高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的奇偶性

第2.4章函數(shù)的概念與性質(zhì)

2.4.6函數(shù)的奇偶性

課程要求心中有敷

1掌握函數(shù)奇偶性的概念及其性質(zhì)；

高中要求

2掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.

11基石田知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)，■立完整知識(shí)體系

1函數(shù)奇偶性的概念

（1）一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果v%e/,都有一xe/,且/（—%）=f（x）,那么函數(shù)f（x）就叫做偶

函數(shù).

（2）一般地，設(shè)函數(shù)/（久）的定義域?yàn)?,如果\/久€/,都有一x€/,且f（—x）=—f（x）,那么函數(shù)/（x）就叫做

奇函數(shù).

由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域/是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.

注①?gòu)亩x可知，若%是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則-％也必然在該定義域中.故判斷函數(shù)的奇偶性的前

提是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).如yO）=x,xe（-1,1］是非奇非偶函數(shù).

②函數(shù)按奇偶性可以分為四類(lèi)：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).從

定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類(lèi)，即/。）=0,x&D,。是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的實(shí)數(shù)集.

2性質(zhì)

①偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

②奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

③若奇函數(shù)f（x）定義域內(nèi)含有0,則"0）=0；

證明Tf（x）為奇函數(shù)，.??/（-X）=-/1（%）.

令％=o,則/（-0）=-f（o）,即f（o）=-q（o）,???/（（））=0.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積

（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

3判斷函數(shù)奇偶性的方法

①定義法

先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再求/'（-嗎，看下與"龍）的關(guān)系：若/（-久）=/（＞），則y=/（久）是偶函數(shù);

若f（-x）-/（X）,則y=/（久）是奇函數(shù).

②數(shù)形結(jié)合

若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)是偶函數(shù).

梯經(jīng)典例題從典例中見(jiàn)修修事力

【題型1】判斷函數(shù)的奇偶性

【典題1】判斷函數(shù)/'（X）=黑的奇偶性

解析函數(shù)的定義域?yàn)镽.

方法1,?"（一%）=告上=懸=/0），，函數(shù)f（x）=晟是偶函數(shù).

方法2y=|x|和y=/+1是偶函數(shù)，.?.函數(shù)/（X）=/￡是偶函數(shù).

變式練習(xí)

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)

B.若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)

D.若函數(shù)次x）的定義域?yàn)镽,且/'（0）=0,則八尤）是奇函數(shù)

答案B

解析奇偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)不一定具有奇偶

性，如y=%+l.由此可判斷C項(xiàng)錯(cuò)誤，3項(xiàng)正確.奇函數(shù)若在原點(diǎn)處有定義，

則/（0）=0，反之不一定成立，如y=，，因此。項(xiàng)錯(cuò)誤.故選8

2.函數(shù)/（%）=|%|+1是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

答案B

3.函數(shù)/。）=苧的圖象關(guān)于（）

A.原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.軸對(duì)稱(chēng)C.＞軸對(duì)稱(chēng)D.直線(xiàn)尸對(duì)稱(chēng)

答案A

解析根據(jù)題意，f(x)二年,有/(一久)=一手，

則有一式)=—/比)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選：A.

4.設(shè)/(x)是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)F(x)=-久)-/(-x)在R上一定是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

答案：A

5.設(shè)人%)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A.x)是奇函數(shù)B./(久)產(chǎn)(-x)|是奇函數(shù)

C.f(x)-/■(一%)是偶函數(shù)D./(x)+/(-x)是偶函數(shù)

答案D

解析選。.設(shè)F(x)=-x),則尸(—x)=尸(x)為偶函數(shù).

設(shè)G(x)=f(X)\K-x)\,則G(—無(wú))=/(一比)|f(X)|.

???G(x)與G(—x)關(guān)系不定.

設(shè)M(x)=/(x)-f(-x),???M(-x)=/(—x)-f(x)=-M(x)為奇函數(shù).

設(shè)N(x)=/(%)+/(-%),則N(-x)=f(-x)+/(%).

N(x)為偶函數(shù).

【題型2】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用

【典題1】若函數(shù)=詈的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則常數(shù)。=()

A.-1B.1C.1或一1D.不存在

解析可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x),

21—ci2—a

令x=1得，/(-1)=/(I),即2-心］=77?解得a=-L

將a=-1代入解析式驗(yàn)證，符合題意.故選：A.

