初學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)的幾何基礎(chǔ)知識解答冊

十、幾何初步知識

279.什么叫做幾何學(xué)和幾何圖形？

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)日勺一門分科，它是研究物體日勺形狀、大小和互相位置關(guān)

系日勺科學(xué)，也就是研究現(xiàn)實客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系日勺一門科學(xué)。

在我們?nèi)丈字車澜缋铮喾N物體都具有形狀、大小和互相之間日勺位置

關(guān)系。例如：課桌日勺桌面是長方形的I,魔方日勺每個面是正方形日勺，多種車

輪的形狀是圓日勺。魔方有大小之分，魔方的面日勺大小也是不一樣樣日勺；汽

車有大小，自行車也有大小，同樣是車輪，大小也不相似。還應(yīng)當(dāng)看到，

物體與物體之間，有著互相位置關(guān)系。例如：上下關(guān)系、前后關(guān)系和左右

關(guān)系等。

公元前338年，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得總結(jié)了勞感人民在實踐中獲得日勺

幾何知識，并加以系統(tǒng)整頓，按照圖形在平面或空間日勺形式，在幾何學(xué)中

分出了“平面幾何”和“立體幾何”兩個分支。

由于幾何學(xué)是研究物體日勺形狀、大小和互相位置關(guān)系日勺科學(xué)，根據(jù)研

究成果加以抽象概括，便產(chǎn)生了幾何圖形。幾何圖形是由點、線、面結(jié)合

而成的，也是點、線、面日勺集合。一種圖形所有的點，都在同一平面內(nèi)，

這樣的圖形叫做“平面幾何圖形”，如長方形、正方形、三角形、梯形和

圓等圖形，都是平面幾何圖形。假如一種圖形的點不全在同一平面內(nèi)，這

個圖形就叫做“立體幾何圖形”，如長方體、圓柱體和圓錐體等圖形，都

屬于立體幾何圖形。

280.什么叫做點、線、面、體？

點：在平面上只有位置，沒有大小（即沒有長、寬、高），不可分割

的。線和線相交于一種點。也可以理解為“點”是“線”日勺界線。

在幾何中，用大寫字母表達(dá)點。如，圖中的A點、B點、C點。

線：假如兩個面相交，就會交出一條線來。也就是面和面相交于線。

一張紙對折起來日勺痕跡就是“線”。也可以理解為“線”是“面”日勺界線。

線有直線和曲線等。如：長方體相鄰日勺兩個面相交于一條線（也就是

長方體日勺一條棱），就是直線。圓柱體日勺側(cè)面和一種底面相交日勺一條線，

就是曲線。

線只是面與面相交日勺界線，它沒有大?。创旨?xì)），只有長短，或者

說，線只有長，而沒有寬和高。

面：任何物體都占一定日勺空間，都是用它的表面和周圍分割開來。因

此，可以說“體”是由“面”圍成的。如：書本的封面、黑板日勺面、粉筆

時截面、水桶的側(cè)面和底面等都是“面”。也可以理解為“面”是“體”

日勺界線。

由于面是物體日勺表面，假如放棄物體日勺自身，只單獨想象物體日勺表面,

這樣的面就是幾何的面。幾何里日勺面是沒有厚度日勺（即：高），因此，面

只有長和寬，而沒有高。

體：當(dāng)我們只研究一種物體日勺形狀、大小而不研究它日勺其他性質(zhì)（如

顏色、重量、硬度等）的時候，我們就把這個物體叫做幾何體，簡稱“體”O(jiān)

