北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

局一數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷共4頁，150分.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本

試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共50分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

1.若直線1的斜率為一石，貝心的傾斜角為（）

A.-工B.-&C.生D.包

3636

【答案】c

【解析】

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為8，根據(jù)題意得到tan6=-君，即可求解.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為夕，

因?yàn)橹本€的斜率是-石，可得tan，=-石，

又因?yàn)镺V，（萬，所以9=斗，即直線的傾斜角為彳.

故選：c

2.已知等差數(shù)列｛。”｝,其前九項(xiàng)和為S.，若。2+%+/=3，則怎=（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前九項(xiàng)和公式計(jì)算即得.

【詳解】在等差數(shù)列｛%,｝中，3%=4+%+G=3，解得%=1，

所以59=9（。；旦）=9%=9.

故選：C

3.已知雙曲線\-3=1（。>0,6>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為2夜，其左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為0,則

ab

雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±42x

C.y=±y[3xD.y=±2x

【答案】A

【解析】

【分析】由實(shí)軸長(zhǎng)得a=也，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為b=則可得漸近線方程.

22

【詳解】由雙曲線二-1=1(。>0/>0)知，焦點(diǎn)在X軸上，

ab

b

設(shè)左焦點(diǎn)廠(-c,0),其中一條漸近線方程為丫=一x,即次一@=0.

a

由實(shí)軸長(zhǎng)為2&得2a=2后，解得。=行；

由左焦點(diǎn)F(-c,0)到漸近線bx-ay=0的距離d=J=—=b=y/2,

則雙曲線漸近線方程為y=±%.

4.過拋物線好=4y的焦點(diǎn)尸作傾斜角為30的直線/與拋物線交于A3兩點(diǎn)，貝U|A同=()

10-1316

A.—B.4C.—D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，得％+%，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|人耳=%+%+，得弦長(zhǎng)?

【詳解】拋物線好=4〉的焦點(diǎn)廠(0,1),直線/的方程為〉=#彳+1，

x2=4y

聯(lián)立方程組73，得3y2-10y+3=0,A>0

y=——x+1

13

rtI10I4r.1c16

則%+%=三，|AB|=yx+y2+l=—

故選：D.

5.在正方體ABC?！狝4G2中，E產(chǎn)分別為CD和A片的中點(diǎn)，則異面直線”與2E.所成角的余

弦值是()

A.0B.-C.-D.氈

555

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求解兩向量夾角的余弦值即可.

【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D](0,0,2),E(0,l,0),A(2,0,0),F(2,l,2),

^E=(0,l,-2),AF=(0,l,2),

則/…—”\國D.E網(wǎng)AF=耳存1-4=-二3，

由異面直線AF與2E.所成角為銳角，

3

則余弦值面直線AF與.所成角的余弦值為彳.

x

6.若方程上一-匯=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)切的取值范圍是()

4-mm

A.（0,4）B.（-oo,0）C.（4,+oo）D.(—,0)一(0,4)

【答案】B

【解析】

【分析】由方程表示橢圓得系數(shù)滿足的不等式組，解不等式組可得.

22

【詳解】因?yàn)榉匠潭?-2=1表示橢圓，

4-mm

4—m>0

則〈一機(jī)〉0,解得m<0,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-8,0).

4—加?！猰

故選：B.

7.已知等比數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，前九項(xiàng)和為S"，則“｛4｝是遞增數(shù)列”是N*,S2“<35J的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】通過兩個(gè)特殊數(shù)列可知兩個(gè)命題互相推不出，則可判斷為既不充分也不必要條件.

【詳解】等比數(shù)列｛&｝各項(xiàng)都為正數(shù)，設(shè)公比為9,則q=&包〉0,

an

①當(dāng)％=1,4=2時(shí)，｛4｝是遞增數(shù)列

1—2?"=22,!-1,35?='J)=3(2"—1)，

1-21—2

由S-fl『—,!n

2n3S“=(232+2=(2-l)(2-2)>o,則邑”3

不滿足V”eN*,S2“<3S”.

