2023年全國(guó)甲卷高考文科數(shù)學(xué)試題解讀及答案詳解

2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國(guó)甲卷文科）

適用省份

四川、廣西、貴州、西藏

J試卷總評(píng)

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析

等學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維，發(fā)揮出數(shù)學(xué)學(xué)科在

人才選拔中的重要作用。

一、題型與分值分布

題型：（1）單選題12道，每題5分共60分；（2）填空題4道，每題5分共20分；（3）解答題5

道，每題12分共60分；（4）選做題2道，每題10分。

二、題目難度和復(fù)雜度

難度級(jí)別具體試題總分值整體評(píng)價(jià)

★☆☆☆☆第1題、第2題、25分

第4題、第13題、

第15題

★★☆☆☆第3題、第5題、42分

第6題、第14題、整體試卷難度偏

第17題、第22題、易，整體復(fù)雜度

第23題不高，綜合知識(shí)

★★★☆☆第7題、第8題、44分點(diǎn)大多都是2個(gè)

第9題、第10題、左右

第18題、第19題

★★★★☆第11題、第20題、29分

第21題

★★★★★第12題、第16題10分

三、知識(shí)點(diǎn)覆蓋詳細(xì)情況說(shuō)明

知識(shí)點(diǎn)題型題目數(shù)量總分值整體評(píng)價(jià)

集合單選題1個(gè)15分

復(fù)數(shù)單選題1個(gè)15分

平面向量單選題1個(gè)15分

程序框圖單選題1個(gè)15分主干知識(shí)考查

數(shù)列單選題1個(gè)210分全面，題目數(shù)

填空題1個(gè)量設(shè)置均衡；

三角函數(shù)單選題1個(gè)217分與課程標(biāo)準(zhǔn)保

解答題1個(gè)持了一致性。

概率與統(tǒng)計(jì)單選題1個(gè)217分

解答題1個(gè)

立體幾何單選題1個(gè)322分

填空題1個(gè)

解答題1個(gè)

圓錐曲線(xiàn)單選題2個(gè)322分

解答題1個(gè)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單選題2個(gè)427分

填空題1個(gè)

解答題1個(gè)

極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題1個(gè)110分

不等式填空題1個(gè)215分

（線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)

題）

選做題1個(gè)

四、高考試卷命題探究

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在命制情境化試題過(guò)程中，通過(guò)對(duì)閱讀題的分析，可以發(fā)現(xiàn)今年的高考命題在

素材使用方面，對(duì)文字?jǐn)?shù)量加以控制，閱讀理解難度也有所降低；在抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題方面，力圖設(shè)置合理的

思維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問(wèn)題方面，通過(guò)設(shè)置合適的運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算量，力求使情境化試題達(dá)到試題

要求層次與考生認(rèn)知水平的契合與貼切。

一是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境。數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問(wèn)題，貼近學(xué)生實(shí)際，具有現(xiàn)實(shí)意義，

具備研究?jī)r(jià)值。如第4題，取材于學(xué)校文藝活動(dòng)，貼近考生，貼近生活，意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加文藝活動(dòng)，

全面發(fā)展。

二是設(shè)置科學(xué)研究情境?？茖W(xué)研究情境的設(shè)置不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，而且引導(dǎo)考生樹(shù)

立理想信念，熱愛(ài)科學(xué)，為我國(guó)社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)。如第19題，研究臭氧環(huán)境對(duì)小白鼠生長(zhǎng)的

影響，將小白鼠隨機(jī)分配到試驗(yàn)組和對(duì)照組，利用成對(duì)數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。

2

五、高考復(fù)習(xí)建議

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)

用能力，在日常試題訓(xùn)練中應(yīng)合理控制難度，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接，促進(jìn)考

教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無(wú)效的學(xué)習(xí)。針對(duì)高三新一輪的復(fù)習(xí)，主要有以下幾點(diǎn)

建議。

一是突出基礎(chǔ)性要求。高考數(shù)學(xué)試卷在選擇題和填空題部分均設(shè)置多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，全面考查集合、復(fù)數(shù)、