例如：一塊磚與一種和磚完全同樣日勺紙盒，雖然它們?nèi)丈最伾?、重量、硬?/p>

以及制作材料都不一樣，只要它們口勺形狀、大小都相似，就可以認(rèn)為它們

是完全相等日勺兩個幾何體。就上述的I磚和紙盒來說，它們是兩個相似日勺長

方體。

281.直線、射線和線段有什么不一樣？

直線、射線和線段是易于混淆日勺三個概念，它們之間也是有聯(lián)絡(luò)的，

直線是基礎(chǔ)，射線和線段是直線概念日勺發(fā)展。它們也是有區(qū)別的，這是它

們之間日勺重要方面。

首先看直線，一點在空間沿著一定方向和相反方向運動，所成日勺圖形

就是直線。一張紙的折痕、雙手拉緊日勺線，都給人以直線的形象。我們把

直線看作可以向兩方無限延伸日勺，直線是無頭無尾的I,即是沒有端點的I。

直線可以用表達(dá)它上面任意兩點日勺兩個大寫字母來表達(dá)。例如，直線

AB,或直線BA；也可以用一種小寫字母表達(dá)一條直線。例如，直線1（如

下圖）。

ABa

I----------1I----------1

通過一點，可以畫無數(shù)多條直線，不過,通過兩點卻只能畫出一條直

線，這就是直線日勺基本性質(zhì)。

除此之外，兩條直線相交，只有一種交點。

另一方面看射線，在直線上某一點一旁的部分叫做射線。這一點叫做

射線日勺端點。射線日勺另一端是可以無限延伸日勺，因此，沒有端點。射線只

有一種端點；是一條半直線。類似探照燈光和手電筒所射出日勺光線，都可

以看作射線日勺實際例子。

射線一般用表達(dá)它日勺端點和射線上此外一點的兩個大寫字母來表達(dá)，

并且把表達(dá)端點日勺字母寫在前面。例如，以點0為端點的射線，可以在射

線上再取一點A,記作：射線0A（如圖）。

o

最終再看線段，直線上任意兩點間日勺部分叫做線段。具有一定長度的

拉直了日勺細(xì)繩，可看作線段日勺實際例子。線段是有長短的，因此可以進(jìn)行

度量。

線段一般用表達(dá)它日勺兩個端點日勺大寫字母來表達(dá)。例如，線段AB,

或者線段BA。也可以用一種小寫字母表達(dá)。例如，線段a（如下圖）。

在連結(jié)兩點日勺所有線中，線段最短。這就是線段日勺基本性質(zhì)。

282.什么叫做“角”？

幾何中所指日勺“角”日勺定義是：從一點畫出日勺兩條射線所構(gòu)成日勺圖形,

叫做“角”。這里所說的點（即兩條射線的端點），叫做角的“頂點”，

構(gòu)成角日勺兩條射線，叫做角日勺“邊”。

角日勺大小與兩邊日勺長短無關(guān)，只與角兩邊日勺互相位置關(guān)系有關(guān)。這一

點，在初課時很輕易混淆，必須引起注意。

角用符號“N”來表達(dá)。

如:

從圖2中可以看到：角也可以看作由一條射線繞著它日勺端點旋轉(zhuǎn)而成

一種角一般有如下三種表達(dá)措施:

(1)用“N”與三個大寫字母表達(dá)角。

如:

圖3中日勺角記作:ZAOB；

圖4中日勺角記作:ZBOC,ZAOB,ZAOCo

(2)用“N”與一種大寫字母表達(dá)角。

這里所指日勺一種大寫字母，應(yīng)當(dāng)是角頂上日勺字母。并且這種用一種大

寫字母表達(dá)角的措施，只合用于單個時角。如圖3,用NO來表達(dá)，假如

是具有共同頂點日勺兩個或兩個以上日勺角時，則不能用這種措施來表達(dá)角。

如圖4,假如用NO來表達(dá)，就表述不清究竟NO表達(dá)哪個角。

（3）用“N”與一種小寫希臘字母或一種數(shù)字表達(dá)角。

例如：下圖中的角分別記作：Nl、N2、Na、NB。

283.幾何中的角可分為哪幾種？

（1）周角：一條射線繞著它日勺端點，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到這條

射線回到它日勺本來日勺位置時，就形成了一種周角。

如圖

G------------A

圖中的0A繞它日勺端點0.按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到這條射線又回來

日勺位置，形成了一種周角。一種周角等于360°,一種周角是一種平角的

2倍。

（2）平角：一條射線繞著它日勺端點，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到和本

來位置成為一條直線，這時所成的I角，叫做平角。

如圖

B

0

圖中日勺射線0A繞它的端點0,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到射線0B日勺位

置上（射線0A與射線0B構(gòu)成一條直線），形成一種平角。

一種平角等于180度，記作180°。

（3）優(yōu)角：一種不小于平角又不不小于周角的I角，叫做優(yōu)角。優(yōu)角

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)，但在教學(xué)中常常碰到學(xué)生提出這樣日勺問題:

比周角小又比平角大的角叫什么角？181°的角是什么角等等。

如圖

優(yōu)角不小于180°,不不小于360°o

（4）直角：等于平角二分之一的角，叫做直角。

如圖

直角一般記作“RTN”o直角日勺大小一般用d來表達(dá)，這樣，平角等

于2d,周角等于4d。

（5）鈍角：一種比平角小又比直角大的角叫做鈍角。

如圖

鈍角的度數(shù)不小于90°,不不小于180°。

（6）銳角：不不小于直角的角叫做銳角。

如圖

銳角不不小于90°。

（7）余角：當(dāng)兩個銳角NA0B與NB0C之和等于一種直角NA0C時,

其中一種角NB0C叫做另一種角NA0B的余角。這兩個角叫做互為余角。

如圖

（8）鄰角：當(dāng)兩個角有一種公共日勺頂點，有一條公共的邊，這兩個

角此外兩條邊在公共邊的兩側(cè)，這兩個角叫做互為鄰角。

如圖

圖中日勺0C是NAOC與NCOB的公共邊，NA0C是NC0B時令B角；ZB0C

也是NC0A的鄰角。

（9）補(bǔ)角：兩個角日勺和等于平角，這兩個角叫做互為補(bǔ)角。也就是

說，其中任一種角是另一種角的補(bǔ)角。

如圖

圖中的N1是N2的補(bǔ)角，N2是N1的補(bǔ)角，或者說，N1與N2互

為補(bǔ)角。

（10）對頂角：把一種角日勺兩邊分別向相反方向延長，這兩條延長線

所夾的角，叫做原角時對頂角。

如圖

D、/

0B

圖中日勺NAOD與NBOC、NAOB與NDOC；

兩對頂角是相等日勺。圖中日勺NAOD=NBOC；ZAOB=ZDOC；。

(11)三線八角：

兩條直線被第三條直線所截，所得日勺

八個角，叫做三線八角。

圖中日勺11、12、13和Nl、N2、N3、N4、N5、N6、N7、Z8

就是三線八角。按上述

八個角日勺互相位置，給如下列不一樣名稱：

①同位角：當(dāng)形成三線八角時，假如有兩個角分別在兩條直線日勺同一

方，并且在第三條直線的同一旁，這樣日勺一對角，叫做同位角。

如圖中的N1與N5、N2與N6、N4與N8、N3與N7都是同位角。

②內(nèi)錯角：假如兩個角都在兩直線的內(nèi)側(cè)，并且在第三條直線日勺兩側(cè),

那么這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

圖中日勺N6與/6、N4與N5都是內(nèi)錯角。

③外錯角：假如兩個角都在兩直線日勺外側(cè)，并且在第三條直線日勺兩側(cè),

那么這樣日勺一對角叫做外錯角。

圖中的/I與N8、N2與N7都是外錯角。

④同旁內(nèi)角：假如有兩個角都在兩條直線日勺內(nèi)側(cè)，并且在第三條直線

的同旁，那么這樣日勺一對角，叫做同旁內(nèi)角。

圖中日勺N3與/5、N4與N6都是同旁內(nèi)角。

⑤同旁外角：假如有兩個角都在兩條直線日勺外側(cè)，并且在第三條直線

的同旁，那么這樣的一對角，叫做同旁外角。

圖中日勺N1與N7、N2與N8都是同旁外角。

284.垂直和垂線有什么不一樣？

垂直和垂線是兩個不一樣日勺概念。垂直日勺含義是：兩條直線相交成直

角，這兩條直線叫做互相垂直。

A

C----3----D

B

圖中日勺直線AB與直線CD相交于0,并且它們所成日勺角等于90°,因

此，直線AB與CD互相垂直。

在兩條互相垂直日勺直線中，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。它

們?nèi)丈捉稽c叫做垂足。

垂直一般用符號“，”來表達(dá)。如圖中日勺AB垂直于CD,可記作AB

±CD,讀作AB垂直于CD。有時為了把垂足也表達(dá)出來，也可以寫作AB

J_CD于0,讀作：AB垂直于CD于0點。

垂線還具有如下兩個性質(zhì)：

(1)通過一點且只有一條直線垂直于已知直線；

(2)從直線外一點到這條線上日勺各點所連結(jié)日勺線段中，和這條直線

垂直的I線段最短。

畫垂線時日勺要點是什么？

一般畫垂線所借助的工具有兩種：一種是借助“三角板”畫垂線；另

一種是借助“直尺、圓規(guī)”來畫垂線。

用三角板畫一條直線的垂線，一般所給日勺條件有兩種：

(1)過直線外一點畫這條直線的垂線。

（2）過直線上日勺一點畫這條直線口勺垂線。

如圖:

例如：已知點P是直線AB外日勺一點,用三角板過P點作P0垂直于

ABo

如圖①，把三角板一條直角邊靠在直線AB上（即把三角板的一條直

角邊與直線AB重疊），并沿AB移動，使另一條直角邊靠上P點，固定住

三角板，并用鉛筆沿著這另一條直角邊畫一條直線P0,直線P0與直線AB

交于0點，這樣，P0就是直線AB日勺垂線。

用一種三角板作垂線時，往往在靠近垂足0點處的一段不輕易作得很

好?？梢圆捎昧硪环N措施，如圖②所示：用兩個三角板，把一種三角板（如

虛線中日勺三角板）先固定住，然后把另一種三角板與它靠緊，再拿去第一

種三角板，固定住第二個三角板，用鉛筆沿著第二個三角板日勺一條邊（靠

上P點的一條邊）畫一條直線P0。這種措施的關(guān)鍵是第二個三角板靠P

點日勺一條邊與直線AB相交，因此，在垂足0處，可以畫得精確些。

又如：已知點P是直線AB上日勺一點，用三角板過P點作PC垂直于直

線AB。

如圖:

如圖①，把三角板日勺一條直角邊靠在直線AB上，沿著AB移動，使另

一條直角邊靠上P點(即直角頂點靠上P點)時，把三角板固定，并且用

鉛筆沿這另一條直角邊畫一條直線PC與直線AB相交于P點，則PC是AB

的I垂線。

與上例相似，也可以按圖②所示，用兩個三角板，當(dāng)?shù)谝环N三角板日勺

一條直角邊靠在直線AB上，沿AB移動到另一條直角邊靠上P點時，固定

住三角板，把第二個三角板的一條邊與它靠緊，然后拿掉第一種三角板，

用鉛筆沿第二個三角板靠P點日勺一邊畫一條直線PC,則PC是AB日勺垂線。

用直尺和圓規(guī)畫一條直線的垂線時，一般有兩種狀況：

(1)過直線AB外的一點P作AB的垂線。

(2)過直線AB上的一點P作AB的垂線。

如圖:

圖①圖②

如圖①,以P為圓心，以不小于P到AB的距離為半徑作弧，交AB

于E、

F,再分別以E、F為圓心，以大于（EF為半徑作弧交于D,過P、D作直線

PD,PD交AB于0,則PD是AB的垂線，垂足為0。

如圖②，以P點為圓心，以任一長為半徑作弧交AB于E、F；以E、

F為圓心，以大于：EF長為半徑，作弧交于C點，連結(jié)CP,則CP是AB

日勺垂線，垂足為P。

285.平行與平行線有什么關(guān)系？

平行與平行線是兩個不一樣的概念，它們之間又有著內(nèi)在日勺聯(lián)絡(luò)。

平行的概念是指直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)