所以｛4｝是遞增數(shù)列KV“eN*,S2?<3Sn.

②當(dāng)q=q=1時(shí)，則S2n=2n<3Sn=3n,

此時(shí)滿足S2〃<3S“，｛a,｝為常數(shù)列，不是遞增數(shù)列.

所以V〃eN*,S2“<3S“R｛a“｝是遞增數(shù)列.

故“｛q,｝是遞增數(shù)列”是“V”eN*,S2?<3SJ的既不充分也不必要條件.

故選：D.

8.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，甲、乙兩個(gè)工廠進(jìn)行了污水排放治理，已知某月兩廠污水的排放量W與

時(shí)間/的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是（）

A.該月內(nèi)，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多

B.該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度是先慢后快

C.在接近時(shí)，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快

D.該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同

【答案】D

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,結(jié)合圖象，比較兩廠污水排放量減少量即可求解；選項(xiàng)B,由切線傾斜程度的大小比較可

得；選項(xiàng)C,在接近a時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在務(wù)處切線的斜率的大小比較近似代替，比較兩曲

線在％處切線的斜率的絕對(duì)值大小即可得；選項(xiàng)D,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污水

排放量的瞬時(shí)變化率即切線的斜率相等，則甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同.

【詳解】選項(xiàng)A,設(shè)AW=叱—叱力，

設(shè)甲工廠的污水排放量減少為公叱，乙工廠的污水排放量減少為,

結(jié)合圖像可知：△叫＜A叱，

所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,作出如圖所示表示甲廠曲線的3條切線/i12,4可知，

直線/2的傾斜程度小于4的傾斜程度，直線k的傾斜程度大于4的傾斜程度，

而這說明該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，

從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)c,設(shè)4為接近t0的時(shí)刻且t,<t0,

w_-W_

從4時(shí)刻到fo時(shí)刻，污水排放量平均變化率f=*一-

由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，

在接近九時(shí)，在接近。時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替.

設(shè)甲工廠在"處切線的斜率為匕，乙工廠在。處切線的斜率為區(qū)，

結(jié)合圖象可知同>問，

所以在接近。時(shí)，甲工廠的污水排放量減少得更快，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時(shí)刻兩曲線切線的斜率相等,

即甲、乙兩廠污水排放量的瞬時(shí)變化率相同，

所以該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同.故D正確.

故選：D.

9.43是圓。]：（苫—2）2+（、—根）2=4上兩點(diǎn)，|4即=26,若在圓Q:（x—2）2+（y+l）2=9上存在點(diǎn)

P恰為線段AB的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.[1,3]B,[-5,3]C.[-5,-3]o[l,3]D,[-4,-2]o[2,4]

【答案】C

【解析】

【分析】由|A3|=2后得弦中點(diǎn)p到圓心G的距離|GP|=1,則點(diǎn)P在以C1為圓心，1為半徑的圓上，又

在圓C2上存在點(diǎn)p,則可轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)問題求解即可.

【詳解】圓￡：（x—2）2+（y—根產(chǎn)=4,圓心G（2,m）,r=2,

由P是弦AB的中點(diǎn)，且|A3|=2百，則由圓的幾何性質(zhì)，C.P±AB,

所以（耳=,22—（括J=1，

故點(diǎn)P在以C（2,m）為圓心，以6=1為半徑的圓上.

又在圓。2：（%-2『+（y+=9上存在點(diǎn)p滿足題設(shè)，

且其圓心。2（2,-1），半徑々=3,

則由兩圓有公共點(diǎn)，得4-BPl<|m+l|<4,

解得一5二加<一3,或14根43.

10.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4=2","eN*.設(shè)/=(q+1)(4+1)(4+1)(v+1)-左eN*，若

log2(，+1)=256,貝蛛=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】在已知/的等式代入通項(xiàng)公式4=2",在兩邊同乘以式子(2-1),連續(xù)使用平方差公式化簡(jiǎn)得

t=22'-1，再由對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化指數(shù)式得.=2256—1，則可解得上.

