2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第8講 放縮法（原卷版）

第8講放縮法在前面的幾個章節(jié)中已經(jīng)涉及了一部分放縮法的運(yùn)用,在導(dǎo)數(shù)里放縮法具有廣泛用途,比如說直接利用放縮法證明不等式,利用放縮法找零點(diǎn)或者隱零點(diǎn)區(qū)間,利用放縮法判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號,進(jìn)而判定函數(shù)單調(diào)性等.那放縮法到底是什么?放縮法本質(zhì)上是一種近似估算,利用它達(dá)到簡化計算的目的,其理論依據(jù)是高等數(shù)學(xué)里面的泰勒展開,這在后面的章節(jié)會具體講解,本節(jié)先從高中數(shù)學(xué)的視角來講解不等式放縮.那么如何利用放縮法解決導(dǎo)數(shù)問題呢?放縮法的核心在于利用不等式,對函數(shù)進(jìn)行放大或縮小,從而達(dá)到簡化函數(shù)進(jìn)而簡化計算的目的.下面一些關(guān)于不等式的常用結(jié)論,請在做題過程中慢慢體會.1.能夠利用的不等式通常分為三類:(1)常用不等式,就是常用對數(shù)不等式、常用指數(shù)不等式和基本不等式,以及相關(guān)的變形.(2)已證不等式,通常就是第一小問證明出來的不等式會被用在第二小問題來進(jìn)行放縮.(3)變形不等式,常用不等式的變形或者在解題過程中積累下來的不等式.2.在利用不等式放縮的時候需要注意“一向,二等,三證明”.一向.就是不等式放縮時要注意不等號的方向要一致,需要同向才能放縮.二等.就是要注意等號成立的條件,如果多次放縮還要注意等號能否同時成立.三證明.就是在運(yùn)用了不等式放縮之后,一定要對不等式進(jìn)行證明,除基本不等式之外,其他必須證明,也就是我們常說的“欲用不等式,必證不等式”.3.運(yùn)用不等式放縮時通?？梢苑譃橐韵聨最?(1)直接放縮.就是直接利用常用不等式或者函數(shù)單調(diào)性放縮即可求解.(2)去參數(shù)放縮.利用函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)取值范圍,把參數(shù)去掉來實(shí)現(xiàn)放縮.(3)去項(xiàng)放縮.是通過舍棄一些項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)放縮簡化.(4)系數(shù)放縮.對函數(shù)進(jìn)行因式分解,在可預(yù)見不等式性質(zhì)的前提下,把某一個因式作為另一個因式的系數(shù)進(jìn)行放縮.基本放縮公式總結(jié)下面一些常用的不等式,可用于放縮法證明不等式或者賦值法找零點(diǎn),其原理會在后面泰勒展開那里具體講【解析】,這里不過多證明.注意:如果考試的時候使用了下面的不等式,一定要用構(gòu)造函數(shù)的方式證明出來,所謂“欲用不等式,必證不等式”.第一組:對數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成雙撇函數(shù)....(3)放縮成二次函數(shù).(4)放縮成類反比【例】函數(shù),.0),.第二組:指數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成類反比【例】函數(shù).(3)放縮成二次函數(shù)第三組:指對放縮.第四組:三角函數(shù)放縮.第五組:以直線為切線的函數(shù).下面舉例說明如何運(yùn)用不等式放縮來證明不等式.【例1】設(shè),若對任意的恒成立,求的取值范圍.常用不等式及其變形方法總結(jié)不等式一：常用指數(shù)不等式【例1】證明:指數(shù)不等式:.不等式二:常用對數(shù)不等式【例2】證明:對數(shù)不等式:.常用不等式直接放縮對于一些無參不等式的證明,特別是同時包含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的不等式,我們通常需要用常用指數(shù)不等式和常用對數(shù)不等式放縮為冪函數(shù),從而實(shí)現(xiàn)函數(shù)簡化,進(jìn)而方便計算和求解.【例1】證明:.【例2】證明:.【例3】設(shè).證明:當(dāng)時,.去參數(shù)放縮所謂去參數(shù)放縮,就是在給出了參數(shù)取值范圍來證明不等式恒成立的題目中,把參數(shù)按取值范圍放縮為常數(shù).例如:已知參數(shù),證明恒成立,按去參數(shù)放縮可得,只需要證明即可.【例1】已知函數(shù),證明:當(dāng)時,.【例2】已知函數(shù),證明:當(dāng)時,.【例3】已知函數(shù)，當(dāng)時,證明:.去項(xiàng)放縮所謂去項(xiàng)放縮,就是直接去掉不等式兩邊的一些不影響不等式恒成立的確定項(xiàng),從而去除參數(shù)或者簡化不等式,進(jìn)而快速得到證明.說白了,就是簡單粗暴地扔掉一些累贅,自然就簡單了.比如要證明,如果能夠得到,則把直接扔掉,若成立,