系。當(dāng)線與線、線與面、面與面平行時，其共同特點是沒有公共點。但一

組直線平行，除了直線之間沒有公共點之外，這組直線必然在同一種平面

上。一般用表達(dá)平行。

平行線日勺概念是指在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線，叫做平行線。

如圖：

AB

CD

直線AB與CD,無論怎樣把它們向兩方無限地延長出去，這兩條直線

是永遠(yuǎn)不會相交日勺。類似這樣日勺兩條直線，就是平行線。

可記作AB/7CD,讀作AB平行于CD。

平行線具有如下幾種性質(zhì)：

（1）通過直線外一點，且只有一條直線平行于這條直線。

（2）在同一平面內(nèi)，假如兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩

條直線平行。

（3）兩條平行線被第三條直線所截，它們?nèi)丈淄唤窍嗟取?/p>

（4）兩條平行線被第三條直線所截，它們的內(nèi)錯角相等。

（5）兩條平行線被第三條直線所截，它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

（6）假如一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也垂直于平

行線中的另一條。

根據(jù)上述平行線日勺性質(zhì)，可以對兩條直線與否為平行線進(jìn)行鑒定。

286.畫平行線時的要點是什么？

畫平行線時，一般借助日勺工具是直尺和三角板。其畫法日勺要點是：先

把三角板靠在直尺上（如下圖）。

把三角板順著直尺滑動，沿著三角板的其他一邊，在滑動的不一樣位

置上作兩條直線（如圖中AB和CD）,這兩條直線就是平行線。

一般狀況下，需要通過直線外一點，作已知直線日勺平行線。其畫法日勺

要點是：先把三角板日勺一條邊靠在直線上（如圖）：

三角板所靠的直線為AB,再把直尺貼在三角板的另一邊上，然后再

把直尺與三角板一起沿著直線AB移動，使直尺邊靠在點P上，這時，固

定住直尺，把三角板沿著直尺推到與原直線AB靠在一起日勺一邊的點P上，

最終用鉛筆在這條邊上畫一條直線CD,這樣，直線CD過P點，并且與直

線AB平行。

287.長方形、正方形、菱形都是平行四邊形嗎？

回答這個問題，首先明確一下平行四邊形日勺意義及其性質(zhì)，才能對此

做出肯定或否認(rèn)日勺鑒定。

平行四邊形日勺意義是：平面上兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行

四邊形。

平行四邊形用符號來表示。如下圖：

口D___________C

根據(jù)平行四邊形的意義，圖中四邊形ABCD的兩組對邊AB〃CD；AD

//BC,因此，四邊形ABCD是

平行四邊形。平行四邊形ABCD記作。ABCD。在標(biāo)記平行四邊形的四

個頂點時，要用大寫字母依次次序標(biāo)出。

平行四邊形的性質(zhì)是鑒定平行四邊形的重要根據(jù)。這些性質(zhì)有:

(1)對邊相等。即：AB=CD,AD=BCo

(2)鄰角互補(bǔ)。即:

ZA+ZB=ZB+ZC=180°。

(3)對角相等。即：ZA=ZC；ZB=ZDo

(4)對角線互相平分。即:AO=OC；BO=ODo

根據(jù)上述意義和性質(zhì)，可以對問題做出鑒定:

長方形兩組對邊分別平行，符合平行四邊形日勺意義，也具有其性質(zhì)，

因此，長方形也屬于平行四邊形。同步，長方形日勺四個角都是直角。

正方形自身就是特殊日勺長方形，除了四條邊都相等外，具有了長方形

日勺一切特性，因此，正方形也屬于平行四邊形。

菱形的四條邊也相等，也具有了平行四邊形日勺意義和性質(zhì)，因此，

也屬于平行四邊形。

一般狀況下，為了突出自身日勺特性，上述三種圖形分別叫它們?yōu)殚L方

形、正方形和菱形，從實質(zhì)上劃分，也可以說它們都是特殊的平行四邊形。

288.三角形應(yīng)當(dāng)怎樣分類？

由于三角形是由不在同一直線上的三條線段所圍成的封閉圖形，因

此，三角形必有三條邊和三個角。三角形一般用符號來表達(dá)。

三角形日勺分類措施，一般是按“角”和“邊”來劃分日勺，角是根據(jù)內(nèi)

角日勺大小，邊是根據(jù)邊的長短。按內(nèi)角大小來劃分，可分為三類：

（1）銳角三角形：每個角都是銳角（不不小于90°）日勺三角形，叫

做銳角三角形。左圖中日勺三角形日勺三個角都是銳角，因此，AABC是銳角

三角形。

c

B

（2）直角三角形：有一種內(nèi)角是直角日勺三角形，叫做直角三角形。

左圖中AABC的內(nèi)角A是直角，因此，這個三角形是直角三角形。

（3）鈍角三角形：有一種內(nèi)角是鈍角的三角形，叫做鈍角三角形。

左圖中AABC的內(nèi)角A是鈍角，因此，這個三角形是鈍角三角形。

鈍角三角形與銳角三角形日勺合稱，叫做斜三角形。

假如按三角形的邊日勺長短來劃分，也可分為三類：

B

/

（1）不等邊三角形：三條邊互不相等日勺三角形，叫做不等邊三角形。

左圖中AABC日勺三條邊互不相等，因此，這個三角形是不等邊三角形。

B

A

（2）等邊三角形：三條邊都相等日勺三角形，叫做等邊三角形。左圖

中日勺AABC三條邊都相等，因此，這個三角形是等邊三角形。

B

（3）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形。左圖

中時ZSABC日勺兩條邊是相等的，即AB=BC,因此，這個三角形是等腰三角

形。

由于等邊三角形ABC中，AB=BC=AC,任選兩邊都相等，符合等腰三角

形日勺條件，因此，等邊三角形也是等腰三角形。

上述三角形分類狀況如下圖所示：

斜三角形任累囂

按角分,［鈍角二角形

［直角三角形

不等邊三角形

按邊分戶要和底不等的等腰三角形

［寺股二用形I腰和底相等的等邊三角形

289.什么叫做“勾股定理”？

勾股定理是有關(guān)直角三角形邊與邊之間日勺關(guān)系的定理，即：在直角三

角形中，兩條直角邊日勺平方和等于斜邊日勺平方。

假如把一種直角三角形日勺兩條直角邊分別記為a、b,把斜邊記為c,

那么它們之間的關(guān)系式是：

a2+?b12=c2

在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。

如圖：

C

力股A力:

幻3B

一般都把直角三角形中，短的一條直角邊叫做“勾”，長日勺一條直角

邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。因此，我國古代把邊與邊關(guān)系所形成日勺

定理，叫做勾股定理（如圖1）。

圖（2）中日勺直角三角形ABC中，勾AB=3,股BC=4,弦AC=5。按照

勾股定理，所揭示三條邊日勺關(guān)系為：

32+42=52

這就是我國最古日勺算書《周髀算經(jīng)》（約成書于公元前一世紀(jì)左右）

一開始就指出日勺：“勾三、股四、弦五”。這是直角三角形日勺三條邊長都

是整數(shù)時日勺例證。

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（公元前572年一公元前497年）證明了這

個定理。因此在國外，常把這個定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理。

290.怎樣推導(dǎo)三角形的面積公式？

在認(rèn)識三角形特性日勺基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出三角形日勺面積公式，既是教學(xué)日勺

自然發(fā)展，也是教學(xué)的重點。推導(dǎo)三角形日勺面積公式，一般有如下三種措

施：

（1）將兩個全等的直角三角形轉(zhuǎn)化成長方形:

采用這種措施，可讓學(xué)生動手實踐，先準(zhǔn)備一張長方形紙，事先量出

它日勺長和寬，并計算出面積。在課堂上，用剪刀沿長方形日勺對角線剪開,

形成兩個全等的直角三角形。

如圖:

寬5厘米

通過剪完后日勺觀測，啟發(fā)學(xué)生找出長方形日勺長相稱于三角形日勺底，長

方形日勺寬相稱于三角形日勺高，而長方形面積則等于兩個三角形日勺面積。由

此推導(dǎo)出公式：

長方形面積=長乂寬

II

三角形面積=底乂高+2

同理，也可以將兩個全等日勺等腰三角形轉(zhuǎn)化成正方形進(jìn)行推導(dǎo)。

（2）將兩個全等的銳角三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形：

這是一種一般的推導(dǎo)三角形面積的措施。先剪出兩個全等日勺銳角三角

形，將這兩個三角形一正一反地構(gòu)成平行四邊形。然后對照進(jìn)行推導(dǎo)。

如圖:

轉(zhuǎn)化成平行四邊形后，可以觀測到：平行四邊形的底與三角形的底同

樣，平行四邊形的高與三角形日勺高也同樣，由于平行四邊形是兩個全等三

角形構(gòu)成，因此，平行四邊形面積等于兩個三角形面積。由此可推導(dǎo)出公

式：

平行四邊形面積=底乂高

II

三角形面積=底乂高+2

也可以將兩個全等的銳角三角形轉(zhuǎn)化成長方形進(jìn)行推導(dǎo)。

如圖:

由圖中看到：長方形的長和寬所對應(yīng)的是三角形的底和高，長方形面

積相稱于兩個全等三角形面積。其公式推導(dǎo)同（1）。

（3）將一種三角形轉(zhuǎn)化成長方形:

