2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第9講 系數(shù)放縮

第9講系數(shù)放縮若已知，其中且是的系數(shù)，要證明恒成立，只需要證明即可，也就是把作為的系數(shù)來實(shí)現(xiàn)放縮，這種放縮方式，稱之為系數(shù)放縮.【例1】證明：.【解析】證明：所證不等式等價于.由三角不等式可得，只需證明即可.設(shè).在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，即由三角不等式可得.，原不等式得證.【例2】已知函數(shù)，設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對.【解析】證明：.所證不等式等價于:.設(shè)，則.令.在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減..若要證，只需證.設(shè)，令解得.在單調(diào)遞增...，即原不等式得證.【例3】已知函數(shù).若，求證:.【解析】證明：要證，即證.記，則.令得.當(dāng)時，單調(diào)遞增.當(dāng)時，單調(diào)遞減.令，則，在上單調(diào)遞減.則，即恒成立.恒成立.已證不等式放縮這一類題目無法直接用常用的不等式進(jìn)行放縮，但其題目特征也比較明顯，通常第一小問會產(chǎn)生一個不等式，它可用于后面小問的放縮，而且最后一小問的不等式證明一般會比較麻煩.【例1】已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.(2)當(dāng)時，證明:【解析】(1)由得恒成立.令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..，即，故的取值范圍是.(2)證明由（1）題知，時，有，=1\*GB3①要證，可證，只需證.易證(證明略)，.=2\*GB3②要證，可證.易證(證明略)，由于，.綜上所述，當(dāng)時，.【例2】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）證明:對任意恒成立.【解析】(1)，定義域?yàn)椋?，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.在上，.在上，.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明由(1)題可知，}，即.要證，只需證，即證.令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞增.當(dāng)時單調(diào)遞減.故，即.對任意恒成立.【例3】已知（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，對任意恒成立，求整數(shù)的最大值；(3)求證:當(dāng)時，.【解析】(1)，=1\*GB3①若，則，函數(shù)在上為增函數(shù).=2\*GB3②若，由可得.由可得.因此在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(2)若，則，不滿足題意.若，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).設(shè)，則.，在上單調(diào)遞增.且.故存在唯一，使得.當(dāng)時，.當(dāng)時，.故，解得，又，.綜上，的最大值為.(3)證明由(2)題可知，時，...記，則.記，則.由可得.；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增...，函數(shù)在上單調(diào)遞增.即凹凸性切線放縮如果要證明的兩個函數(shù)一個是凹函數(shù)(向下凸出的函數(shù))，一個是凸函數(shù)（向上凸出的函數(shù))，則證明時，去找它們的共切線，只需要證明即可，這個證明過程稱為凹凸性切線放縮.【例1】已知函數(shù)，證明:.【解析】證明：將原式變形為，兩個函數(shù)有公共點(diǎn)，函數(shù)在的切線為.在的切線也是，兩個曲線一個上凸，一個下凸，.和圖像，如下圖所示.【例2】已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求證:當(dāng)時，.【解析】(1)，由題設(shè)得.曲線在處的切線方程為，即.(2)證明令，則，當(dāng)時，.當(dāng)時，.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為凹函數(shù).由于曲線在處的切線方程為，可猜測函數(shù)的圖像恒在切線的上方.先證明當(dāng)時，.設(shè)，則.當(dāng)時，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由..存在，使得，當(dāng)時，0.當(dāng)時，.在上