2024年高考數(shù)學重難點突破第10講 放縮法賦值找零點

第10講放縮法賦值找零點在基礎篇我們學過了零點問題，會利用函數(shù)單調性和零點存在定理來確定零點，要應用零點存在定理就必須找到一個點的值大于零或者小于零，而這個點不需要很精確，就可以完美地使用放縮法來近似計算.可將這個找點判定正負號的過程稱為賦值.常用的賦值方法如下：1.直接常數(shù)賦值法：代入一個常數(shù)點就可以判定出函數(shù)值的正負號，這個點也通常是一些特殊點，比如等.2.參數(shù)放縮賦值法:有時代入常數(shù)點后，會得到一個含參數(shù)的函數(shù)值，比如，這時，無法直接判定出正負號，這個時候就需要利用參數(shù)賦值，結合放縮法來判定正負號.3.雙量最值放縮賦值法:參數(shù)賦值和常數(shù)賦值都無法直接得到點，就需要一個既有參變量(參數(shù))又有常量(常數(shù))的范圍點，通過兩個量取最值的方式放縮，來判定出正負號.參數(shù)放縮賦值法參數(shù)放縮法賦值是放縮法的一個應用，難度較大，當然下面的很多例題用參變分離法會非常簡單，當然這里為了講解賦值法，就不考慮參變分離法了.這類賦值法的一般解題思路如下：第一步:判定可行性，在賦值之前，需要利用極限來判定賦值的可行性，賦值也只不過是極限更精確的取點方式，所以如果極限判定出不存在零點就不用白費功夫了.前面講過，極限也可以作為粗略的解題步驟.第二步:放縮找點，結合函數(shù)單調性和前面所學的放縮法找到含參賦值點，這里需要注意，找大于零的點，則需往小放縮，找小于零的點，則往大放縮.第三步:賦值驗證，含參賦值點不僅要滿足不等式，還要滿足自身取值范圍.【例1】函數(shù)，若曲線在點處的切線與有且只有一個公共點，求正數(shù)的取值范圍.【解析】易得切線，代入整理得，題設等價于函數(shù)有且只有一個零點，，令可解得或，我們來討論兩個點是否在定義域內(nèi)，以及比較兩個點的大小.（1）當時，即時，可知當時，單調遞增.當時，單調遞減.是唯一的極小值點，也是最小值點.且，故滿足題意.（2）當，即時，由.=1\*GB3①當，即時，單調遞增.又滿足題設.=2\*GB3②當，即時，單調遞減，.我們接下來需要找到的右邊是否存在點使得，此時要找函數(shù)值大于零的點，所以要往小放縮，我們不難看出，當時，，所以直接對進行去項放縮，.存在..在內(nèi)，存在零點，至少有兩個零點，不合題意.=3\*GB3③當，即時，在上，單調遞減，在上單調遞增，在上希望存在，使.此外要找到函數(shù)值小于零的點，應往小放縮，不難看出，當時.去項、放縮得（其中不等式）.存在，并注意到..在內(nèi)存在零點.從而至少有兩個零點，不合題意.綜上所述，或.【例2】函數(shù).若方程有解，求的取值范圍.【解析】方程有解函數(shù)有零點..(1)當時，(證略)無零點.若，則，.(2)當時，即，則為極小值點，，需要在的右邊賦值，使得，我們直接通討參數(shù)放縮賦值法可得.要使得，則需要往小放縮，當時，利用去項放縮法可得又，由零點定理得有零點.(3)當時，即易知是的最大值點，令，無零點.于是剩下，由常數(shù)賦值法得，有零點.=1\*GB3①當時，，無零點.=2\*GB3②當時，又經(jīng)觀察，有零點.綜上所述或.【例3】已知函數(shù)，若在上有且只有一個零點，求的取值范圍.【解析】(1)當時，，不合題意.(2)當時，有唯一零點，符合.(3)當時，一方面.=1\*GB3①當時，，此時單調遞減.只要找到一個點使得即可.若為某個負常數(shù)，因負數(shù)的任意性，無法確保，故須與有關.必須選取一個含參數(shù)的值作為賦值點，選取過程會結合放縮法的運用.當時，利用單調性放縮可得，取.，使，且當時.單調遞減.在內(nèi)有唯一零點.=2\*GB3②當時，須無零點，而，，即.記，令，當時，時，單調遞增.當時，單調遞減.綜上或.評注:對于(3)=1\*GB3①題為何放縮找點的方法有很多種，比如當時，可以直接利用單調性放縮得，【解析】得.，使，且當時單調遞減.在內(nèi)有唯一零點.【例4】函數(shù)，其中為實數(shù)，求的零點個數(shù)，并證明你的結論.【解析】(1)當時，，單調遞增，而，利用函數(shù)單調性放縮找到的左邊.由參數(shù)放縮賦值法可得，依據(jù)零點定理，有且只有一個零點.（2）當時，.令.是的極大值點，也是最大值點.，，當且僅當時，.故有唯一零點.(3)當時，令，（極大值點）.列表如下：單調遞增單調遞減.=1\*GB3①在上，且單調，有且只有一個零點.=2\*GB3②在上，顯然，注意到(2)的結論，由參數(shù)放縮賦值法可得.同理有且只有一個零點.由=1\*GB3①=2\*GB3②得有兩個零點.綜上所述，當或時，有個零點；當時，有個零點.注意：在上，利用函數(shù)單調性放縮找點，利用放縮可得同樣可以利用不等式放縮找點，，同時利用不等式，放縮驗證.不等式，當且僅當時，等號成立，可知.三個賦值點都是可以的.那這三個賦值點是如何找到的呢?我們還是從不等式開始探究:(大于).也就是，要找小于零的點，就把函數(shù)往大了放縮，盡可能放縮為冪函數(shù)不等式，進而解不等式，找到點，在這個點(大于)的基礎上繼續(xù)放縮，又可以得到其他點.雙量最值放縮賦值法如果用參數(shù)賦值法找點實在找不到，而用直接常數(shù)賦值法也不行，我們需要把兩者結合起來取最值，結合函數(shù)單調性來判定函數(shù)的符號.【例1】設函數(shù)，討論零點的個數(shù).【解析】.當時，，故無零點.（2）當時，零點的個數(shù)即零點的個數(shù).在上單調遞增.又，下一步尋找正數(shù)，使；假定，故應將鎖定在0右側一點點.下面用兩種方法來找賦值點，=1\*GB3①雙量最值放縮賦值法:取，依據(jù)零點定理途徑，存在一個零點.=2\*GB3②參數(shù)放縮賦值法:要取小于零的點，需要往大放縮，當時，由常用指數(shù)不等形整體代換可得，于是當，即時，，，即在的左邊，，取.依據(jù)零點定理，有一個零點.【例2】函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.【解析】.(1)若，當時，單調遞增.當時，單調遞減..一方面，當時，直接用常數(shù)賦值法可得.另一方面，當時，可利用兩種賦值法得到.=1\*GB3①雙量最值放縮賦值法：存在，使，在兩側，各有一個零點，滿足題意.