平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何體的體積、直線(xiàn)和圓等內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全方

位覆蓋。同時(shí)，在解答題部分深入考查基礎(chǔ)，集中體現(xiàn)在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理解和融

會(huì)貫通的應(yīng)用。如第5題，全面考查等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，以主干知識(shí)考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能

力。如第13題，全面考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，以主干知識(shí)考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能力。

二是彰顯綜合性要求。如第14題，是函數(shù)、三角函數(shù)的綜合題，深入考查函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的

奇偶性，可通過(guò)函數(shù)、三角函數(shù)奇偶性的定義求解。

三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求。如第12題，將三角函數(shù)的圖像和直線(xiàn)方程相結(jié)合，考查兩者交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，展示

函數(shù)圖象在解決問(wèn)題過(guò)程中的重要作用。

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面貫徹黨的二十大報(bào)告精神，落實(shí)高考內(nèi)容改革的要求，嚴(yán)格依據(jù)高中課程

標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，精選試題情境，加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)

素養(yǎng)，引導(dǎo)全面發(fā)展，助推高中育人方式改革。

例|考情分析

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)

15單選題集合有限集合中，求補(bǔ)集，求并集

25單選題復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

35單選題平面向量平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量的加、減法、數(shù)量積的

坐標(biāo)運(yùn)算，求向量的夾角

45單選題概率古典概率的概率公式，組合問(wèn)題

55單選題等差數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式

65單選題算法與程序框圖程序框圖模擬運(yùn)行

75單選題圓錐曲線(xiàn)橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式

85單選題導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題

95單選題圓錐曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn)的關(guān)系，圓心到直線(xiàn)的

距離及圓半徑，求弦長(zhǎng)

3

105單選題立體幾何證明平面PEC找高，分割體積法求體積

115單選題函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用作差

法比較自變量的大小

125單選題三角函數(shù)與函數(shù)三角函數(shù)平移的性質(zhì)，畫(huà)圖，判斷三角函數(shù)與一

次函數(shù)交點(diǎn)數(shù)量

135填空題等比數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，通項(xiàng)公式

145填空題函數(shù)與三角函數(shù)函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性

155填空題線(xiàn)性規(guī)劃線(xiàn)性規(guī)劃"截距”型最值問(wèn)題

165填空題立體幾何正方體的外接球、球的內(nèi)接正方形

1712解答題三角函數(shù)(1)余弦定理；

(2)面積公式以及恒等變換.

1812解答題立體幾何(1)線(xiàn)面、面面垂直問(wèn)題

(2)體積問(wèn)題

1912解答題概率與統(tǒng)計(jì)(1)直接根據(jù)均值定義求解；

(2)(i)列聯(lián)表；

(ii)獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)

2012解答題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)判斷單調(diào)性：

(2)隱零點(diǎn)問(wèn)題

2112解答題圓錐曲線(xiàn)(1)求拋物線(xiàn)方程

(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，最值問(wèn)題.

2210選做題極坐標(biāo)與參數(shù)方程(1)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義；

(2)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化.

2310選做題不等式(1)解含參的絕對(duì)值不等式，分類(lèi)討論

(2)將絕對(duì)值函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，畫(huà)草圖，根據(jù)

面積列式，求參.

備考指津

1、強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無(wú)效

的學(xué)習(xí)。

2、學(xué)生應(yīng)認(rèn)識(shí)到低效的學(xué)習(xí)方式只會(huì)帶來(lái)無(wú)效的壓力和負(fù)擔(dān)，講究備考復(fù)習(xí)時(shí)效性，不斷鞏固階段性

復(fù)習(xí)成果。

4

3、合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接。

4、不管命題方向趨勢(shì)如何，重視對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和掌握永遠(yuǎn)是最重要的。不論題型、題量、難度如

何，透徹、全面地理解基礎(chǔ)概念，能夠用最基礎(chǔ)、樸素的方式使用基礎(chǔ)概念分析解決問(wèn)題是一切的基礎(chǔ)，

是能做對(duì)所有送分的基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)，是能著手分析難題的基礎(chǔ)，也是未來(lái)學(xué)習(xí)大學(xué)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和高等知識(shí)