把一個三角形的底邊各9處，向上畫一線，線的終端與三角形的上角的

頂點處在同一水平線上，通過割、補(bǔ)即可將這個三角形轉(zhuǎn)化成長方形。

如圖：

福

這種圖形割補(bǔ)日勺演示措施，也可以讓學(xué)生動手實踐進(jìn)行剪拼。

從圖形割補(bǔ)可觀測到：三角形轉(zhuǎn)化為長方形后，面積大小沒有任何變

化，長方形日勺長相稱于三角形日勺高，長方形的寬相稱于三角形底的二分之

一(已割去

兩個I還剩下()。至此，用長方形面積公式即可推導(dǎo)出三角形的面積。

長方形面積=長X寬

II

三角形高三角形底日勺二分之一

三角形面積=高X底+2

運用互換律得：底x高+2

291.三角形的中線、三角形的中位線以及三角形的高線有什么區(qū)別？

這是三個完全不一樣日勺概念。三角形的中線是指：連結(jié)三角形日勺一種

頂點和這個頂點對邊日勺中點的一條線段，叫做三角形日勺一條中線。

下圖中，D是BC的中點，AD則是AABC的中線。

由于三角形有三個角，也必然有三個頂點，每個頂點都可以與這個頂

點對邊日勺中點連結(jié)成一條線段，因此，每個三角形有三條中線。

三角形日勺中位線是指：三角形兩邊中點的連線，叫做三角形的一條中

位線。

左圖中，D、E分別是三角形ABC日勺邊AB、AC日勺中點，在D與E之間

作一連線，則DE是4ABC的一條中位線。

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的二分之一。同理，

三角形有三條中位線。

三角形日勺高線是指：從三角形的一種頂點到它日勺對邊所在日勺直線作垂

線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形日勺高線。簡稱三角形的高。

左圖中，ADLBC于D,線段AD是AABC的一條高線。同理，三角形

中有三條高線。應(yīng)當(dāng)注意日勺是：

（1）直角三角形中，有兩條高線與直角邊重疊。

（2）鈍角三角形中，有兩條高線在三角形之外。如圖中的鈍角三角

形ABC,的一種內(nèi)角NC是鈍角，則AD是BC邊上的高線，BE是AC邊上

日勺高線。但它們分別與AC、BC日勺延長線相交于三角形ABC日勺形外。

292.四邊形應(yīng)當(dāng)怎樣分類？

由四條線段圍成的封閉圖形叫做四邊形。假如沒有一組對邊平行日勺四

邊形，就叫做任意四邊形。

在小學(xué)中所波及的四邊形，都是凸的四邊形，即：假如延長四邊形日勺

任何一邊，而整個四邊形都在這邊延長線日勺同旁，那么這樣日勺四邊形就叫

做凸四邊形。

四邊形在教材中包括如下八種（如下圖）：

從上圖中可以看到這些都屬于四邊形的范圍之內(nèi)，但各自日勺名稱不相

似。1是任意四邊形；2是平行四邊形；3是長方形；4是正方形；5是菱

形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。

假如把上面圖形歸類概括，則四邊形可做如下分類:

任意四邊形

［長方形

平行四邊形（正方形

四邊形《

|菱形

直角梯形

悌形

等腰梯形

293.怎樣認(rèn)識三角形的三個內(nèi)角和是180°?

三角形日勺三個內(nèi)角和是180°,這是三角形內(nèi)角和日勺性質(zhì)。在幾何初

步知識的教學(xué)中，這是一種重要日勺內(nèi)容。要通過量一量、折一折、想一想

和算一算等實踐活動，讓學(xué)生在掌握內(nèi)容的同步，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生日勺推理

判斷能力。

教學(xué)前，先布置課前作業(yè)，規(guī)定每個學(xué)生剪出六個三角形，即：按角

分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形；按邊分有等邊三角形、不等

邊三角形和等腰三角。形固定，但數(shù)據(jù)不做統(tǒng)一規(guī)定，這樣剪出來日勺三角

形是大小不一日勺。

教師談話后，先讓學(xué)生量一量。如：拿出一種直角三角形，讓學(xué)生量

出此外一種角的度數(shù)，并報出來，教師立即報出第三個角日勺度數(shù)，然后讓

學(xué)生進(jìn)行測量核算（用量角器）。如此反復(fù)多次，就可以激起學(xué)習(xí)日勺愛好

和教學(xué)中日勺懸念。在此基礎(chǔ)上，全體學(xué)生一起動手測量自制日勺六個三角形

三個內(nèi)角日勺度數(shù)，并把它們加起來，初步明確：無論是什么樣日勺三角形，

也無論它日勺邊是多長和多短，它們內(nèi)角和都是180°。

接著，讓學(xué)生折一折，以豐富學(xué)生日勺感性認(rèn)識。

措施（1）把三角形日勺三個內(nèi)角沿虛線折過去，使其構(gòu)成一種平角，

證明三個內(nèi)角和為180°o

如圖：

措施（2）先畫出一種平角，再將手中日勺一種三角形的三個角撕下來,

拼在平角上，使三個角恰好構(gòu)成一種平角，深入證明三角形三個內(nèi)角和是

180°o

措施(3)把一種正方形沿對角線折成兩個三角形，由于正方形四個

角都是直角(90°),它的內(nèi)角和是360°,因此一種三角形的內(nèi)角和是

180°o

從以上日勺實踐活動，再通過想一想，上升為理性認(rèn)識，從而形成概念,

這是一種抽象概括、歸納總結(jié)的過程。想日勺過程要通過語言的表述進(jìn)行檢

查。

最終運用練一練的形式，以到達(dá)鞏固概念、運用概念的目的。練習(xí)內(nèi)

容要分基本型和發(fā)展型兩類。

如：基本型

①求出下面每個三角形中未知角的度數(shù)。

②已知三角形中N1是45°,N2是60°,N3是多少度？發(fā)展型:

①三角形中N是62°,N2是29°,這

是一種什么三角形？

②三角形的三個內(nèi)角和是180°,假如切去一種角，剩余圖形的內(nèi)角

和是多少度？

294.梯形怎樣分類？

梯形日勺定義是：只有一組對邊平行日勺四邊形，叫做梯形。梯形可分為

一般梯形、直角梯形和等腰梯形三類：

（1）一般梯形：

梯形的各部分名稱是這樣的：互相平行的兩條邊，叫做梯形的底，一

般上面日勺一條邊稱作上底；下面的一條邊稱作下底，不平行日勺兩條邊稱作

腰。

梯形底邊和腰的夾角,稱作梯形的底角。上底邊和腰口勺夾角，稱作上

底角；下底邊和腰日勺夾角，稱作下底角。

圖中日勺NA和NB是下底角；NC和ND是上底角。

梯形上、下底之間日勺距離，叫做梯形日勺高。圖中的DELAB,DE是梯

形ABCD的高。

（2）直角梯形：

D____C

AL------AB

只有一腰垂直于底邊日勺梯形，叫做直角梯形。圖中的ADLAB,因此,

梯形ABCD是直角梯形。

（3）等腰梯形：

DC

A三

兩條腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如圖中，AD=BC,因此，梯形ABCD

是一種等腰梯形。等腰梯形還具有如下兩個性質(zhì)：

①等腰梯形日勺上底角相等，下底角也相等。如圖中，ZDAB=ZCBA,

ZADC=ZBCDo

②等腰梯形的對角線相等。如圖中，AC=BDo

295.怎樣進(jìn)行梯形面積公式的推導(dǎo)?