變式練習(xí)

1.若函數(shù)/(x)(〃>)K0)為奇函數(shù)，則必有()

A./(%)/(—%)>0B.—x)<0

C./(x)</(-%)D./(x)>/(-%)

答案B

解析丫函數(shù)f(x)(/(X)*0)為奇函數(shù)，:/(-%)=-/(x)

/(x)-/(-%)=/(x)[-/(%)]=-[/(X)]2<o,故選:B.

2.已知函數(shù)/(久)=%5一。/+取：+2,/(—5)=17,則/(5)的值是()

A.19B.13C.-19D.-13

答案D

解析g(x)-x5-ax3+bx是奇函數(shù).1.g(-x)--g(x)

:/(一5)=17=g(-5)+2g⑸=-15

.??/'(5)=g(5)+2=—15+2=-13,故選：D.

3.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(%)=2X-1,則/■(-2)=()

3

A.1B.--C.3D.-3

4

答案D

解析根據(jù)題意，當(dāng)工》0時(shí)，/(x)=2方一1,,則/(2)=22-1=3,

又由人尤)為奇函數(shù)，則/(—2)=—"2)=-3；故選：D.

4.若函數(shù)/'(久)=x2-\x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

答案0

解析：/(無(wú))為偶函數(shù)，二/(-%)=f(x)恒成立

即/—|x+a|=x2—|x-a|恒成立,即|x+a|=|x—可恒成立

所以a—0

故答案為：0.

5.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(%)為增函數(shù)，且/'(3)=0,那么不等式%/(無(wú))<0的解集

是.

答案(-3,0)U(0,3)

解析,?,/■(?為奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，y(3)=0,

.-./(3)=-/(-3)=0,在(-8,0)內(nèi)是增函數(shù)

,,,%f(x)<0則憶)。<0=/⑶或｛/(%)>0=/(-3)

根據(jù)在(—8,0)和(0,+8)內(nèi)是都是增函數(shù)，解得xe(-3,0)U(0,3).

【題型3】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合

【典題1】函數(shù)/(久)=翼是定義在區(qū)間(一1,1)上的奇函數(shù)，且/(￡)=1?

(1)確定函數(shù)/(%)的解析式；

(2)用定義證明：/(久)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù);

(3)解不等式：/(t-+<0.

〃(。)=。W=u⑺_1

解析⑴由題意知［咫=2即jf+b_2-解得｛，/

k1+55

故f(久)=備?

(2)任取一1<打<相<1，則右一向>0,(定義法證明)

（%2—％1）（1—％1%2）

/（%2）一/（%1）-7^72

J.十%214-%1（1+蛀）（1+靖）?"

■:一1V%1V%2<1，

1<%1%2<1」一久1%2>0?

于是/'（犯）一/（對(duì)）>0,

???/（%）為區(qū)間（一1,1）上的增函數(shù).

（3W-1）=

???f（x）在區(qū)間（—1,1）上是增函數(shù)，

—1<t-1<-t<1,解得0<t<

變式練習(xí)

1.如果奇函數(shù)/(>)在區(qū)間［1,5］上是減函數(shù)，且最小值為6,那么f(x)在區(qū)間［-5,-1］上是()

A.減函數(shù)且最大值為-6B.增函數(shù)且最大值為6

C.減函數(shù)且最小值為-6。.增函數(shù)且最小值為6

答案A

解析當(dāng)一5WxW-1時(shí)1式一xW5,

???6,即一f(x)>6.從而/(%)<-6,

又奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同，

故/■(%)在是減函數(shù).

故選：A.

2.若偶函數(shù)/(%)在(—%—1］上是減函數(shù)，貝U()

4/(-1)</(-1)</(2)B./-(-1)</(-|)</(2)

C./(2)</(-!)</(-|)D./(2)</(-|)</(-1)

答案B

解析根據(jù)題意，/(%)為偶函數(shù),則/(2)=/(-2),

又由函數(shù)/(%)在(-8,-1］上是減函數(shù)，

則“一1)</(一￡)</(—2),即/(―|)</2)，故選：B.

3.若p(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=ap(x)+bg(x)+2在(0,+8)上有最大值5,則/(x)在(-8,0)上有()

A.最小值一5B.最大值一5C.最小值一1D.最大值一3

答案C

解析p(x)、g(x)都是奇函數(shù)，二/(x)—2=ap(x)+bg(x)為奇函數(shù).

又八支)有最大值5,；./(%)-2在(0,+8)上有最大值3.

???/(%)-2在(-8,0)上有最小值一3,

???/(切在(-8,0)上有最小值一1.

1

4.已知函數(shù)/(%)=卒二^一a.

(1)求)(%)的定義域;

(2)若/(久)為奇函數(shù)，求a的值；

(3)用單調(diào)性的定義證明：在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù).