的基礎(chǔ)。

5、不管命題方向趨勢(shì)如何，邏輯分析推理能力也是非常重要的?，F(xiàn)在的難題幾乎根本不會(huì)出現(xiàn)非常套

路化、模板化的陳年舊題，總是在想方設(shè)法地推陳出新。就算有舊題型，往往也都是簡(jiǎn)單的題目，不需要

什么特殊的方法也能做出來(lái)。

等5真題解讀

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

一、單選題

1.設(shè)全集。={123,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則77°（加知）=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【命題意圖】

本題考察有限集合中，求補(bǔ)集，求并集，難度：容易

【答案】A

【詳解】因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以={2,3,5},

又％={2,5},所以Nu（Cu"）={2,3,5}

【知識(shí)鏈接】

I、集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖等；

2、集合的類(lèi)型：有限集、無(wú)限集：

3、根據(jù)元素的特征判斷集合所表示的含義；

4、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系及Venn圖.

25（1+。

,（2+i）（2-i）-

A.—1B.1C.1—iD.1+i

【命題意圖】

本題考察復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，難度：容易

【答案】C

5

?、*以f、5(1+尸)5(l-i)

【詳解】_V——Z_=_\_Z=i-i

(2+i)(2-i)5

【知識(shí)鏈接】

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)zi=。+歷,Z2=c+di(a也c,d6R),我們規(guī)定:

zi+z2=(q+0i)+(c+di)=(a+c)+(0+J)i;

Z2-zi=(c+di)?(a+〃i)=(c-〃)+(d-〃)i.

z卜Z2=m+/?i)(c+di)=(qc/刈+(〃0+〃力；

￡1a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad

2222i(c+t/i/O).

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

3.已知向量a=(3,l),b=(2,2),則

1B.叵

A.cD

1717-f-￥

【命題意圖】

本題考察平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量的加、減法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求向量的夾角，難度：較易

【答案】B

【詳解】因?yàn)閍=(3,1),6=(2,2),所以a+0=(5,3),a-6=(l,—l),

則1+*6+32=后，卜/_6卜7171=&,(a+Z?).(a-/?)=5xl+3x(-l)=2,

(a+b).(a-Z?)2___V17

所以cos(a+8,a-〃)

〃+目卜-0-A/34X5/2-17'

【知識(shí)鏈接】

1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=（x，yj，否=&，乂），則a+g=（%+W，y+必），0-^=（^-x2,y,-y2）

外。=（疝1，肛），Hlx；+yj.

2、平面向量的數(shù)量積

（1）定義:已知兩個(gè)非零向量￡與1,它們的夾角為8,則數(shù)量。?方?cos。叫作￡與3的數(shù)量積（或內(nèi)積）,

記作，即a?1=a?3?cos。.規(guī)

定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即。G=o

（2）向量的夾角

①定義:已知兩個(gè)非零向量［和1，如右圖，作殖=［，0B=a.則NAOB=8（0%ewl80。）

--ct'b

cos。=cos<a,b>=1J

叫作「與3的夾角，記作〈靛》.H-H

6

②當(dāng)0=0。時(shí)，［與3同向；當(dāng)8=180。時(shí)，「與否反向；當(dāng)9=90。時(shí)，Z與各垂直

3、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量々=(工］,%)，芯=(工2，%>。為向量〃與3的夾角，則

(1)=|tz|?|^|?cos0=x}x2+yxy2；

(2)COS。=cos<a^b>=r^T=I%也+產(chǎn)

棉M7?后K

4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則

這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為()

【命題意圖】

本題考察古典概率的概率公式，組合問(wèn)題，難度：容易

【答案】D

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C；=6件，其中這2名學(xué)

生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有C；C；=4,

所以這2名學(xué)牛.求自不同年級(jí)的概率為4;=：2.

63

【知識(shí)鏈接】

1、古典概型

具有以下特征的試驗(yàn)叫作古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)占典概型.