梯形的面積公式是在平行四邊形面積公式日勺基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)日勺。在此

之前，已建立了梯形的概念，因此，在教學(xué)前，可先讓學(xué)生自制兩個全等

梯形。鋪墊性日勺準(zhǔn)備練習(xí)后，拿出4平方厘米的測量板，用數(shù)方格的措施,

算出梯形面積是多少。（梯形面積占滿8個方格，每個方格是4平方厘米,

梯形面積為32平方厘米。）

然后，讓學(xué)生將事前準(zhǔn)備好日勺兩個全等梯形，一正放，一倒放拼在一

起，構(gòu)成一種平行四邊形。提出點拔題：這個平行四邊形日勺底是由梯形日勺

什么構(gòu)成日勺？②怎樣求出平行四邊形日勺面積？③怎樣求出一種梯形的面

積？

如圖:

由此得出：梯形面積=（上底+下底）X高+2o

也可以用一種梯形通過割、拼日勺措施，轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

如圖：

下底上底

通過上圖可以清晰地推導(dǎo)出:

梯形面積=（上底+下底）X高xg

還可以通過對一種梯形日勺割、補(bǔ)，使其轉(zhuǎn)化為三角形，運用求三角形

面積日勺公式，對照觀測，從而推導(dǎo)出求梯形面積日勺公式。

對轉(zhuǎn)化后的圖觀測可知，三角形日勺底為梯形上底加下底日勺和，三角形

時高相稱于本來梯形的高。由此可以推導(dǎo)出梯形面積公式：

三角形面積=底、x2

梯形上底+下宸wS

iI

梯形面積=（上底+下底）X高+2

在此基礎(chǔ)上，抽象成求梯形面積口勺字母公式為:

S=（a+b）Xh4-2o

此時，可安排具有詳細(xì)數(shù)字日勺求梯形面積日勺練習(xí)，以鞏固對公式的運

用。

當(dāng)推導(dǎo)求梯形面積的第二個公式時，可先讓學(xué)生在自制的梯形學(xué)具

上，找出兩腰的中點，畫出中位線，然后把右下角剪下來，拼在右上方,

使梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形。

如圖：

害IJ、補(bǔ)后，梯形已轉(zhuǎn)化成平行四邊形，面積大小未變。梯形的中位線

相稱于平行四邊形的底，梯形日勺高也是平行四邊形的高。

平行四邊形面積=長X寬

梯形中位線梯形高

梯形面積=中位線X高

用字母公式表達(dá)為：S=mXho

第二個公式除轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)外，還可以轉(zhuǎn)化成長方形進(jìn)行推

導(dǎo)。

有了前面日勺推導(dǎo)基礎(chǔ)，這個推導(dǎo)過程，應(yīng)以學(xué)生自己思索為主。

由此也可以推導(dǎo)出梯形面積公式：

V長方形面積=長X寬

悌形手位線嬴高

梯形面積=中位線X高

296.什么叫做“圓”？

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，圓是平面圖形里最終出現(xiàn)的圖形。建立圓日勺概念、

