū)間中的正負(fù),得單調(diào)區(qū)間,若在左側(cè)遞減,右側(cè)遞增,則是極小值點(diǎn);若在左側(cè)遞增,右側(cè)遞減,則是極大值點(diǎn).方法二:第二充分判別條件驗(yàn)證,求出二階導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值,來快速求解參數(shù)取值范圍.注意:這個(gè)是充分條件,一般用來驗(yàn)證答案,不作為解題過程,可作為分析過程?！纠?】已知函數(shù),若在處取得極小值,求的取值范圍.【例2】已知,若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例3】(已知函數(shù),函數(shù)在處有極大值,求的取值范圍.函數(shù)的最值最值就是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值,從函數(shù)圖像直觀說來,最大值與最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),由最大值和最小值可以確定函數(shù)的值域,我們來看最值的具體定義:（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若,使得對(duì),均滿足,那么稱為函數(shù)的一個(gè)最大值點(diǎn),稱為函數(shù)的最大值.（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若,使得對(duì),均滿足,那么稱為函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn),稱為函數(shù)的最小值.最值是函數(shù)的一個(gè)重要特征值,研究最值可以得出函數(shù)值域,也可以用在求解不等式相關(guān)的問題中.【例】證明不等式,則構(gòu)造函數(shù),可通過導(dǎo)數(shù)求出,由此可得到對(duì)于任意的,均有.故.那如何求解出函數(shù)的最值呢?當(dāng)然還是用到我們的導(dǎo)數(shù)來求解,最值問題通常會(huì)結(jié)合前面所學(xué)的單調(diào)性、極值和邊界值最終來確定最值,下面我們一一講解.求無(wú)參函數(shù)的最值題型:求函數(shù)在上的最大值和最小值.方法步驟:一般來說,最值點(diǎn)只可能在極值點(diǎn)或者邊界點(diǎn)處產(chǎn)生,對(duì)于無(wú)參函數(shù)最值的解題步驟如下:第一步:求出極值點(diǎn)和極值,極值為.第二步:求出邊界值,即和.第三步:比較極值和邊界值的大小,最大的為最大值,最小的為最小值.【例1】函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.【例2】已知函數(shù),判斷的單調(diào)性,并求在上的最值.討論含參函數(shù)的最值討論含參函數(shù)在區(qū)間上的最值,核心在于求出在區(qū)間上的單調(diào)性和極值,對(duì)于最值、單調(diào)性和極值之間的關(guān)系,有如下常用結(jié)論：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則與一個(gè)為最大值,另一個(gè)為最小值.(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值,則要先求出函數(shù)在上的極值,再與,比較,最大的為最大值,最小的為最小值.（3）函數(shù)在區(qū)間上有唯-個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.除上述結(jié)論外,我們解題時(shí)通常會(huì)碰到一種求最大或者最小值的?？寄Ｐ?最大值模型:求解含參函數(shù)(為參數(shù))在上的最大值.解題步驟:第一步:求出含參的極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)一般為極大值點(diǎn),并用參數(shù)表示,即.第二步:把極大值點(diǎn)分在區(qū)間的左、中、右三種情況來討論.(1)當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間左邊時(shí),即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞減,則.(2)當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間中間時(shí),即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則.(3)當(dāng)極大值點(diǎn)在區(qū)間右邊時(shí),即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞增,則.注意:求最小值的模型類似,可自行總結(jié)?！纠?】已知為實(shí)數(shù),函數(shù),設(shè)為在區(qū)間上的最小值,請(qǐng)寫出的表達(dá)式.【例2】已知函數(shù),求函數(shù)在上的最大值.【例3】求在區(qū)間上的最小值.已知最值反求參數(shù)反求參數(shù)問題是給出函數(shù)在區(qū)間上的最值,來反求參數(shù),其一般步驟是:第一步:按照上一節(jié)的步驟,先討論出含參數(shù)單調(diào)性和最值,