⑴有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

2、古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Q包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A

的概率尸依尸

nn(n)

其中,“(4)和〃(。)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

3、概率的性質(zhì)

性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有O<P(A)<1.

性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸(Q)=1,P(0)=O.

性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么尸(AU8)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=l-P(B).

性質(zhì)5:如果AU8,那么尸(A)WP(8),由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件4,因?yàn)?UAUQ,所以gP(A)Wl.

性質(zhì)6:設(shè)A.B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有尸(AUB)=P(A)+P(B)孑(AC8).

4、排列與組合

名稱(chēng)定義

排列烈個(gè)個(gè)號(hào)M并按照一定的順序排成一列，叫作從〃個(gè)元素中取出，〃個(gè)元素的一個(gè)排

取出皿用9)個(gè)兀

7

素歹lj

絹A

作為一組,叫作從〃個(gè)不同元素中取出"7個(gè)元素的一個(gè)組合

①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出皿〃區(qū)〃）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列

數(shù),用符號(hào)A霓表示.

②從“個(gè)不同元素中取出，"（，%〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合

數(shù),用符號(hào)C￡表示.

5.記S,為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若4+4=1。，44=45,則55=（）

A.25B.22C.20D.15

【命題意圖】

本題考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，難度：較易

【答案】C

【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛見(jiàn)｝的公差為d，苜項(xiàng)為4,依題意可得，

/+4=4+4+q+5d=1。，即4+3d=5,又％&=（4+3d）（4+7d）=45,

5x4

解得：d=],a,=2,所以邑=54+-y-xd=5x2+10=20.

【知識(shí)鏈接】

等差數(shù)列的基本問(wèn)題

1.定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，

這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母"表示，定義的表達(dá)式為研-斯=4

2.通項(xiàng)公式:如果等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為0,公差為d,那么通項(xiàng)公式為

推導(dǎo)方法（累加法）:?！?（%-冊(cè)|）+（如一1-斯-2）+…+（42-。1）+。1.

3.等差中項(xiàng):如果aA,b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，且4=孚

4.前〃項(xiàng)和公式為S“=”0+誓d=巴/迎.推導(dǎo)方法:倒序相加法.

5.用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列:（1）m=血+30（類(lèi)似于一次函數(shù)）;（2）5,=，72+弧_9〃（類(lèi)似于常數(shù)項(xiàng)為零的二次

函數(shù)）.

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的8=（）

8

i

?區(qū)1

A.21B.34C.55D.89

【命題意圖】

本題考察程序框圖模擬運(yùn)行，難度：較易

【答案】B

【詳解】當(dāng)左=1時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,3=3+2=5,氏=1+1=2；

當(dāng)k=2時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，4=3+5=8,5=8+5=13,々=2+1=3；

當(dāng)&=3時(shí)，判斷框條件滿(mǎn)足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21,8=21+13=34,火=3+1=4；

當(dāng)％=4時(shí)，判斷框條件不滿(mǎn)足，跳出循環(huán)體，輸出5=34.

【知識(shí)鏈接】

1、程序框圖基本概念：

程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算

法的圖形。

2、構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱(chēng)功能

/\表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

起止框

可少的。

X__________________

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

—

處理框式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框

“是”或“Y”：不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。

9

3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

7.設(shè)耳,工為桶圓c：5+y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在c上，若尸耳?尸片=0,則|尸/訃忸瑪|=()

A.1B.2C.4D.5

【命題意圖】

本題考察橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式，求出△PZ瑪?shù)拿娣e，難度：一般

【答案】B

【詳解】方法一：因?yàn)槭瑐€(gè)尸g=0,所以%=90,

從而S小=〃tan45=i=^x\PFt\-\PF2\,所以歸/訃歸周=2.

方法二：

2

因?yàn)镻%PE=0,所以NFqg=90,由橢圓方程可知，C=5-1=4^C=2,

所以「耳『+|尸周2=山鳥(niǎo)「=42=]6,又歸川+|尸段=2"=2百，平方得：

歸用2+|也『+2歸用戶(hù)用=16+2歸用歸周=20,所以仍用忖閭=2.