【詳解】由題意知，/=(%+1)3+1)3+1)(^-,+1)=(2+1)(22+1)(24+1)(2*+1),

則f=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)Q2"'+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(2戶+1)

=(24-1)(24+1)(2*+1)=22"-1,

由log2?+1)=256得/=2?56—1=22"貝［|2*=256=2?,

解得左=8.

故選：C.

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.兩條直線6：x—y=0與6：x—V—2=0之間的距離是.

【答案】亞

【解析】

【分析】由兩條平行線的距離公式求解即可.

【詳解】由兩條平行線的距離公式可得：

Vi+1

故答案為：V2-

12.已知函數(shù)/'(x)=sin2x,則/'(0)=.

【答案】2

【解析】

【分析】由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求導(dǎo)函數(shù)，代入求導(dǎo)數(shù)值即可.

【詳解】由/(x)=sin2x,則/'(x)=2cos2x,

所以/，(0)=2cos0=2.

故答案為：2.

13.以4(4,6),5(-2,-2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是.

［答案］（1）2+（—）2=25

【解析】

【分析】利用直徑端點(diǎn)求出圓心和半徑，再用標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.

【詳解】A（4,6）,B（-2,-2）是直徑端點(diǎn)，

???由兩點(diǎn)間距離公式得直徑長(zhǎng)為|A3|=,36+64=10,故半徑為5，

且設(shè)圓心為C,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心C（l,2）,

故圓的方程為（x—1）2+"—2）2=25.

故答案為：0—1）2+（y_2）2=25

14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（l,0,0）,5（0,l,0）,C（0,0,l）,若點(diǎn)尸（羽%—1）在平面ABC內(nèi)，寫出

一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】尸（LL—1）（答案不唯一）

【解析】

【分析】由他。四點(diǎn)共面可得4。=〃?48+〃4。，代入計(jì)算可得工+丁—2=0,所以尸（蒼又—1）滿足

x+y-2=0即可.

【詳解】點(diǎn)尸（蒼X—1）在平面ABC內(nèi)，所以ABCP四點(diǎn)共面，

則AP=mAB+nAC>

所以（*一1,y,-1）=m（-l,1,0）+?（-1,0,1）,

x—1=—m—n

所以<y=加,則x+y—2=0,

-1=n

所以P（x,y,—1）滿足x+y—2=0即可.

令x=y=l,滿足x+y-2=0,

所以符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為p（l,l,-l）.

故答案為：p（l,l,-l）（答案不唯一）.

15.某學(xué)校球類社團(tuán)組織學(xué)生進(jìn)行單淘汰制的乒乓球比賽（負(fù)者不再比賽），如果報(bào)名人數(shù)是2的正整數(shù)次

幕，那么每2人編為一組進(jìn)行比賽，逐輪淘汰.以2022年世界杯足球賽為例，共有16支隊(duì)進(jìn)入單淘汰制比

賽階段，需要四輪，8+4+2+1=15場(chǎng)比賽決出冠軍.如果報(bào)名人數(shù)不是2的正整數(shù)次哥，則規(guī)定在第一輪

比賽中安排輪空（輪空不計(jì)入場(chǎng)數(shù)），使得第二輪比賽人數(shù)為2的最大正整數(shù)次幕.（如20人參加單淘汰制

比賽，第一輪有12人輪空，其余8人進(jìn)行4場(chǎng)比賽，淘汰4人，使得第二輪比賽人數(shù)為16.）最終有120名

同學(xué)參加校乒乓球賽，則直到?jīng)Q出冠軍共需輪；決出冠軍的比賽總場(chǎng)數(shù)是.