明確圓日勺各部分之間日勺關(guān)系，對于解答圓日勺周長和面積等實際問題，無疑

都是重要日勺前提條件。

圓日勺概念是：當(dāng)一條線段繞著它固定日勺一端（下圖中日勺0點）在平面

上旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一種端點（下圖中日勺A點）所畫成的封閉曲線，叫

做圓。

到了中學(xué)，圓還可以這樣下定義：”平面內(nèi)和一種定點日勺距離等于定

長日勺點日勺軌跡”?；蛘哒f：“平面內(nèi)和一種定點日勺距離等于定長的點日勺集

合?！?/p>

定點叫做圓日勺圓心（圖中的0點）；連接圓心和圖上任意一點日勺線段,

叫做圓的半徑（圖中的0A）；過圓心的弦，叫做圓的直徑（圖中的BC）；

圓所包圍的平面部分，叫做圓面。

其表達(dá)符號為：圓用符號表達(dá)，以0為圓心日勺圓、記作“。0”，

讀作“圓0”；半徑用字母“r”表達(dá)，直徑用字母“d”表達(dá)。

通過對任意半徑和任意直徑的測量，可以發(fā)現(xiàn)：在同一種圓里，所有

的半徑都相等，所有日勺直徑都相等，直徑等于半徑的2倍。

其字母公式為：

d_J

R=7或d=2r。

圓是軸對稱圖形。即：把圓沿著它日勺任意一條直徑對折，直徑兩邊日勺

兩個半圓就完全重疊在一起。通過圓心的任意一條直線（即直徑）都是圓

時對稱軸。

如圖：

圓又是中心對稱圖形，圓心就是它日勺對稱中心。

297.什么叫軸對稱和軸對稱圖形？

軸對稱和軸對稱圖形是兩個有聯(lián)絡(luò)日勺概念。軸對稱是指：對于兩個幾

何圖形，假如連結(jié)他們?nèi)丈讓?yīng)點之間日勺線段均被某一定直線垂直平分，這

樣日勺兩個圖形叫做有關(guān)這一定直線對稱。也就是說，這兩個圖形軸對稱。

這一定直線叫對稱軸。

軸對稱圖形是指：假如一種圖形有關(guān)一定直線日勺對稱圖形和它自身重

疊，這樣的圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做這一圖形的對稱軸。

軸對稱圖形并不僅限于圓，其他象等腰三角形、等邊三角形以及菱形

等，也都是軸對稱圖形。如圖：

如圖中，沿著直線MN對折后，三角形ABC所有重疊到三角形A，B，

Cz上，三角形ABC與三角形AzBzC是軸對稱圖形，直線MN是對稱

軸。

又如右上圖中，四邊形ABCD沿對角線對折后，對角線兩旁的圖形能

所有重疊，因此，四邊形ABCD是以對角線AC為對稱軸日勺軸對稱圖形。

298.什么叫中心對稱和中心對稱圖形？

中心對稱和中心對稱圖形，這也是兩個有聯(lián)絡(luò)的I概念。中心

對稱是指：對于兩個幾何圖形，假如連結(jié)它們的對應(yīng)點之間日勺線段日勺

中點都和某一定點重疊，那么這兩個圖形就叫中心對稱，這一定點，叫做

對稱中心。

中心對稱圖形是指：假如繞著一種定點旋轉(zhuǎn)180°后，兩個圖形中的

每一種可以與另一種本來的位置互相重疊，那么，這個圖形叫做以這個定

點為對稱中心的I中心對稱圖形。

如圖:

圖中日勺三角形A，B，L繞著定點0旋轉(zhuǎn)180°后，與三角形ABC日勺

本來位置互相重疊，因此，三角形ABC與三角形k'BzC是以0點為

對稱中心的I中心對稱圖形。

除此之外，假如一種圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。后，可以和本來圖形

自身位置重疊，就稱這個圖形為中心對稱圖形。這一點叫做對稱中心。

以平行四邊形為例：

AB

圖中日勺四邊形ABCD是平行四邊形，繞著對角線交點0旋轉(zhuǎn)180。后,

可以和本來圖形位置重疊，因此，平行四邊形是以對角線交點0為對稱中

心的中心對稱圖形。

299.什么是弦和弧?

弦和弧是和圓有關(guān)日勺兩個概念，這兩個概念是不能混淆日勺。

弦日勺概念是：對于一種圓，連結(jié)圓上任意兩點日勺線段叫做弦。弦里面

包括直徑，由于通過圓心日勺弦叫做直徑，但弦里面又不限于直徑，由于''連

結(jié)圓上任意兩點日勺線段”并不一定都通過圓心。

如圖：

(1)(2)的圖中，AB是圓0上日勺任意兩點，因此，線段AB是

圓0上的一條弦。所不一樣的是：圖(1)中的這條茲是圓0日勺直徑；圖

(2)中的這條弦則不是。

弧日勺概念是：圓上任意兩點間的部分，叫做圓弧，簡稱弧。一般意義

下，弧即指曲線，或曲線的部分。

弧用符號“八”來表達(dá)，如：以點A、B為端點的弧，記作AB,為了

3-------\

防止混淆，有時也記作AmB。見下圖：

在圖中，以AB為端點的弧，記作AB；以AC為端點的弧，記作AC。

對于同圓（或等圓）的兩段弧，可以加以比較：通過運動，使它們?nèi)丈?/p>

圓心相重疊，兩弧日勺端點也重疊，則說這兩弧是相等日勺。圓日勺任一直徑日勺

兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。如上圖，BC是圓日勺直徑，

以B、C為端點，把圓提成兩個半圓。

對于圓弧，把不不小于半圓的弧，叫做劣弧，把不小于半圓的弧，叫

做優(yōu)弧。

300.圓心角和圓周角同樣嗎？

圓心角與圓周角是兩個完全不一樣日勺概念，前者與圓心有關(guān)，后者與

圓弧有關(guān)。

圓心角是指：分別連結(jié)圓心到圓弧日勺兩個端點所成日勺角，叫做這個圓

弧的圓心角。

在同圓（或等圓）中，假如兩個圓心角相等，則該圓心角所夾日勺弧相

等，所對的弦也相等，所對的弦的弦心距（從圓心到弦的距離）也相等。

如圖:

(1)(2)

圖（1）中，NAOB日勺頂點0即為圓0日勺圓心，因此，NAOB是圓心

角。圖（2）中OCLAB,0C是AB的弦心距。

圓心角日勺度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。圖（1）中，NAOB的度數(shù)

=AB日勺度數(shù)。

圓周角是指：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角。

對于一種圓周角，角日勺內(nèi)部必然夾了一段圓弧，一般把圓周角說成是這一

弧上的I圓周角；角的外部也有一段圓弧，有時也把圓周角說成是這一弧所

含的圓周角。

如圖：圓中的NBAC日勺頂點A在圓上，并且角的兩邊AB、AC都與圓

相交，因此，NBAC是圓0的圓周角。

圓周角日勺度數(shù)等于它所對日勺弧日勺度數(shù)的二分之一。如

圖中，ZBAC=|BCO

301.什么是圓和圓的位置關(guān)系？

圓與圓之間有如下五種位置關(guān)系：

（1）外離。

兩個圓沒有公共點，并且每個圓上日勺點都各在另一種日勺外部時，叫做

這兩個圓外離。

圖中兩圓的半徑分別為r、R,圓心距為d,則d>r+R—外離

（其中“一”表達(dá)等價），即當(dāng)d>r+R時，兩圓則外離；反之，當(dāng)兩

圓外離時，則d>r+Ro

（2）外切。

兩個圓有唯一日勺公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上日勺點都

各在另一種圓的外部時，叫做這兩個圓外切。

圖中日勺兩圓半徑分別為r、R,圓心距d,則（1寸+區(qū)外切。

（3）相交。

兩個圓有兩個公共點時，這兩個圓叫做相交。

圖中兩圓半徑分別為r、R,圓心距為d,貝ijR-r<d<R+r(rNr)一

相交。

(4)內(nèi)切。

兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點之外，一種