【知識(shí)鏈接】

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定

理和余弦定理.

22

在以橢圓0+匚=1(。乂＞0)上一點(diǎn)P(xo,y))(y/O)和焦點(diǎn)B(-c,0),B(c,0)為頂點(diǎn)的△尸中，若則

a2b2

10

(l)|PB|=a+exo,|P危|=止"。((焦半徑公式,e為橢圓的離心率)JPQI+-人1=2。；

(2)4C2=|PFI|2+|PF2|2-2|PFI|-|PF2|'COS(9;

1n

(3)與「&七=初川『川sin相c|泗匚夕ta%當(dāng)|如|=4即P為短軸端點(diǎn)時(shí)5Ap&Fz取得最大值最大值為be;

(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

1

3、中線(xiàn)的向量公式：若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)Q為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則而=-(6?+而).

2

8.曲線(xiàn)y=M在點(diǎn)(I，])處的切線(xiàn)方程為()

A.y=—xB.y=—xC.=-x+—D.y=-x+—

■424424

【命題意圖】

本題考察導(dǎo)數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題，難度：一般

【答案】C

【詳解】設(shè)曲線(xiàn)y=三在點(diǎn)]總處的切線(xiàn)方程為=

AvvX

e,e(x+l)-eXQ,eeez

因?yàn)閥=j，所以y=(爾所以上=yIE=5所以X_|

x+l(x+l)(x+1)424

所以曲線(xiàn)》=工在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y=[x+；.

x+1<2J44

【知識(shí)鏈接】

求解過(guò)曲線(xiàn)外某點(diǎn)處的切線(xiàn)問(wèn)題的步驟

第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)PUi/xi)).

第二步:寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P'(x就M))的切線(xiàn)方程y^xi)=f(A-i)(.r-xi).

第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(私阿代入切線(xiàn)方程求出XL

第四步將.0的值代入方程月3)=F(M>(XR),可得過(guò)點(diǎn)P(xo,yo)的切線(xiàn)方程.

9.已知雙曲線(xiàn)￡-[=1(。>0/>0)的離心率為不，其中一條漸近線(xiàn)與圓(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩

a-b-

點(diǎn)，則|AB|=()

A.正B.孚「3石

L(-----口?竽

55

【命題意圖】

本題考察雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn)的關(guān)系，圓心到直線(xiàn)的距離及圓半徑，求弦長(zhǎng)，難度：一般

【答案】D

11

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，再由圓心到直線(xiàn)的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

【詳解】由e=5則4=之生=1+與=5,解得2=2,所以雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)不妨取y=2x,則圓

a~a-a

心(2,3)到漸近線(xiàn)的距離d=I2231

Vf?+"l=—5,

所以弦長(zhǎng)IAB|=2J以-相=2

【知識(shí)鏈接】

1、圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+=,(r>0)圓心:（a力），半徑:「

2

一般x+)?+Dx+Ey+F=0,圓心

方程即(x+：)2+(y+：)二口+：-竺(p2+E2_4F>0)半徑）D2+E2-4F

2、直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)

弦心距狀弦長(zhǎng)/的一半?及圓的半徑，?構(gòu)成一直角三角形.且有百解+（粉二

3、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

x2y2

標(biāo)準(zhǔn)方程---^1(^0,Z?0)l(a>0,b>0)

y\

圖形

瓦-

范圍迂a或RRj-W-a或)2“

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)4(-4,0)工2(“,0)Ai(O,-a)A(OM

ba

漸近線(xiàn)V=V-V=v

性

質(zhì)離心率,ed(l,+oo)，其中c=7dl+爐

線(xiàn)段44叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)軸,它的長(zhǎng)1441=2a;線(xiàn)段BR叫作雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)網(wǎng)員|=