【答案】①.7②.119

【解析】

【分析】根據(jù)比賽規(guī)則，第一輪有8人輪空，有112人進(jìn)行淘汰賽，共進(jìn)行了56場(chǎng)比賽，以后每輪淘汰一

半同學(xué)，按每輪分析計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?,=64（120,27=128）120,

所以第二輪需要64名同學(xué)參加比賽，

則第一輪淘汰120—64=56人，

即第一輪有8人輪空，有112人進(jìn)行淘汰賽，共進(jìn)行了56場(chǎng)比賽，

則第二輪有64名同學(xué)參加比賽，

所以共進(jìn)行了32場(chǎng)比賽，淘汰了32人，

則第三輪有32名同學(xué)比賽，則進(jìn)行了16場(chǎng)比賽，

第四輪有16名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，

第五輪有8名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了4場(chǎng)比賽，

第六輪有4名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了2場(chǎng)比賽，

第七輪有2名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了1場(chǎng)比賽，

故直到?jīng)Q出冠軍共需7輪比賽，

共進(jìn)行了56+32+16+8+4+2+1=119場(chǎng)比賽，

故答案為：7；119.

16.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—&耳GR中，A3==3,A&=1,"為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是側(cè)面CCRD

上的動(dòng)點(diǎn)，滿足NAPD=NCPM,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一段圓弧;

TT

②動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為一;

3

③動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與線段CG有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

④三棱錐P-ADD,的體積的最大值為土且

2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的定義得到PD=2PC,再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式求得動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡，從而逐一分析各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知：4。,8。都與平面?！?。。垂直，

而。RCP在平面內(nèi)，所以AOLORCBC,

qiADCM工

由NA尸D=NCPM,可知tanNAP￡>=tanZCPA/,a即一=——，故PD=2PC,

PDPC

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。（0,0,0）,。（0,3,0）,因?yàn)辄c(diǎn)尸是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)尸（O,y,z）,

）2222

故所求點(diǎn)P（0,y,2滿足JV+z2=27（y-3）+z，化簡(jiǎn)得（y-4）+z=4,

則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為此圓在矩形CDRG內(nèi)的部分，是一段圓弧，故①正確；

記圓心F（0,4,0）,當(dāng)y=3時(shí)，由（3-4『+Z2=4,得Z=6〉1，

顯然動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡與線段CG沒有公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤;

Di

~D\m_cFT~y

\/

、、一/

當(dāng)z=l時(shí)，由（y—4）2+F=4,得y=4—6或y=4+G（舍去），

當(dāng)z=0時(shí)，由（y-4>+。2=4,得y=2或y=6（舍去），

則￡（0,2,0）,G（0,4-A/3,1）,

]A/3

易得tanNGEEn：^—=—,又。<NGFE「,則NGbE=/，

4-I4-V3J326

JTJT

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為一x2=」，故②正確；

63

顯然，動(dòng)點(diǎn)P到平面AD2的最大距離為點(diǎn)G到平面AD2的距離，即4-6，

所以三棱錐P—AD2的體積的最大值為gxgx3xlx（4—乎，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系確定邊之間的關(guān)系，利用空間向量法求得動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡,

從而得解.

三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.己知函數(shù)/（0=（2%2一3%）61

⑴求曲線產(chǎn)/（%）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

（2）求/（x）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（1）y=-3x

（2）單調(diào)遞增區(qū)間為[-叫-+8）；單調(diào)遞減區(qū)間為-1』

【解析】

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求切線方程;

（2）按步驟利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

由/（尤）=（2*—3九）廿，/（x）的定義域?yàn)镽.

貝ij/'（九）=（2x2+x—3）e）

所以八0）=—3e°=—3,又/（0）=0,

所以在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程為y=-3%.

【小問2詳解】

/'（九）=（2尤2+%—3）ex=（x-l）（2x+3）e\

,3

由/'（%）=。，得％=—，或％=1,

2

當(dāng)了<-1時(shí)，f\x）>0,/。）單調(diào)遞增；

當(dāng)一彳<x<l時(shí)，f\x）<0,/（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)%>1時(shí)，r（X）>o,“X）單調(diào)遞增；

所以函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為8,-m］，（i，+°°）；

單調(diào)遞減區(qū)間為［—|』］

18.已知5“為數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和，滿足S.=24-l,〃eN*,數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，且

b、——q,Z?2+-］0?

