等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)

第一章

數(shù)列2等差數(shù)列高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)1.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式兩種不同形式(1)當(dāng)已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)時(shí)，用Sn＝______________，(2)當(dāng)已知首項(xiàng)a1和公差d時(shí)，用Sn＝______________．

[基礎(chǔ)自測(cè)]1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和就是指從數(shù)列的第1項(xiàng)a1起，一直到第n項(xiàng)an所有項(xiàng)的和．(

)(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S1＝a1.(

)(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式一定為關(guān)于n的二次函數(shù)．(

)(4)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(

)√√××2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，則S9等于(

)A．45

B．52C．108

D．54答案：D

3．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，d＝2，則S20＝(

)A．230

B．420C．450

D．540答案：B

3

方法歸納a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用．

題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例2

(1)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30，前6項(xiàng)的和為100，則它的前9項(xiàng)的和為(

)A．130

B．170C．210

D．260答案：C解析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.

跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a11＋a12＋a13＋a14等于(

)A．18

B．17C．16

D．15答案：A

(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝100，S100＝10，則S110＝________．－110

題型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題例3在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．

7

變式探究將本例中“a1>0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．12或13

跟蹤訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中a1＝13，S3＝S11，試求Sn的最大值．

易錯(cuò)辨析忽略等差數(shù)列中為零的項(xiàng)而致錯(cuò)例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S11＝S18，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．14或15

【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15時(shí)，前n項(xiàng)和相等且最大．有些同學(xué)容易忽視數(shù)列中為零的項(xiàng)致錯(cuò)．在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到求最值的問(wèn)題，且解決此類問(wèn)題常用函數(shù)的一些方法，但一定要注意數(shù)列中的變量n為正整數(shù)，同時(shí)還要注意數(shù)列中為零的項(xiàng)．[課堂十分鐘]1．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a4＝3，a9＝5，則S12＝(

)A．96B．72C．48

D．60答案：C

2．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a10＝－70，則S11等于(

)A．－770

B．－385C．770

D．385答案：B

3．(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝－4，a7＝4，則(

)A．S4>S6

B．S4＝S5C．S6>S5

D．S6＝S5答案：BC

4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝__________.15

5．已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.

第一章

數(shù)列2等差數(shù)列高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)1.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第二課時(shí)題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例1一支車隊(duì)有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行任務(wù)．第1輛車于下午2時(shí)出發(fā)，第2輛車于下午2時(shí)10分出發(fā)，第3輛車于下午2時(shí)20分出發(fā)，依此類推．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車，并且都在下午6時(shí)停下休息．(1)到下午6時(shí)，最后一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？(2)如果每輛車的行駛速度都是60km/h，則這支車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了多少路程？

方法歸納(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：①抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練1植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植樹(shù)一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一棵樹(shù)坑旁邊，若使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，則此最小值為_(kāi)_______米．2000

題型三利用an與Sn的關(guān)系求解數(shù)列問(wèn)題例3已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且8Sn＝(an＋2)2.(1)求證：{an}為等差數(shù)列；(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

方法歸納在給出數(shù)列的an與Sn的關(guān)系式時(shí)，可根據(jù)an＝Sn－Sn－1(n≥2)將關(guān)系式中的Sn(或an)消去，從而求得an與an－1(或Sn與Sn－1)的關(guān)系，然后借助等差數(shù)列或其他特殊數(shù)列中的方法求解.

[課堂十分鐘]1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(

)A．15

B．16C．49

D．64答案：A解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.故選A.2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則其通項(xiàng)公式為(

)A．a(chǎn)n＝2n

B．a(chǎn)n＝2n－1

C．a(chǎn)n＝2n＋1D．a(chǎn)n＝2n－1－1答案：B解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21－1＝1適合上式，故an＝2n－1(n∈N＋).故選B.3．據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“嫦娥”號(hào)探月飛船的“長(zhǎng)征”二號(hào)系列火箭，在點(diǎn)火后1分鐘通過(guò)的路程為2km，以后每分鐘通過(guò)的路程增加2km，在到達(dá)離地面240km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程大約需要的時(shí)間是(

)A．10分鐘

B．13分鐘C．15分鐘

D．20分鐘答案：C

4．甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m，則甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后________分鐘相遇．7

5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝an＋n2－1(n∈N＋)．求{an}的通項(xiàng)公式．解析：當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝a1＋a