軸

2b.a叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)力叫作雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)

a,h,c

/=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

的關(guān)系

10.在三棱錐P-A8C中，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=6，則該棱錐的體積為（）

A.1B.GC.2D.3

【命題意圖】

本題考察證明AB1平面PEC找高，分割體積法求體積，難度：一般

【答案】A

【詳解】取AB中點(diǎn)E,連接PECE,如圖，

12

IABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,

:.PE1AB,CE1AB,又PE,CEu平面PEC,PE'CE=E,

.?.A3工平面PEC,

XP￡=CE=2x—=>/3,PC=?,

2

故PC2=PE2+CE2,即PEICE,

所以V=%-PEC+匕-PEC=gs△.￡C.AB=gxgxGxGx2=l

【知識(shí)鏈接】

一、直線(xiàn)與平面垂直

1.定義:如果直線(xiàn)/與平面a內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，那么直線(xiàn)/與平面a垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判a,bua,

定一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直

定aPlb=0,011a

理線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直11a,

11bJ

性

質(zhì)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平

定a1a,j

=a"b

理行blaJ

二、柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積和體積

幾何體表面積體枳

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=5然+2s底V=S^h

錐體（棱錐和圓錐）S衣面枳=S側(cè)+S底v=gs底h

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面枳=St*+S?+S卜一V=1(SI.+5T+JS}S下吊

球4nR23

5=V=_3-n/?

11.已知函數(shù)f(x)=e-"".記+,b=f+,c=f乎，貝?。?)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

13

【命題意圖】

本題考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用作差法比較自變量的大小，難度：較難

【答案】A

【詳解】令g(X)=-(X-1)2,則g(x)開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為X=l,

因?yàn)槟暌唬?1一與=‘Ifo(V6+>/3)2-42=9+6\/2-16=6^-7>0,

而I'J61fi"+64y[6道

所以--1-1---=------------二>()，EP-——1>1--

212yl2222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(乎)<g(乎)，因?yàn)楹蹰?一產(chǎn)彳,而

（遙+⑸-4?=8+46-16=4百-8=4（百-2）<0,

即日一1<1一堂，所以g(日)>g(*),

綜上，g冷<g冷<g(當(dāng)，又丫=6”為增函數(shù)，故a<c<b

即人>c>a.

【知識(shí)鏈接】

1、比較大小的常用方法

(1)作差法:①作差;②變形;③定號(hào);④得出結(jié)論.

(2)作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=a”（a>0,且存1）

a>\0<?<1

圖象在x軸上方，過(guò)定點(diǎn)(0,1)

特征二x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上為,二上逐漸增大時(shí),圖象逐漸下作

定義域R

值域(0,+oo)

2單調(diào)性

單調(diào)遞增單調(diào)遞減

飛X=0時(shí)，y=\

函數(shù)值變

當(dāng)x<0吐0勺<1;當(dāng)x<0時(shí),y>I;

化規(guī)律當(dāng)x>0時(shí),y>l|當(dāng)*>0時(shí),0<y<l

12.函數(shù))，=〃x)的圖象由y=cos(2x+向的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則y=/(x)的圖象與直線(xiàn)

14

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【命題意圖】

本題考察三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/(x)=-sin2x,再作出"(x)與y=的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)

處/(x)與丫=3*-3的大小關(guān)系，從而精確圖像，難度：困難

【答案】C

【詳解】因?yàn)檠?3(21+e)向左平移2個(gè)單位所得函數(shù)為尸3J兀[九-n].小

2x+—+—=cos2x+—=-sm2x,

I6J6I2)

所以/(x)=-sin2x,

【知識(shí)鏈接】

函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin?x+(p)(A>0,(o>0)的圖象的步驟如下:

15

二、填空題

13.記S“為等比數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和.若8s6=7邑，則｛q｝的公比為.

【命題意圖】

本題考察等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，先分析gxl,再由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可

求出公比難度：較易

【答案】

【詳解】若4=1,貝岫8&=753得8,6q=7-3q,則q=0,不合題意.

所以4=1.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?s6=7S?,所以8.也二=

\-q\-q

即=即8.(1+/乂1一/)=7《—山),Bp8.[1+^)=7,解得g=_g.