（1）求數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛%,+〃｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】（1）a〃=2"T;bn=-2n+l

（2）2n-n2-l

【解析】

【分析】（1）由%與S“關(guān)系得遞推關(guān)系，進(jìn)而證明｛4｝為等比數(shù)列，再由首項(xiàng)公比求｛4｝通項(xiàng)公式；設(shè)

出基本量，建立并求解方程組得｛〃｝通項(xiàng)公式即可；

（2）分組求和，利用公式法分別求解等比與等差數(shù)列的和.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，S]=2al-1-c^,得q=1,

當(dāng)〃》2,〃eN*時(shí)，SAT=2?！癬]-1①，

由已知S”=2a“-l②,

②-①得，an=2an-2%,

所以。“=2a,i，由得名-=2

an-l

所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，公比4=2,

因?yàn)?=1,所以%=2"T("CN*).

設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為d,

由4=—1,則打+4=-1+d+(―1)+3d=-2+4d=-10,解得d=—2.

所以2=4+(〃-l)d=-2n+l(HGN*).

【小問2詳解】

設(shè)g=4+〃，則%=2n-1+(~2n+1)=2n-x-(2n-1)，

設(shè)｛%｝的前〃項(xiàng)和為北，

則7；=(1+2+4++2"T)—(1+3+5++2/7-1)

_1-2Hn(l+2n-l)

-1-22

=2"-"—I.

19.如圖，三棱錐P—ABC中，鉆=5。=6=?8=1,平面2鉆，平面ABC,點(diǎn)E是棱P5的中點(diǎn),

再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

(1)求證：AB±PC；

(2)求二面角七一AC-3的余弦值.

條件①：PC=旦;

2

條件②：直線PC與平面上45所成角為45.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)證明見解析

力3m

\^)-----

13

【解析】

【分析】(1)由面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直，進(jìn)而得線線垂直，再由長(zhǎng)度關(guān)系利用勾股定理證明另一

組線線垂直，則由線面垂直判定理證明線面垂直，由此線線垂直得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求解二面角的大小.

【小問1詳解】

選擇條件①.

取AB的中點(diǎn)。，連接

由于ABC是等邊三角形，故CDLAB,

又平面ABC1平面已鉆，CDu平面ABC,

平面ABCc平面RIB=AB,

故CD,平面

而？Du平面MB,故CD_L?D,即NPDC=90，

又BP=l,BD=g,故尸4=皮>2+p02,

則N3￡>P=90，即

因?yàn)锳SLCD,PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以AB工平面尸CO,PCu平面PC。，

所以A6LPC.

選擇條件②.

取AB的中點(diǎn)。，連接

由于ABC是等邊三角形，故CDLA6,

又平面ABC1平面已鉆，CDu平面ABC,

平面ABCc平面八IB=AB,

故CD,平面Q43，

所以PC在平面ABP內(nèi)的射影是PD，

所以NCPD是直線PC與平面A5P所成角.

所以NCPD=45.

由CD,平面P4B，而PDu平面上鉆，故CDLPD,即NPDC=90,

所以PD=CD=2,又BP=1,BD=L

22

故PB?=BD2+PD?，則N3￡>P=90，即ABLPD.

因?yàn)锳BLCD,PDcco=r),pr),cr)u平面pc。，

所以A3工平面尸CD,PCu平面尸C。，

所以A5LPC.