答案⑴(一8,0)U(0,+00)(2)一1(3)略

解析(1)要使函數(shù)有意義，需小一1K0,解此不等式得XH0,

.??函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8)

,111

(2)：.(X)為奇函數(shù)，二/(—1)=—/(I),即1—-a----+a,即。=一亍

——14—14

4

經(jīng)檢驗(yàn)，a=—"I■時(shí)，/(%)為奇函數(shù)

1

Aa=-2,

(3)設(shè)%1，%2€(0,+8),且第1<%2

財(cái)3)-2=島-。)-(高-。)=

%1，第2E(0,+8),且％1V打，

???4X1>1,4%2>1,4%2rl>1,

4X1(鏟2一肛一1)

?\、n

??(4肛T)(4，T),U，

f(%l)-/(%2)>0,即/(%1)>—

???函數(shù)/(%)在(0,+8)上為減函數(shù).

⑥輕松訓(xùn)練

通過(guò)捱習(xí)，1RBI能力

1.已知/(%)=。/+6%是定義在［。一1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是()

1111

Z.一亍B.-C.-TTD.一

3322

答案B

解析依題意得：/(-x)=f(x),.,.&=0,

11、

又a—1=—2a,1a=可，-?-a+b--^.故選：B.

2.設(shè)函數(shù)/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(—1)=1,則f(l)+/(0)=()

A.1B.0C.-1D.-2

答案C

解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,

若/(—1)=1,貝"(1)=—/(—1)=—1,

則f(l)+f(O)=-l；故選：C.

3.已知函數(shù)/'(久)是奇函數(shù)，當(dāng)久<0時(shí)，/(x)=-2x2+x,貝!|/(2)=()

A.-6B.6C.-10D.10

答案D

解析,；/(乂)是奇函數(shù)，當(dāng)“<0時(shí),f(x)=-2x2+x,

.?./(-2)=-8-2=-10,即一f(2)=—10,則f(2)=10,故選：D.

4.若函數(shù)"久)是定義在［-6,6］上的偶函數(shù)，且在［-6,0］上單調(diào)遞減，貝lj()

A.f(3)+/(4)>0B./(-3)-/(-2)<0

C./(—2)+/(-5)<5D./⑷一f(—1)>0

答案D

解析/(久)是定義在［-6,6］上的偶函數(shù)，且在［-6,0］上單調(diào)遞減，

可得/(%)在［0,6］上單調(diào)遞增，

依題意有-4<—1=/(—4)>/(—1)=/(4)—/(—1)>0.

5.若函數(shù)/(%)=(2%+?(x—a)Q￡R)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)Q=()

B.0C.-1D.1

答案A

解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=(2升?(無(wú)一。).GR)為奇函數(shù)，

.(2x+l)(x—d)(—2x+l)(—%—a)

則/(-x)=-/(x),即1——-~~-=-------------

X-X

1

變形可得(2a-1)%=。，則有

故選：A.

6.函數(shù)y=x3-%的奇偶性為.

答案奇函數(shù)

解析f(一X)=-%3+%=-/(%),/(%)是奇函數(shù).

7.已知函數(shù)/(久)=ax+不占是偶函數(shù)，則常數(shù)a的值為_(kāi)_.

答案―4

解析易知函數(shù)定義域?yàn)镽

?.?函數(shù)/(x)=ax+溫耳是偶函數(shù)

/(-%)=/(%)對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立

—X,X

.?.一ax+4-x+1=ax+

、，_%x_xxx4x_x%x4x_

7

lax=卒釘+4-x+1=卒釘+4-x(4%+i)=再J+1+4=

???(1+2a)x=0對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立

1+2a=0,即a=—1.

8.奇函數(shù)/(x)在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,6］上的最大值為8,最小值為一1,則2/(-6)+八一3)的

值為.

答案-15

解析,(盼在［3,6］上為增函數(shù)，/(嗎”=f(6)=8,=f(3)=-l.

2/(-6)+f(-3)=-2/(6)-f⑶=-2x8+1=-15.

9.設(shè)偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)xe［0,+8)時(shí)，/(x)是增函數(shù)，則f(—2)"(兀),/(—3)由大到小的關(guān)系是

答案f㈤>。(-3)>f(-2)

解析利用函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，將/(-2)"(-3)轉(zhuǎn)化到區(qū)間［0,+8)上,

利用f(x)在此區(qū)間上是增函數(shù)比較大小.因?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，

所以f(—2)=f(2),f(-3)=f(3).

又因?yàn)楫?dāng)xe[0,+8)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且兀>3>2