【知識(shí)鏈接】

1、等比數(shù)列的有關(guān)概念

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列.這個(gè)常

數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q(q，O)表示，定義的表達(dá)式為陋1nqg#)).

an

2、等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1).通項(xiàng)公式

(2).前n項(xiàng)和公式:Sn』a“i：3):

aaq

(1-q一

i-q

14.若f(x)=(x-l)2+ar+sin(x+])為偶函數(shù)，則°=

【命題意圖】

本題考察函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性，難度：容易

【答案】2

【詳解】y=x?+(a-2)x+l+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

16

根據(jù)偶+偶=偶，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)y=cosx為偶，所以二次函數(shù)丁=/+1一2卜+1為偶

所以a-2=0=a=2

【知識(shí)鏈接】

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

俚米知如果對(duì)于函數(shù)7U)的定義域內(nèi)任意一個(gè)為都有關(guān)于y軸

倘國(guó)雙大㈤成行，那么函數(shù).小0就叫作偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)

今求知如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)為都有關(guān)于原點(diǎn)

旬出數(shù)人7)=次》，那么函數(shù)4r)就叫作奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)

2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1處)為奇函數(shù)=/)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)於)為偶函數(shù)=/U)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng).

⑵如果函數(shù)心)是偶函數(shù)那么段)=加1).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類(lèi)型，即/U)=O,xGR其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

(6)設(shè)人外名⑷的定義域分別是。那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇，

奇乂奇=偶,偶+偶=偶,偶、偶=偶,奇、偶=奇.

(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇.一偶則偶二

提醒:①(6)中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.

②判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分別對(duì)每段函數(shù)證明次㈤與汽x)的關(guān)系，只有當(dāng)各段上的內(nèi)都滿(mǎn)足相同關(guān)系時(shí)，才

能判斷其奇偶性.

3x-2y43,

15.若x,y滿(mǎn)足約束條件,-2x+3yW3,貝Uz=3x+2y的最大值為.

x+y>\,

【命題意圖】

本題考察線(xiàn)性規(guī)劃“截距”型問(wèn)題，由約束條件作出可行域，求目標(biāo)函數(shù)最值，難度：容易

【答案】15

【詳解】作出可行域，如圖，/

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最大值，寸\3/

227、\ZX+3E

(+尸1

17

f-2x+3y=3fx=3

由?！鉗可得」,即A（3,3）,

[3x-2y=3[y=3

所以Za=3x3+2x3=15.

【知識(shí)鏈接】

1、線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：

法一：取點(diǎn)定域法：

由于直線(xiàn)Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入士+By+C后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)

際判斷時(shí)，往往只需在直線(xiàn)某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（后,%）（如原點(diǎn)），由-+8%+。的正負(fù)即可判斷出

Ax+By+C>0（或<0）表示直線(xiàn)哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線(xiàn)定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).

法二：根據(jù)Ax+5y+C>0（或<0）,觀察B的符號(hào)與不等式開(kāi)口的符號(hào)，若同號(hào)，Ax+By+C>0（或

<0）表示直線(xiàn)上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線(xiàn)上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共

部分.

⑶利用線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z=Ar+By（A,B為常數(shù)）的最值：

法一：角點(diǎn)法：

如果目標(biāo)函數(shù)z=Ax+為（X、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該

公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)Z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)

函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值

法二：畫(huà)——移——定——求：

第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域；第二步，作直線(xiàn)4：矽=0,平移直線(xiàn)（據(jù)可行域，將

直線(xiàn)4）平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解（x,y）；笫四步，將最優(yōu)解（x,y）代入目標(biāo)函數(shù)

z=Ax+8量即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

Azz

利用Z的幾何意義：y=-]X+1,五為直線(xiàn)的縱截距.

①若B>0,則使目標(biāo)函數(shù)z=Ax+為所表示直線(xiàn)的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最大值，使直線(xiàn)的縱截距

最小的角點(diǎn)處，z取得最小值；

②若8<0,則使目標(biāo)函數(shù)z=A