由(1)知。P,OC,ZM兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DCDAOP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

于是A(O,5,O],B[O,—5,o：c[q^,o,o,Po,o,,

(i5

由點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，所以E0,-■,

I44J

不曰「J括16]ACJ1。]

于"￡=[=，-7F，又vAC=曰-5'。)

設(shè)〃=（x,y,z）是平面EAC的一個(gè)法向量，

“指1n

n-AC=——x——y=0

則2L2，令>=百，則x=l,z=3,

，CE=--x--y+—z=0

n24-4

所以“=（1,、6,3卜

又加=（0,0,1）是平面ABC的一個(gè)法向量,

設(shè)二面角E-AC-B的大小為8,由題可知，為銳角,

|八〃|_3_3A/13

所以cos0-cos(m,n

m\'\n\而一13

=1（。＞〃〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,、6），離心率為：.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過橢圓E的右焦點(diǎn)尸作斜率為M左W0）的直線/交橢圓E于A3兩點(diǎn)，線段A3的垂直平分線m分

別交直線/,x軸，y軸于點(diǎn)的值.

22

【答案】（1）'+匕=1

95

⑶回」

\MN\5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)及標(biāo)一^=,2求出〃、步可得答案;

(2)直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)利用韋達(dá)定理求出加點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線

的方程，令y=。、彳=0可得N、K點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|KN|、|肱V|,再做比值可得答

案.

【小問1詳解】

b=45

c2…口"2=5

由題意可得e=—=—,解得<

a3=9'

a1-b2=c2

,22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1；

95

【小問2詳解】

22

由(1)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+3=1,可得-2,0),

可得直線/的方程為丁=左(％—2)(左wO),

y=^（x-2）

22

與橢圓方程聯(lián)立《xy,可得（5+9左2）%2—36k2%+36%2_45=0,

[95

oZTL-236左2-45

易知A>0,設(shè)A（XQJ,3（W，%）,所以玉+1

TXi1X22二----------------丁

DI/C、5+9左2

1’18公—10左

所以X”=,代入直線/的方程得y=k-2

M、5+9左25+9左2

5+9k7

（18左2-10Z：）

所以M

^5+9k2,5+9k2

—10左1'18/、

所以直線的方程為y-

5+9嚴(yán)kJ~5+9k\

18左210左28左2

當(dāng)y=o時(shí)，x

N5+9左25+9k25+9k2

18左1048k

當(dāng)x=0時(shí)，y

K5+9左25+9左②5+9左2

8k）

所以N［用斗K］。

所以區(qū)N|U+PM、8尸,

11][5+9k2J[5+9k2J5+9k2

?118.8k2Y(-10A:YIOA/F+F

明叫)[際J+[際廣

8&"+k?

所以照==±

MMio"4+左25

5+9/

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（國,%）,（%2，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+%、（或％+%、％%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

21.設(shè)正整數(shù)n之4,若由實(shí)數(shù)組成的集合人={4，4，，，%}滿足如下性質(zhì)，則稱A為H“集合：對(duì)A中

任意四個(gè)不同的元素Q,0,c,d，均有必+cdwA.

（1）判斷集合A小g，1,2卜口&1,2,31是否為H4集合，說明理由;

（2）若集合A={0,x,y,z}為H4集合，求A中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)；

（3）若集合A為H”集合，求證：A中元素不能全為正實(shí)數(shù).

【答案】（1）A=[o,g』,21是集合，&=1,1,2,31不是H4集合；

（2）A中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)為0』.

（3）見解析

【解析】

【分析】(1)由H4集合的定義即可得出答案；

(2)由題意可得{x,y,z}={^,yz,xz},不妨設(shè)*<y<z,分類討論為<y<z<0,x<y<0<z,

x<O<y<z和。<x<y<z結(jié)合集合的性質(zhì)即可得出答案；

(3)根據(jù)已知新定義，分類討論、反證法進(jìn)行求解、證明.

【小問1詳解】

集合4=[o,g,l,21是H4集合，

當(dāng){{。,可，{。,1}}=1()，3},{1,2}>時(shí)，0x|+lx2=2e4；

當(dāng){{a,0},{c,d}}=<{0」},g,21時(shí)，0xl+|x2=le4；

當(dāng){{a,A},{c,d}}=<{0,2},1,“，時(shí)，0x2+；xl=；eA；

集合&={；1,2,31不是集合，

取{。,4c,d}={；」,2,31,則4人+。4=；><1+2*3